上海市闵行区七宝中学高二(上)期末数学试卷和答案

22222222学年上海市闵行七宝中学二（上）期数学试卷22222222一、填题（共12题，每4分，共48分）1分）线性方程组

的增广矩阵是．2分）方程x+y﹣x+m=0表示一个圆，则的取值范围是．3分）三阶行列式（∈R）中元4的代数余子式的值记为f（x函数fx）的最小值．4分）直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为．5分）设某抛物线=mx（＞0的准线与直线x=1的距离为，则该抛物线的方程为．6分）设曲线定义为到点（1，﹣和（，距离之和为的动点的轨迹若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°则此时曲线C的方程为．7分）已知点的坐标为（，为抛物线=4x的焦点，若点P在抛物线上移动，则当||+||取最小值时点P的坐标为．8分）若直线y=kx+＞0与双曲线﹣

=1有且只有一个交点，则k的值是．9分）设m，∈R，直线l：+ny﹣与x轴相交于点，与轴相交于点B，l与圆x

+y

=4相交所得弦的长为2O为坐标原点，则△AOB积的最小值为．10分）若函数f（）=

+1（a＞0a≠）的图象过定点P，点Q在曲线x﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是．11分）已知椭圆：

=1过椭圆上一点1，）作倾斜角互补的两条直线、PB，分别交椭圆C于A、两点，则直线AB的斜率为．12分）定义变换T将平面内的点P（，≥0，y≥变换到平面内的点．第1页（共19页）

11﹣2n1*nnnnnnn*n*n*nnnnnn11﹣2n1*nnnnnnn*n*n*nnnnnnnnnnnn到曲线C依此类推，曲C

经变换T后得到曲线CC经变换后得经变换T后得到曲线，n∈时，记曲线C与x、轴正半轴的交点为A（a，和B（0b同学研究后认为曲线C具有如下性质：①对任意的nN，曲线都关于原点对称；②对任意的nN，曲线恒过点（0，2③对任意的N，曲线C均在矩形DB（含边界）的内部，其中D的坐标为D（a，b④记矩形OADB的面积为，则其中所有正确结论的序号是．二、选题（共4题，每题分，总分16分）13分）方程

对应的曲线是（）A．

B．

C

．D14图给出了一个程序框图作用是输入的值出相应的值要使输入的x值与输出的值相等，则这样的x值有（）第2页（共19页）

22*n222n122*n222n1A．1个．2个．3个．4个15分）设双曲线nx﹣（n+）y=1（∈）上动点P到定点Q（1，0的距离的最小值为d，则

的值为（）A．

B．

．0D116分）设直线l与抛物线=4y相交于A，两点，与圆+（﹣5）（r＞0）相切于点且为线段中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（）A3），4，3）D4三、解题（共5题，总分分）17分）已知等比数{a}的首项a=1公比q试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组

何时无解，何时有无穷多解？18分）我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动边防局迅速派出快艇前去搜捕如图已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．（1）是否存在点M，使快艇沿航P→A→M或P→B的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．（2问走私船在怎样的区域上时路线P→A比路线P→B→M的路程短请第3页（共19页）

1212说明理由．121219分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3直线：y=x﹣设圆C的半径为1圆心在l上．（1）若圆心C也在直线﹣x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点使MA=2MO，求圆心的横坐标a的取值范围．20分）如图，平面上定点到定直线l的距离|FM|=2P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；2过点F的直交轨迹C于AB两点，交线l点N已知为定值．21分已知FF是椭圆

的两个焦点O为坐标原点，点

在椭圆上，线段PF与轴的交点M满足

，⊙O是以FF为直径的圆，一直Ly=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两AB（1）求椭圆的标准方程．第4页（共19页）

（2）当，且满足

时，求△AOB的面积S的取值范围．第5页（共19页）

222222年海闵区宝学（期数学卷参考答案与试题解析一、填题（共12题，每4分，共48分）1分）线性方程组

的增广矩阵是

．【解答】解：由线性方程组：∴其增广矩阵为：，故答案为：．

，则

=

，2分程x+y﹣x++m=0表示一个圆m的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：若方程x+y﹣x+y+m=0表示一个圆，则满足1+1﹣4m＞即m＜，故答案为﹣∞，3分）三阶行列式（∈R）中元4的代数余子式的值记为f（x函数fx）的最小值﹣6

．【解答题意

=﹣sin

2

x+6cosx=cos

x+﹣cosx+3）2

﹣10，∵﹣1≤≤1∴cosx=﹣1时，函数f（）的最小值为﹣6故答案为：﹣6．第6页（共19页）

222224分）直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为22222【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，∈[0∵k=tanθ=﹣，∴θ=﹣arctan．故答案为：﹣arctan．

﹣arctan

．5分）设某抛物线

=mx（＞0的准线与直线x=1的距离为，则该抛物线的方程为y=8x

．【解答】解：当m＞时，准线方程为x=﹣=﹣2∴m=8，此时抛物线方程为y

=8x．故答案为：y=8x．6分）设曲线定义为到点（1，﹣和（，距离之和为的动点的轨迹．若将曲线

C绕坐标原点逆时针旋转

，则此时曲线

C的方程为．【解答】解：点（﹣1，﹣和（1，1）绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的点的坐标为A0﹣）和B（由题意知，动点P到A和B的距离之和为4∴动点的轨迹是以A（﹣椭圆，其方程为．故答案：．

）和B（，）为焦点坐标，以4为长轴的7分）已知点的坐标为（，为抛物线=4x的焦点，若点P在抛物第7页（共19页）

2222222222线上移动，则当||+||取最小值时点P的坐标为（，3．2222222222【解答】解：设点P在准线上的射影为D由抛物线的定义可知|PF|=|PD|，∴要求||+|PF的最小值，即求||+|PD的最小值，只有当DPA三点共线时||+|PD|最小，令y=3，可得x=，∴当||+|PF取最小值时点的坐标为（，3故答案为（，38分）若直线y=kx+＞0与双曲线﹣

=1有且只有一个交点，则k的值是

或．【解答】解：已知直线+1①与双曲线﹣要一个根

=1只有一个交点，即方程只把方程①代入②，整理得方程（2﹣

）x

﹣2kx﹣3=0③恰有一根，（1）当k=（2）当k=﹣

时，方程③变为﹣时，方程③变为2

x﹣，得x=﹣x﹣，得x=

，成立．，成立．（3）当k≠

时△=4k+12（k）=0k=±∵＞0∴k=故答案为：

或或

．．9分）设m，∈R，直线l：+ny﹣与x轴相交于点，与轴相交于点B，l与圆x+y=4相交所得弦的长为2，为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3

．【解答】解：由圆x+y=4的方程，得到圆心坐标为（0半径r=2，∵直线l与圆x+y=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离=

，第8页（共19页）

22222222xa22222222222xa222∴圆心到直线l：mx+﹣1=0的距离d=整理得：m+n=，，令直线l解析式中y=0，解得：，∴A（，0OA=令x=0，解得：y=，，∴B（OB=

=

，∵m+n≥2mn|，当且仅当m|=|n|时取等号，∴|mn≤，又△AOB为直角三角形，∴S

=OAOB=

≥

=3，当且仅当||=|=时取等号，则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．10分）若函数f（）=

+1（a＞0a≠）的图象过定点P，点Q在曲线x﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是

y=2x﹣2x

．【解答】解：当3﹣2=1，即x=1时，fx）1+1=1，所以f）=1（a＞0，≠1的图象过定点P11设Q（q﹣2中点M（x，）x=y=

，q=2x﹣===2x﹣2x．故线段PQ中点M轨迹方程是y=2x故答案为：y=2x﹣2x．

2

﹣2x．11分）已知椭圆：

=1过椭圆上一点1，第9页（共19页）

）作倾斜

BBAAABABAB11﹣2n1*nnnnnn角互补的两条直线、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的BBAAABABAB11﹣2n1*nnnnnn【解答】解：由题意知，两直线，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k＞则PB的直线方程为，由，得设B（，y则

，

，=

，设A（x，y同理可得，则x﹣x=

，y﹣y=k（﹣1﹣k（﹣1=4

，∴AB的斜率k===

．故答案为：．12分）定义变换T将平面内的点P（，≥0，y≥变换到平面内的点

．若曲线到曲线C依此类推，曲C

经变换T后得到曲线CC经变换后得经变换T后得到曲线，n∈时，记曲线C与x、轴正半轴的交点为A（a，和B（0b同学研究后认为曲线第10页（共19页）

n*n*n*nnnnnnnnnnnn0nnnnnnnnn*n*n*nnnnnnnnnnnn0nnnnnnnnnnnnnn①对任意的nN，曲线都关于原点对称；②对任意的nN，曲线恒过点（0，2③对任意的N

，曲线C均在矩形DB（含边界）的内部，其中D的坐标为D（a，b④记矩形OADB的面积为，则其中所有正确结论的序号是③④．【解答】解：由于，故曲线C与x、轴正半轴的交点为（4）和（0，2由于变换T将平面内的点x≥0换到平面内的点则由题意知，

．故

，则

，显然曲线C不关于原点对称；曲线C不过点（02曲线C均在矩形OADB（含边界）的内部，其中D的坐标为D（a，b故①②错误，③正确．记矩形OADB的面积为，则故

=1故④正确．故答案为：③④二、选题（共4题，每题分，总分16分）13分）方程

对应的曲线是（）第11页（共19页）

22A．

B．

C

．D【解答】解：由题意，

，且∴x+y=4x≥y≥0）图象为以原点为圆心，2为半径，在第一象限的部分（包括与坐标轴的交点）故选：D14图给出了一个程序框图作用是输入的值出相应的值要使输入的x值与输出的值相等，则这样的x值有（）A．1个．2个．3个．4个【解答】解：由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y=又∵输入的x值与输出的值相等

的值第12页（共19页）

222*n2222222120当x≤时，x=x，解得x=0或222*n2222222120当2＜x≤5时，x=2x﹣4解得x=4当x＞时，x=，解得x=±1舍去）故满足条件的x值共有个故选：．15分）设双曲线nx﹣（n+）y=1（∈）上动点P到定点Q（1，0的距离的最小值为d，则

的值为（）A．

B．

．0D1【解答】解：设动点Px，nx﹣（n+y=1，∴y=

，∵Q（0∴|PQ|===

，∴===

．

=（

）

故选：A．16分）设直线l与抛物线

=4y相交于A，两点，与圆

+（﹣5

=r

（r＞0）相切于点且为线段中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（）A3），4，3）D4【解答】解：设A（，y（x，y（，y第13页（共19页）

2212211210022022220020n1142343n1423432212211210022022220020n1142343n142343，相减，得（x+x﹣x）=4y﹣y当l的斜率存在且不为时，利用点差法可得2k=x，因为直线与圆相切，所以，所以y=3即M的轨迹是直线y=3．y=3代入x=4y得x=12，∴﹣

＜x＜2

．∵M在圆上，∴x+（y﹣5）=r（r＞r=∵直线l恰有4条，∴x≠0∴4＜r＜16，故2＜r4时，直线l有2条；斜率为0时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4故选：D三、解题（共5题，总分分）17分）已知等比数{a}的首项a=1公比q试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组【解答】解：解方程组

何时无解，何时有无穷多解？，消y得到（aa﹣aa）x=3a+2a，∵等比数列{a}的公比为q，∴aa﹣aa=0，当3a+2a=0时，即q=﹣时，方程组有无穷多解．18分）我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动边防局迅速派出快艇前去搜捕如图已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．（1）是否存在点M，使快艇沿航P→A→M或P→B的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．第14页（共19页）

（2问走私船在怎样的区域上时路线P→A比路线P→B→M的路程短请说明理由．【解答】解建立如图所示的坐标系，MA﹣|MB|=2∴M的轨迹是双曲线的右支，|=∴，∴M的轨迹方程是=1（＞1y＞0

=2

，（2）走私船在直l的左侧，且在（中曲线的左侧的区域时，路P→A→M最短．理由：设AM的延长线与（中曲线交于点N则+AN=PB+BN，+AM=PA+AN﹣MN=PB+BN﹣MN＜BM．19分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3直线：y=x﹣设圆C的半径为1圆心在l上．第15页（共19页）

220（1）若圆心C也在直线﹣x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点使MA=2MO，求圆心的横坐标a的取值范围．220【解答】解由题设，圆心C在y=x﹣1上，也在直线y=5x上，解得x=3，y=2∴C（3，2∴圆﹣3）（y﹣2）=1；由题意，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+即kx﹣y+3=0，则

=1，解得：k=0或k=﹣，对应的直线方程为y=3或y=﹣x+3；当斜率不存在时，直线x=0不与圆相切，故所求切线方程为y=3或y=﹣x+3，即y﹣或3x+4y﹣12=0（2）设点C（a，a1（，y则∵MA=2MOA（03（00∴x02+（﹣32=4（x02+y02即x02+y02=3﹣，又点M在圆C上，∴

+

=1∴M点为x02+y02=3﹣与

+

=1的交点，若存在这样的点M则x02+y02=3﹣2y0与即两圆的圆心距d满足：d3∴1≤≤第16页（共19页）

+

=1有交点，

2221211即1≤2a﹣4a+9解得1﹣≤a≤1+，2221211即a的取值范围是[1

，1+]．20分）如图，平面上定点到定直线l的距离|FM|=2P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；2过点F的直交轨迹C于AB两点，交线l点N已知为定值．【解答】解方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，以线段所在的直线为y轴建立直角坐标系．则，F（01