第四章解线性方程组的迭代法

迭代法和敛散性及其程4.1.2迭代法敛散性的判别及其程用谱半径判别迭代法产生的迭代序列的敛散性的主程functionH=ddpbj(B)if雅可比（Jacobi）迭代及其程雅可比迭代的收敛性及其程判别雅可比迭代收敛性的主程functiona=jspb(A)[nm]=size(A);forfori=1:nifa(i)>=0一定收敛

if雅可比迭代收敛')例4.2.2用判别雅可比迭代收敛性的

2x3

10x1x22x3（1）

x

（2）x10x2x

x

x

解（1）首先保存名为jspb.m的M文件，然后在工作窗口输入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-1敛a （2）在工作窗口输入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-1a-8.0000e+000-8.0000e+000雅可比迭代的两种程（一）雅可比迭 程

AXb的主程functionX=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1)[nm]=size(A);forfori=1:nifa(i)>=0定收敛

if雅可比迭代收敛')fork=1:max1forX(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:m])*X0([1:j-X,djwcX=norm(X'-X0,P);xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps);ififdisp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1例4.2.3用范数和判别雅可比迭代的主程序解例4.2.2中的方解（1）max1=100时①首先保存名为jacdd.m的M文件，然后在工作窗口输入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-15];X0=[000]';请注意：雅可比迭代收敛,此方的精确解jX和近似解X如下：a jX X ②在工作窗口输入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-10.5];b=[7.2;8.3;4.2];0X=jacdd(A,b,X0,inf,请注意：雅可比迭代收敛,此方的精确解jX和近似解X如下：a=jXX

24.500024.600024.073824.1738①在工作窗口输入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-1b=[7.2;8.3;4.2];X0=[000]';max1a jX X ②在工作窗口输入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-10.5];X0=[000]';X=jacdd(A,b,X0,inf,max1a jX24.500024.6000X 5.6490度快；如果系数矩阵A不是严格对角占优的，则雅可比迭代收敛的速度慢.因此，naakj

(k1,2,n 程利用雅可比迭代定义编写解线性 （4.5） 程序的一般步步骤1在工作窗口输入程>>A=[a11a12…a1n;a21a22…a2n;…;an1an2D=diag(A)U=triu(A,1),L=tril(A,-DL，U步骤2在工作窗口输入程ifdD==0disp('请注意：因为对角矩阵D奇异，所以此方无解.')iD=inv(D);B1=iD*(L+U);f1=iD*b;forX=B1*X0+f1;X0=X;djwcX=norm(X-xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);X1=A\b;if(djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha)下：

ifdisp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max14.3-（Gauss-Seidel）迭代及其程 迭代两 程----

AXb的主程序functionX=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);dD=det(D);ifiD=inv(D-L);B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b;X=X0;[nm]=size(A);fork=1:max1X1=B2*X+f2;djwcX=norm(X1-X,P);if(djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)if的精确解jX和近似解X如下：')

量X')例4.3.3用-迭代定义的主程序解下列线性 (x(0x(0x(0))(0,0,0)

x(k1)x(k

10xx

3x14x25x37x4

2x8x3x2x（1）

8.3,（2）

4x51x13x

xx

7x2x21x3x 解（1）首先保存名为gsdddy.m的M文件，然后 >>A=[10-1-2;-110-2;-1-10.5];X0=[00X=gsdddy(A,b,X0,inf,请注意：-迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方的精确解DL000000010000110UjX012002000X4.2.3（1）X=（24.073824.1738,104.797比较，在相同的条件下,-迭代比雅可比迭代得到的近似解的精度更高（2）在工作窗口输入程>>A=[34-57;2-83-2;451-1316;7-221X0=[000 -迭代的记过没有达到给定的精度并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方的精确解jX和迭代向量X如下：jX X=1.0e+142 （二 迭 的程序 迭代解线性

AXb 主程序functionX=gsdd(A,b,X0,P,wucha,max1)[nm]=size(A);forfori=1:nifa(i)>=0if且-迭代收敛')forforj=1:mififforxdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps);X0=X';X1=A\b;if似解X

if4.4解方的超松弛迭代法及其程超松弛迭代法收敛性及其程用谱半径判别超松弛迭代法产生的迭代序列的敛散性的主程functionH=ddpbj(A,om)L=-tril(A,-1);iD=inv(D-om*L);if例4.4.1当取=1.15，5时，判别用超松弛迭代法解下列方产生的迭代序列 5x1 x32x42x x3x xx4xxx

x22x37x4解（1）当取=1.15时，首先保存名为ddpbj.m的M文件，然后在工作>>A=[51-1-2;2813;1-2-4-1;-1327];1，所以超松弛迭代序列收敛,mHB的所有H如下：mH=H0.1049+0.1203i0.1049-0.1203i-0.1295+0.0556i--（2）当取=5时，然后在工作窗口输入程>>H=ddpbj(A,1，所以超松弛迭代序列发散,mHB的所有的特征值H如下：mH=H -2.51070.5996+ 0.5996-超松弛迭代法 程

AXb的主程functionX=cscdd(A,b,X,om,wucha,max1)L=-tril(A,-1);jX=A\b;[nm]=size(A);iD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);foriD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);f2=om*iD*b;X1=B2*X+f2;X=X1;djwcX=norm(X1-jX,inf);if数i

mH,D,U,L,jX=jX',i=k-ifi>精确解jX,迭代次数i如下：')mH,D,U,L,jX=jX',i=k-if或functionX=cscdd1D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);jX=A\b;[niD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);forf2=om*iD*b;X1=B2*X+f2;X=X1;djwcX=norm(X1-jX,inf);ifif(djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)解X的精确解jX和迭代向量X如下：')例4.4.3用超松弛迭代法（取=1.15和5）解例4.4.1中的线性 解（1）当取=1.15时，首先保存名为cscdd.m的M文件，然后在 >>A=[51-1-2;2813;1-2-4-1;-1327];b=[4;1;6;-X=[0000]';X=cscddmH=D=5000080000