高考数学二轮复习第三部分8回顾8算法与推理证明学案

回顾8算法与推理证明[必记知识]三种基本逻辑结构的对比分析顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成的结构算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体程序框图[提醒])（1）循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要用条件结构来作出判断，因此循环结构中一定要包含条件结构.（2）一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加（乘）变量，计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加（乘）变量用于表示每一步的计算结果.计数变量和累加（乘）变量一般同步执行，累加（乘）一次，计数一次.归纳推理与类比推理的区别与联系归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体，由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类对象之间的相似性或一致性(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的类似性质，得出一个明确的命题(猜想)证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．推理模式：框图表示eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(\a\al(得到一个明显,成立的条件))(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．推理模式框图表示：eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(3)反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[提醒])（1）数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明.（2）初始值n0不一定是1.（3）证明当n＝k＋1时命题成立，要搞清从n＝k到n＝k＋1，增加了哪些项或减少了哪些项.[必会结论]归纳推理的思维过程eq\x(实验、观察)→eq\x(概括、推广)→eq\x(猜测一般性结论)类比推理的思维过程eq\x(实验、观察)→eq\x(联想、类推)→eq\x(猜测新的结论)[必练习题]1．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝－1，b＝－2，那么输出的a的值为()A．16 B．8C．4 D．2解析：选B.初始值：a＝－1，b＝－2.第一次循环：a＝(－1)×(－2)＝2，b＝－2；第二次循环：a＝2×(－2)＝－4，b＝－2；第三次循环：a＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时循环结束，输出aB.2．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．0C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：选B.初始值：S＝0，n＝1.第一次循环：S＝eq\f(\r(3),2)，n＝2；第二次循环：S＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，n＝3；第三次循环：S＝eq\r(3)，n＝4；第四次循环：S＝eq\f(\r(3),2)，n＝5；第五次循环：S＝0，n＝6，此时不满足n＜6，循环结束，输出SB.3．某程序框图如图所示，若输出的S＝29，则判断框内应填()A．k＞5? B．k＞4?C．k＞7? D．k＞6?解析：选B.程序在运行过程中各变量的值的变化如下表：kS是否继续循环初始状态11第一次循环25是第二次循环311是第三次循环419是第四次循环529否由表可知，退出循环的条件应为k＞4？.故选B.4．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)时，由n＝k(k＞1)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：选C.由题意得，当n＝k时，左边＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)；当n＝k＋1时，左边＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1).因为2k＋1－1－(2k－1)＝2k，所以左边增加了2k项．故选C.5．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是()A.eq\f(3\r(3),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：选A.由题意知，凸函数满足eq\f(f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).又因为y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，在△ABC中，所以sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).故选A.6．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．听完以上3个人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，有1人说的全不对，由此可推测胡老师()A．一定是南昌人 B．一定是广州人C．一定是福州人 D．可能是上海人解析：选D.由题意可知，若胡老师是南昌人，则甲说的对一半，乙说的全对，丙说的全对；若胡老师是广州人，则甲、乙、丙说的都对了一半；若胡老师是福州人，则甲说的全对，乙说的全错，丙说的对一半；若胡老师是上海人，则甲说的全错，乙说的对一半，丙说的全对．综上所述，胡老师可能是福州人，也可能是上海人．故选D.7．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点，算第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，以此类推．如果一个六边形的点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选C.第一层点数为1，第二层点数为6，第三层点数为6＋6＝2×6，第四层点数为6＋6＋6＝3×6，第五层点数为6＋6＋6＋6＝4×6，…，第n层点数为6(n－1)，设一个图形共有n层时，共有的点数为1＋6×(1＋2＋3＋…＋n－1)＝1＋6×eq\f(（n－1）n,2)＝3n2－3nn2－3n＋1＝169，解得nC.8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍以此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()A．i≤7？，S＝S－eq\f(1,i)，i＝i＋1B．i≤128？，S＝S－eq\f(1,i)，i＝2iC．i≤7？，S＝S－eq\f(1,2i)，i＝i＋1D．i≤128？，S＝S－eq\f(1,2i)，i＝2i解析：选B.初始值：S＝1，i＝2.第一次循环：S＝1－eq\f(1,2)，i＝4；第二次循环：S＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)，i＝8；第三次循环：S＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)－eq\f(1,8)，i＝16；以此类推，第七次循环：S＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)－eq\f(1,8)－…－eq\f(1,128)，i＝256，此时不满足条件，退出循环．则①处应填入的条件是i≤128？，②处应填入的是S＝S－eq\f(1,i)，③处应填入的是i＝2i.故选B.9．如图所示的程序框图的输出结果是________．解析：初始值：S＝0，n＝2.第一次循环：S＝eq\f(1,2)，n＝4；第二次循环：S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，n＝6；第三次循环：S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)，n＝8，此时n＝8＜8不成立，循环结束，故输出S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).答案