温度场数学模型与数值求解

温度场数学模型与数值求解第一页，共二十六页，2022年，8月28日主要内容1、传热的基本方式2、传热分析的常用数值分析方法3、温度场数学模型4、基于有限差分方法的离散5、初始条件与边界条件6、潜热处理7、温度场数值模拟流程图2第二页，共二十六页，2022年，8月28日第一节传热的基本方式（1/4）1.热传导2.热对流3.热辐射

3第三页，共二十六页，2022年，8月28日第一节传热的基本方式（2/4）-热传导物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动进行的热量传递称为热传导，简称导热。在紧密地不透明的物体内部，热量只能依靠导热方式传递。只有在物体处于不同温度时，热量才能从一个物体传递到另一个物体，或从物体的某一部分传递到物体的另一部分。热总是从温度高的地方流向温度低的地方，铸件凝固冷却时，铸件内部的温度高于外界，因此铸件内部向其外侧以及铸型传递热量。在三维迪卡尔坐标系统，连续介质各点在同一时刻的温度分布叫做温度场，温度场的一般可表达为T=ƒ(x,y,z,t)。若温度场不随时间变化，则称做稳定温度场，由此产生的导热为稳定导热；若温度场随时间改变，则称做不稳定温度场，不稳定温度场的导热为不稳定导热。导热的基本定律是Fourier定律，Fourier定律的具体内容我们在后面再阐述。4第四页，共二十六页，2022年，8月28日第一节传热的基本方式（3/4）-热对流热对流是指流体中温度不同的各部分相互混合的宏观运动引起热量传递的现象。热对流总与流体的导热同时发生，可以看作是流体流动时的导热。对流换热的情况比只有热传导的情况复杂。对流换热可以用Newton冷却定律来描述，即

对流换热按引起流动运动的不同原因可分为自然对流和强制对流两大类。自然对流是由于流体冷、热部分的密度不同而引起的，如暖气片表面附近热空气向上流动就是自然对流。如果流体的流动是由于水泵或其他压差所造成的，则称为强制对流。

式中，q为热流密度；为对流换热系数；

为流体的特征温度；为固体边界温度。5第五页，共二十六页，2022年，8月28日第一节传热的基本方式（4/4）-热辐射物体通过电磁波传递能量的方式称为辐射。物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因发出辐射能的现象称为热辐射。自然界中各个物体都不停地向空间发出热辐射，同时又不断地吸收其它物体发出的热辐射。发出与吸收过程的综合效果造成了物体间以辐射方式进行了热量传递。辐射换热可以用Stefen-Boltsman定律来描述，即

式中，q为热流密度;

为表面的绝对温度；

为辐射黑度；

为Stefen-Boltsman常数。6第六页，共二十六页，2022年，8月28日第二节传热分析的常用数值分析方法

（1/3）数值方法是进行数值模拟的重要方面，前面提到目前比较常用的数值方法有：有限差分法、有限元法、直接差分法、边界元法。对于铸造凝固过程CAE技术来说，主要是采用有限差分法、有限元法，前面的章节已对这两种方面进行了较为详细地介绍，下面对采用这两种方法如何进行传热分析做一个简要说明。7第七页，共二十六页，2022年，8月28日第二节传热分析的常用数值分析方法

（2/3）1有限差分法有限差分法，又称泰勒展开差分法，是最早用于传热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本低等优点，目前已成为应用最为广泛的一种数值分析方法。有限差分方法，其实质就是将求解区域划分为有限个网格单元，将微分问题化为差分问题，离散化得到差分格式，利用差分格式来求解相应问题。用有限差分来求解不稳定导热过程可按如下的步骤进行：将不稳定导热过程所涉及的区域在空间和时间上进行离散化处理；物性条件、初始条件和边界条件的设定；写出单元差分格式；将求解的过程编成计算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结果。8第八页，共二十六页，2022年，8月28日第二节传热分析的常用数值分析方法

（3/3）2有限元法有限元法求解导热问题是利用微分方程边值问题等价于相应变分问题这一特点的。用有限元法求解不稳定导热过程可归纳为如下的步骤：将不稳定导热过程所涉及的区域在空间和时间上进行离散化处理；物性条件、初始条件和边界条件的设定；写出单元泛函数表达式；构造每个单元的插值函数；求得泛函数极值条件的代数方程表达式；构造代数方程组；将求解的过程编成计算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结果。9第九页，共二十六页，2022年，8月28日第三节温度场数学模型Fourierequation:三维场合：二维场合：一维场合：10第十页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（1/8）-二维场合二维差分单元i的的热平衡关系图在二维情况下，对傅立叶热传导微分方程进行基于有限差分法的离散。如右图所示，单元i是一边长为△x的正四边形单元，它与相邻的四个单元进行热量交换。11第十一页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（2/8）-二维场合从相邻的单元1、2、3、4单元i的热量总和QSUM为：

在微小的时间△t内，单元i吸收的的热量Q为：12第十二页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（3/8）-二维场合根据能量守恒定定律得:整理得：变形得：13第十三页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（4/8）-二维场合由上式知，单元i在t+Δt时刻的温度等于t时刻自身温度以及相邻4个单元温度的线性组合。显而易见，如果相邻单元温度高或低，单元i的温度也相应地大或小；另外从物理含义来说，单元i在t时刻温度高，则其在t+Δt时刻的温度也应该高，即等式右边第一项系数必须不小于零，即式中：整理得：14第十四页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（5/8）-三维场合在三维场合下，对傅立叶热传导微分方程进行基于有限差分法的离散。如下图所示，单元i是一边长为△x的正六面体单元，它与相邻的六个单元进行热量交换。

三维差分单元i的热平衡关系图15第十五页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（6/8）-三维场合从相邻的单元1、2、3、4、5、6单元i的热量总和QSUM为：

在微小的时间△t内，单元i吸收的的热量Q为：16第十六页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（7/8）-三维场合根据能量守恒定定律得:变形得：整理得：17第十七页，共二十六页，2022年，8月28日第四节基于有限差分方法的离散（8/8）-三维场合与二维情况一样，Δt必须满足一定条件才能保证数值解的稳定。由上式知，单元i在t+Δt时刻的温度等于t时刻自身温度以及相邻6个单元温度的线性组合。显而易见，相邻6个单元温度的高低，直接影响了单元i在t+Δt时刻温度的大小；同样，单元i在t时刻温度高，则其在t+Δt时刻的温度也应该高，即等式右边第一项系数必须不小于零，即式中：整理得：对于立方体单元i来说时间步长Δt满足下式

:18第十八页，共二十六页，2022年，8月28日第五节初始条件与边界条件（1/2）-初始条件初始条件就是要确定t=0时刻（开始计算时刻），各单元的温度值。对于三维温度场，初始时刻（t=0）的温度场为：

铸件部分：铸型部分：在进行初始温度的设置时，可以假设铸件“瞬间充型、初温均布”，即可以用如下方程来表示:19第十九页，共二十六页，2022年，8月28日第五节初始条件与边界条件（2/2）-边界条件(1)热传达边界条件(2)热辐射边界条件(3)热触热阻边界条件(4)完全接触边界条件(5)绝热边界条件(6)温度为定值的边界条件T=定值

(7)比热流量为定值的边界条件定值

20第二十页，共二十六页，2022年，8月28日第六节潜热处理（1/5）1、定义液相的内能EL大于固相的内能ES，因此，当合金凝固由液相变为固相时，必须产生的内能变化。这个内能变化（通常用L表示）称为凝固潜热，或称为熔化潜热（LatentHeatofFusion）。2、考虑了析出潜热的热能守恒式

21第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日第六节潜热处理（2/5）3、潜热的处理方法(1)等价比热法(2)热焓法(3)温度回复法(4)改良的等价比热法

*假想凝固区间22第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日第六节潜热处理（3/5）4、采用改良的等价比热法的温度场有限差分格式

23第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日第六节潜热处理（4/5）5、跨越凝固区间或假想凝固区间时的温度校正24第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日第六节潜热处理（5/5）5、跨越凝固区间或假想凝固区间时的温度校正25第二十五页，共二十六页，2022年，8月28日第七节温度场数值模拟流程图

温度场数值模拟系统包括三大部分：前处理、计算分析、后处理。前处理包括含三