2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点二十七平面向量的概念及线性运算

二十七平面向量的概念及线性运算

基础落实练。30分钟60分

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.化简能-AC-BC=（）

A.2BCB.0

C.-2BCD.2AC

【解析】选C.因为油-AC-BC=CB-BC

=-2BC.

2.下列叙述正确的是（）

A.若非零向量a与8的方向相同或相反，则a+6与a,6其中之一的方向相同

B./a/+〃/=/a+b/=a与6的方向相同

C.AB+BA=0

D.若HW0,Aa=Ab,则a=,

【解析】选D.对于A,当a+b=0时，其方向任意，它与a,b的方向都不相同；对于B,当

a,6中有一个为零向量时结论不成立；对于C,因为两个向量之和仍是一个向量，所以瀛十

BA=0；对于D,4（&一加=0时，因为XW0,所以此时一定有a=〃

|教师|

【加练备选】下列说法正确的是（）

A.方向相同或相反的向量是平行向量

B.零向量是0

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.共线向量是在一条直线上的向量

【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量，所以该说法错误；

对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确；对于选项C,方向相同且长度相等的向量

叫相等向量，所以该说法错误；对于选项D,共线向量所在直线可能重合，也可能平行，所

以该说法错误.

3.（2021•威海模拟）设a,b不共线，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D

三点共线，则实数0的值为()

A.12B.11C.1D.2

【解析】选B.因为反'=a+b,CD=a—2b,所以诙=BC+CD=2a-b.

又因为4,B,〃三点共线，所以焉，应共线.

设血=入面),

所以2a+pb=4(2a—6),

所以2=24，0=一4，即4=1,0=—1.

4.已知0,A,8是平面上的三个点，直线46上有一点C,满足衣+3CB=0,则布=()

A.；游一,~OCB.~OA+；OC

2一1一1一2一

C.-OA一鼻OCD.鼻力+-OC

oooo

【解析】选D.因为直线上一点。满足於+3为=0,

则位置关系可用如图表示：

B(

所以8为线段力。上靠近C的三等分点，

则由平面向量的线性运算可得

2

OB=OA+AB=OA+-AC

o

=0A+|(优一洒)=：汤+|花.

|教师|

【加练备选】已知三角形/6C是等边三角形，〃为的中点，点£满足2苏'+BE=0,

则花=()

AB--：CDB.£症+,~CD

oooo

2一1一1一।2一

C.鼻AB一鼻CDD.-AB+鼻CD

OOOO

i99

【解析】选A.由2国+BE=0知宓=-CB,BE=~BC,所以宓=AB+BE=AB+-BC

ooo

=AB+|(BD+DC)=AB+

o

16拔一同=1庙—I"

二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分）

5.（2022•济宁模拟）已知/,B,。是三个不同的点，OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-

56,则下列结论正确的是（）

A.AC=2ABB.AB=BC

C.AC=3击D.A,B,。三点共线

【解析】选ABD.由题可得筋=08一应=a-2b,

AC=0C-OA=2a~4b,

BC=0C-OB=a~2b,

所以衣=2需，故A正确；

AB=BC,故B正确；

AC=2BC,故C错误；

由充=2花可得花〃花，又1为公共点，故4B,。三点共线，故D正确.

6.（2022•德州模拟）有下列命题，其中是真命题的有（）

A.若贬〃而,贝I",B,C,〃四点共线

B.若法//~AC,则A,B,。三点共线

21

C.若e，鱼为不共线的非零向量，a=4e,—~&i，b=~ei+—e,则

510z

D.若向量e,。是两个不共线的向量，且满足等式％e〔+A晶=0,则左=4=0

【解析】选BCD.根据共线向量的定义，若'而〃面,则切或4,B,C,〃四点共线，故

A错；

由法//1C且拔,AC有公共点A,则A,B,。三点共线，故B正确；

由a=4©—，&=一41一良+京ej=-4b,所以a〃Z>,故C正确，

若条件等量关系中系数不都为0,则e与质共线，与已知矛盾，故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.在如图所示的方格纸中，向量a,b,c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与

V

xa+yb{x,y为非零实数）共线，则：的值为.

【解析】设e,。分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c=e—2a，

a=2e+e.,b=-2e]—2ei,由c与xa+yb共线，得c=H（xa+yb）,所以0一2e=2H（x

—y）4（*一2力

「3

24（x—y）=1,所以I「

所以

儿（x一2y）=一2,5

尸打

v6

则7的值为g.

_.6

答案：5

8.（2021•唐山模拟）在直角梯形力腼中，ZA=90°,N8=30°,AB=2小,BC=2,点E

在线段CD上,若定=AD+nAB,则〃的取值范围是.

【解析】由已知AD=\,CD=木,所以拔=2DC.因为点E在线段CD上,所以庞=入欣（0

WaWl).

因为龙=AD+应，

又花=AD+uAB=AD+2n~DC=AD+"DE，

所以华=1,即z/=v.因为OW4Wl,所以ow〃w：.

―「r

答案：0,-

局同【加练备选】若|质1=1衣\=\AB-AC|=2,则

\AB+AC|=.

【解析】因为I宓\=\AC\=\AB—AC|=2,

所以△/员是边长为2的正三角形，

所以I而+衣|为△/回的边比'上的高的2倍，所以|荔+AC[=2小.

答案：2小

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.（2022•宣城模拟）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股

定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的

一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若比=a,BA=b,BE=3声',用a,6表

示砺.

4/

C

2+:或=朋+1（磅+说）=前+11涧叶可，

【解析】BF=BC+CF=£

即帝=BC+|卜御+9卜

“一16f12fnr—16,12

解得郎=—BC+—BA，即跖=—a+~b.

10.(2022•青岛模拟)如图所示，已知在△/仍中，点。是以1为对称中心的点6的对称点,

OD=2场，〃。和OA交于点E,设诵I=a,OB=b.

⑴用a和。表示向量比,DC；

(2)若龙=AOA,求实数4的值.

【解析】⑴由题意知，/是宽的中点，且应=鼻OB,由平行四边形法则，OB+OC=2OA,

rr25

所以能=2OA-OB=2a~b,DC=OC-OD=(2a—6)一鼻b=2a~~b.

0J

5

(2)因为改1〃比.又因为反'=走一庞=(2a—b)一儿a=(2—4)a—8,DC=2a~~b,所

2—4—14

以=丁，所以.

255

-3

素养提升练2。分钟4。分

1.(多选题)下列命题不正确的是()

A.向量a,8共线的充要条件是有且仅有一个实数4，使8=4a

B.在△/8C中，AB+比+CA=0

C.不等式〃a/—"〃《/a+6/W/a/+〃/中两个等号不可能同时成立

D.若向量a,b不共线，则向量a+b与向量a—力必不共线

【解析】选ABC.对于A,当a=0时，不成立，对于B,0应为0；对于C,当a与占有一个为

0或同时为0时，两个等号同时成立，对于D.

因为向量a与6不共线，

所以向量a,b,a+b与a—力均不为零向量.

若a+b与a—6共线，

则存在实数4，使a+Z>=4(a—6),

g[J(4—1)a=(1+4)6,

♦—1=0,

所以一1八此时4无解，故假设不成立,

\1+A=0,

即a+b与a—b不共线，故D正确.

2.已知平面内一点P及丛ABC,若力+磅+PC=宓，则点夕与△四。的位置关系是（）

A.点尸在线段力8上B.点尸在线段勿上

C.点尸在线段〃'上D.点。在△力%外部

【解析】选C.由西+PB+PC=AB知，PA+PB+PC=PB-PA,即瓦'=~2PA,故点

P在线段4C上.

【加练备选】

如图，在直角梯形46切中，AB=2AD=2DC,6为a1边上一点，BC=3反',尸为力£的中点,

则帝=()

1一2一2一」一

A.-AB--ADB.--AB+~AD

OOoo

1一I2一2一1一

C.—~AB+彳ADD.-AB--AD

oJOO

【解析】选B.根据平面向量的运算法则得

BF=}:BABE,BE=^BC,BC=AC-AB.

乙乙o

因为衣=AD+DC,DCAB,

所以赤=—1+|(应叶g荔一荔

2f1一

=--AB+-AD.

oo

3.（能力挑战题）直线/上有不同的三点4B,C,。是直线/外一点，对于向量汤=（l-cos

a）宓+sinaOC（a是锐角）总成立，则。=

【解析】因为直线/上有不同的三点4B,C,

所以存在实数4，使得切=入祀,

所以汤-OB=A0C-OB),

即9=(1-4)南+AOC,

1―4=1-COSo,

所以I,所以sina=cosa,

.4=sina,

因为a是锐角，所以a=45°.

答案：45°

4.在AABC中，点M,N满足前/=2沅，夙,=苑.若麻=血+屈，则x=；y

【解析】MN=MC+CN

=；AC+；&=；AC+；(AB—AC)

==ABAC=xAB+yAC,

26

所以x=<,y=—I.

/b

田生11

广某：2-6

5.在△/比'中，及是儿?边上一点且就，=-NC,P是上一点，若亦=mAB+§衣，求

实数加的值.

»11■22

【解析】因为前=-NC,所以苏，=-AC,所以9=mAB+-AC=mAB+鼻AN,因为P