2023届江苏省淮安市高中教学协作体高三数学第一学期期末检测试题含解析

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先5．保持卡面清洁，使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。四个选项中，只有一项目要求的。的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于A、B两点，使得A是BC的中点，直则线l的斜率为（）xCCl122C．1A．B．D．333aSa3a()S2．设是等差数列的前项和，且，则nnn4421B．A．2C．1D．2323．在直角ABC中，C，AC2ADAB，则AB4，，若（）CDCB21818A．4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）B．63C．D．63物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴7A．6411B．3257C．6411D．1615．已知抛物线y22px(p0)上的y点M到其焦点F的距离比点M到轴的距离大，抛则物线的标准方程为（）2C．y4xy8xD．2y2xB．y2x22A．6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72C．48D．32A．10B．9C．8B．D．27B309．ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，，cosCa1a,b,c，则的面积为（）ABC73A．27D．2B．3C．7上两个动点，且满足OAOBnnN，设2xOy10．在平面直角坐标系中，已知是圆A,BA,Bxyn2*22nn2nnnn1x3ynn10的距离之和的最大值为，若数列到直线的前项和恒成立，则实数的取值anSmnmann范围是（）3,332A．,B．,C．,D．2443N为AM的中点，若ANABAC，则的值为()M是ABC边BC上任意11．设一点，1B．21C．31D．4A．1z(1i)2，其中为虚数单位，则（）．z112．已知复数满足ziC．1iiA．iB．D．1i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______.aa4,aaaa1aa1的值为________.14．已知等比数列的各项均为正数，，则n65432115．若x1且x0时，不等式ax2xa2x恒成立，则实数的取值范围为________．a216．从集合1,2,32,3,4中随机取一个元素，记为，则bab的概率为_______．中随机取一个元素，记为，从集合a三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。fxax3bx17．（12分）已知函数x12，当时，有极大值3；ab（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.fxa由数列aN公差为，bbN.的首项为，公差为，018．（12分）设等差数列的首项为，0a；等差数列bannn和b构造数表，与数表；MMncijcab记数表中位于第i行第j列的元素为，其中，（，=1，2，3，…）.ijMijijdabj1（1ib，，Ncab，1,212N）.如：d记数表中位于第i行第j列的元素为，其中jMiijijidab.31,21（1）设a5，，请计算，，；b9c2,6c396,6d2,6cdija6，，试求，的表达式（用，表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数ijttMtMtf(x)(xa)2xlnx，其导函数为f(x)，19．（12分）已知函数2f(x)1的解集；（1）若a0，求不等式f(s)f(t)1.0st2，恒有st20．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：加工1个零件用时X（分钟）20253035频数（个）15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率（1）求（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.X的分布列与数学期望EX；1个该零件作示范.12分）已知函数f(x)3sinxcos2x1,(xR).21．（222（1）当x[0,]时，求函数的值域；A,B,C的对边分别为a,b,c且c3，f(C)1，求AB边上的高h的最大值ABPA,AB//CD,AB1CD,△PAD等是边三角形，点M在棱PC上，10分）在四棱锥PABCD中，.（2）ABC的角22．（2平面PAD平面ABCD．（1）求证：平面PCD平面PAD；（2）若ABAD，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；AMPBCANPMAN，求的值．AM（3）设直线与平面相交于点，若AMNPBDAMPC参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】py2，将直线，设直线AB的方程为xmy，由题意得出yAx,yBx,y设点、l的方程与抛物线的方1122212y22列出韦达定理，结合ym由此可得出直线的斜率.l程联立，可求得的值，1【详解】p由题意可知点，设点、pC,0Ax,yBx,y，设直线AB的方程为xmy1122，22y由于点A是BC的中点，则y2，21xmyp将直线抛物线的方程联立得2，整理得y2mpyp0，l的方程与22y22px2mp8m2p29yy3y2mp，得，yy2y2p2，解得m由韦达定理得y132，41213121122.l的斜率为m因此，直线3故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.2、C【解析】a2aaaaa3aaa33a3,a1.，所以，，1234412322由于等差数列满足n44故选：C在直角三角形ABC中，求得cosCABAC1AB2，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角ABC中，C，AB4，，，AC22cosCABAC1，AB2若AD32AB，则CDCB（ADAC）（ABAC）ADABADACACABAC23AB23ABACACABAC23165421418．22222故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．4、C【解析】利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳2A6爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有C16种,故6P(A)167P(A)1P(A)1757.6464,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是2664故选：C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.5、B【解析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程．【详解】1p1，M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得222y＝2x．由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点p1，所以抛物线的标准方程为：2故选B．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．6、B【解析】4的正方5的正四棱柱，挖去一个4，高为3的正四棱由三视图可知该几何体是一个底面边长为形，高为底面边长为锥，利用体积公式，即可求解。【详解】4的正方5的正四棱柱，挖去一个4，由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为形，高为底面边长为高为3的正四棱锥，VVV44544364，故选B。13所以几何体的体积为柱锥【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解7、B形状以。【解析】1根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得AFBFp1214AFBF的最小值．；再由基本不等式可求得【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线y4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知21121AFBFp所以4AFBF114AFBFAFBF41BF4AFAFBF因为AF、BF为线段长度，都大于0，由基本不等式可知BF4AFBF4AFAFBF4152AFBF5229，此时BF2AF所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．8、B【解析】根据x0,fx0，可排除A,D，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】a0由题可知：，fx0，所以当x0时，又f'xexa，令f'x0，则xlna令f'x0，则xlna单调递减fx,lna所以函数在单调递增，lna,在故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.9、A【解析】c先求出sinA，由正弦定理求得，然后由面积公式计算．【详解】2721，7)2由题意sinC1(7sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC1(22773217．)2714asinB1sin307b7，absinAsinB由得sinA14S1absinC117213．2227故选：A．【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．10、B【解析】由于A,B到直线x3ynn10的距离和等于A,BA,B中点到此n中点到此直线距离的二倍，所以只需求nnnnn即可。再得到A,B中点的轨迹是圆，再通过此圆的n圆心到直线距离，半径和A,B中点到此直线直线距离的最大值nnn1距离的最大值的的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.a关系可以求出。再通过裂项的方法求nmann【详解】n2n2n，2n由OAOBnncosAOB，AOB120.设线段的中点，则nABnnCOCC，得22nnnnnnnn2上，到直线x3ynn10的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直ABnnCC在圆xy224nnx3ynn10(0,0)的圆心到直线n2线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆xy224nn1nn1nn1nn22n1an22n2nn21111d，a2n的距离为，，2122322n111111nn2112n1n21S11111aaa11134135.a2n2324123nm3.4故选：B【点睛】本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.11、B【解析】1t，通过AN12AM，再利用向量的加减运算可得ANABtAC2设，结合条件即可得解.BMtBC2【详解】BMtBC，设ABBM1tABtAC.ACAB则有AN12AM1212AB1tBC1ABt22222又ANABAC，1t1tt1.2222所以，有t2故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.12、A【解析】先化简求出z，即可求得答案.【详解】因为z(1i)2，21i1i21i2所以z1i1i1i2所以z11i1i故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得：S0，n1，S1不满足条件n4，执行循环体，，n2，不满足条件n4，执行循环体，，n3，S6不满足条件n4，执行循环体，，n4，S27不满足条件n4，执行循环体，S124，n5，此时满足条件n4，退出循环，输出S的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.2114、【解析】a运用等比数列的通项公式，即可解得．1【详解】aa4a(1q)4解：，，655aaaa1(1)(1)1aqaq432131a4a415a4(aa)q4q240，，4，31aa3155q(q22)20q4，2，，，422qaq5aq44(21)a11，，111a121．21故答案为：．21【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．2,,215、【解析】将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间a1上恒正、恒负时求参数1,00,范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围.a22【详解】222x2x，所以ax2xaaxxa2x，所以2因为2axxa2，223xa0所以，所以或ax3xa0ax2ax2xa2xax2xa2x0ax2xa00不成立，且xax2xa0，0时，12x2x对x当a当a23xa0ax3xa0显然不满足，所以aaxx2xa0，12ax2xa020时，取，x13aa04213aa042a2；，解所以得4211aa04211aa0ax3xa0ax3xa0axxa022显然不满足，所以1当a0时，取，，xaxxa0222aa0134213aa042a2，，解得所以11aa04211aa0422,.综上可得a的取值范围是：,22,.故答案为：,2【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.8916、【解析】先求出随机抽取,的所有事件数，再求出满足ab的事件数，根据古典概型公式求出结果.ab【详解】解：从集合1,2,32,3,4中随机取一个元素，记为，b中随机取一个元素，记为，从集合a9个，即为(1,2),(1,3),(1,4)(2,2),(2,3),(2,4)(3,2),(3,3),(3,4)，，，则(a,b)的事件数为其中满足ab的有，，，共有8个，(1,2),(1,3),(1,4)(2,2),(2,3),(2,4)(3,3),(3,4)8故ab的概率为.9【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a6,b9；17、（1）0,1.，递增区间为,0,1,（2）极小值为，递减区间为：0【解析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；a,ba,b1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值（2）结合（a,b.【详解】fx3ax22bx，2，则fxax3bx（1）由题意，函数f(1)3a2b0，解得由当x1时，有极大值，则3a6,b9.f(1)ab3fx6x39x2，（2）由（1）可得函数的解析式为fx18x18x18x(x1)，则2fx0，即18x(x1)0令，解得0x1，fx0，即18x(x1)0x0，解得或x1，令(,0),(1,)，递增区间为，(0,1)所以函数的单调减区间为当x0时，函数取得极小值，极小值为x1当时，有极大值3.f(0)0.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.50,2020,49218、（1）（）详见解析（）329【解析】（1）将a5，代入，可求出，，可代入求c，d，可求结果．i,ji,jb9abnn（2）可求c，d，通过反证法证明，i,ji,j（3）可推出，tM*，t的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．tMM*【详解】；a5n5（1）由题意知等差数列{a}n的通项公式为：n，b9n9{b}等差数列n的通项公式为：n得cab(5i5)(9i9)5i9j14，i,jij则c50，c2020，2,6396,6

得dab(5i5)[9(j1)9]5i9j5，i,jij1故d49．2,6a6．，由题意知等差数列的通项公式为：b76n6；（2）证明：已知{a}nan，{b}n等差数列的通项公式为：b7n7n得cab(6i6)(7i7)6i7j13，(iN*，jN*)．i,jij得dab(6i6)[7(j1)7]6i7j6，1i7，iN*，jN*)．i,jij1uNvNtM，则存在，，使t6u7v，所以若tM*uN若，则存在，vN*t6u7v，u6，，使{x|xt6uuN因此，对于正整数t，考虑集合0，，u6}，M即{t，，，，，，t6t12t18t24t30t36}．M下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．0MM反证法：假设集合中每一元素关于可以为任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中7的余数1，2，3，4，5，006，MM又因为集合中共有两个元素关于相同，7个元素，所以集合中至少存在7的余数00tu不妨设为，，2uuNuu6其中，，．则(tu)(t6u)6(uu)7的倍数，即，这两个元素的差为t6u11212211220，与uu1所以uu1矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．2Mt6uu6u即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，N，0000t6u7su0则存在，使Nu6t6u7su0，，，即，，，0NsZsZ00由已证可知，若uNvNtM，则存在，，使t6u7v，而tM，所以S为负整数，设VsvN*t6u7vuN，，，vN*，u6，则，且000当a6，时，对于整数b7t，若，则tM*成立．所以，tM不成立，即tM*，且tM．t，，则，假设命题tM*tM（3）下面用反证法证明：若对于整数mNnN，，，uNvN*t6u7v6n7m成立，则对于整数t，存在u6，，使6(un)7(mv)，整理，得又因为mN，，vN*76un所以(mv)0且un是7的倍数，因为，u6，所以un6，所以矛盾，即假设不成立．uN所以对于整数tM*tMt，若，则，又由第二问，对于整数，则tM*，tM所以t的最大值，就是集合中元素的最大值，M*，，uNvN*，u6，又因为t6u7v所以t(M*)667129．maxmax【点睛】本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．19、（1）x|x1（2）证明见解析【解析】（1）求出f(x)的导数，f(x)的单调性，根据导函数的性质判断函数再利用函数单调性解函数型不等式；(x)在区间(0,2)上单调递减，0st2可得结果.（2）构造函数(x)f(x)x，利用导数判断结合【详解】f(x)x2xlnx,f(x)2x2(1lnx).（1）若a0，则2(x)22设h(x)2x2(1lnx)，则h，x所以在h(x)(0,1)(1,)上单调递减，在上单调递增.又当x0时，h(x)；当x1x时，；当时，h(x)，h(x)0所以h(x)0f(x)在(0,)上单调递增，所以又f(1)1，所以不等式f(x)1的解集为x|x1.g(x)f(x)，再令(x)g(x)xx22lnx2a，（2）设2x22(x)1xx2，(x)在(0,2)上单调递减，又0st2，(s)(t)，g(s)sg(t)t，g(s)g(t)st，st0，g(s)g(t)1.stf(s)f(t)1即st【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.20、（1）分布列见解析，EX27.75；（2）0.8575【解析】目所给数据求得分布列，（1）根据题并计算出数学期望.（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.【详解】（1）X的分布列如下：X20253035P0.150.300.400.15EX200.15250.30300.40350.1527.75.（2）设XX，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件A表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时12间不超过100分钟”，则PAPXX601PXX60111221PX30,X35PX35,X30PX35,X351212110.40.150.40.150.1520.8575.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.132,121、（1）.（2）2【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.､三角形的面积公式､基本不等式求得ab的最大值，可得AB边上的高（2）由题意利用余弦定理h的最大值.【详解】sinx，63sinx1cosx11）∵函数f(x)3sinxcos2x1222解：（2227sinx1,1.x[0,]x,时，当，66266∴cf(C)1sinC3，（2）ABC中，.3c6ab时，c3ab2abcosCababab，当且仅当取等号，由余弦定理可得22222即ab的最大值为3.3absin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为.32再根据S13h122ABC【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．AN12191）证明见解析（2）（3）AM21922、（【解析】（1）取AD中点为O,连接PO,由等边三角形的性质可得CDPA,进而求证；性质可得POAD,再由面面PODC,根据平行直线垂直的性质可得y（2）以O为原点,过O作AB的平行线OF,分别以OA,OF,OP分别为轴,轴,z轴建立空间直角坐标系,设xABAD2,由点M在棱PC上,可设OM(1t)OPtOC(t,4t,3(1t)),t0,1,即可得,再求得平AM到面PBC的法向量,进而利用数量积求解；（3）设AD2,DCm,ANPMk,则PMkPC,AN