圆锥曲线离心率专题

第第1页共21页圆锥曲线离心率专题训练1.已知马，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使得PR_LPF2,则椭圆离心率的取值范围是（）八•史，1）B-[,1）0（0,]D，（0,]2.二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（2.二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A.B.C.D.TOC\o"1-5"\h\z3.椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，NOPA=90。，则该椭圆的离心率e的范围是（）[,1）B，（,1）仁[，）D，（0,）4.双曲线A.(-0)的离心率ee(1,2),则4.双曲线A.(-0)D.(-60,-12)B.(-3,0)C.(-12,0)D.(-60,-12).设Fi，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足NFiPF2=120。，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D..已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A.B.C.D..已知椭圆x2+my2=l的离心率，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D..已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为片，F2且它们在第一象限的交点为P,APFFz是以PR为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1,2）,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A-（0,）B.（,）C.（,）D.（,]）.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A.B.C.D..如图，等腰梯形ABCD中，ABIICD且AB=2,AD=1,DC=2x（xG（0,1））.以A,B为焦点，且过点D的D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2,则ei+e2的取值范围为（D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2,则ei+e2的取值范围为（）双曲线的离心率为ey以CB.(+°°)，+0°)D.(，+0°)11.已知双曲线11.已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点（-1,0）与点（1,0）到直线的距离之和为S,且S,则离心率e的距离之和为S,且S,则离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知片，尸12.已知片，尸2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得NF]PF2=60。，则椭圆离心率e的取值范围是A.圆离心率e的取值范围是A.)B.C.D.13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a,b,cCR）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（A.B.C.的取值范围是（A.B.C.D.14.已知椭圆14.已知椭圆上到点A（0,b）距离最远的点是B（0,-b）,则椭圆的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.A.B.C.D.15.已知双曲线的中心在原点，焦点15.已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为a,且,则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(12)心率的取值范围是（）A.B.C.(12)D.16.已知双曲线=1的两焦点为片、F2，点P在双曲线上乙F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1,则双曲线离心率的取值范围是（）A(1,]B(1,)D.(,2]217.椭圆巳+=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为BaF为其右焦点，若AF±BF,设NABF=a,且aG［，A.］，则该椭圆离心率的取值范围为（）[，1]B,[，1)D,[18.已知椭圆的左、右焦点分别为Fi0),F2(c0）,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为A.(0,B.(C.(0,D.(，1)19.已知直线1：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若，则椭圆离心率e的取值范围是（A.B.C.D.20.双曲线的焦距为2c,直线1过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线1的距离与点（-1,0）到直线1的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.21.点A是抛物线Ci：y2=2px（p>0）与双曲线C2：(a>0,b>0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线Ci的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于（）A.B.C.D.22.在椭圆上有一点M,FPF2是椭圆的两个焦点，则椭圆离心率的范围是（）A.B.C.D.23.椭圆+y2=l上存在一点p使得它对两个焦点用，F2的张角NRPF2=,则该椭圆的离心率的取值范围是（A.(0,]B,[，1)c,(0,]TOC\o"1-5"\h\z22.椭圆三十J二1(a>b>0)上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,1)B.(()C.D..椭圆的左右焦点分别为片，F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得ARF2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D..设Ai、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于Ai、A2的点P,使得其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D..已知点片、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过当且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,1+)B.(1,)C.(-1,1+)D.(1,2).如图，已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD满足IABI=-2ICDI,E为AC上一点，且.又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点.若，则双曲线离心率e的取值范围为()A.B.C.D..已知椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点，若AF_LBF,设NABF=a,且，则该椭圆离心率e的取值范围为()30.已知P为椭圆A.30.已知P为椭圆(a>b>0)上一点，FPF2是椭圆的左、右焦点，若使APFFz为直角三角形的点PC.(1,)D.(,C.(1,)D.(,+8)(0,)B,(,1)参考答案与试题解析.已知马，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使得PR_LPF2,则椭圆离心率的取值范围是（）人•卓1）B-[,1）（0,]D，（0,]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.设椭圆上任意一点P（x0,y0）,则，可得•.」OPI2==+=>b2,当且仅当Xo=O时取等号.「•椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.若椭圆上存在点P，使得PR_LPF2,贝iJcNb,「.C22b2=a2-c2,化为，解得又e<l,.•・故选B.2.二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A.B.C.D.解：m£[-2,-1],」•该曲线为双曲线，a=2,b2=-m,「.c=离心率e==,「mC[-2,-1],「.H,],」.eG故选C3.椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，NOPA=90。，则该椭圆的离心率e的范围是(A•戌1)B，(,1)0］，)D.(0,)解：可设椭圆的标准方程为：(a>b>0).设P(x,y),•••NOPA=90。，.・•点P在以0A为直径的圆上.该圆为：，化为x2-ax+y2=0.联立化为(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,贝，解得，•,0<x<a,,化为c2>b2=a2-c2,，又l>e>0.解得••.该椭圆的离心率e的范围是故选：C.4.双曲线的离心率尤(1,2),则k的取值范围是()A.(…，0)B.(-3,0)C.(-12,0)D.(-60,-12)解：•••双曲线的离心率ee(1,2),」•双曲线标准方程为：-=l，k<0,I<e2<4,1<<4,-12<k<0,故答案选C5.设Fi，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足NFiPF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解：F1(-c,0),F2(c,0),c>0,设P(x1,y1),贝日PFJua+expIPF2l=a-ex1.

在APFFz中，由余弦定理得85120。^二解得xj=.「xje(0,a2],0<<a2,gp4c2-3a2>0.且e2<le=>.故椭圆离心率的取范围是eG故选A..已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围()TOC\o"1-5"\h\zA.B.C.D.解：不防设椭圆方程：(a>b>0),再不妨设：B(0,b),三角形重心G(c,0),延长BG至D,使IGDI二,设D(x,y),贝I],,由，得：，解得：，而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则把b2=a2-c2代入上式整理得：即又因为椭圆离心率ee(0,1),所以，该椭圆离心率e的取值范围是故选B..已知椭圆x2+my2=l的离心率，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.A.B.C.D.TOC\o"1-5"\h\z22解：椭圆x2+my2=l化为标准方程为:二1in①若1>,即m>l,,②若，即OVm<l,「•实数m的取值范围是故选C..已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为片，F2且它们在第一象限的交点为P,aPFFz是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是()A-(0,)B.(,)C.(,)D-(,1)解：设椭圆的方程为+=1(a>b>0),其离心率为ep双曲线的方程为-=1(m>0,n>0),IFF2L2C,有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PFF2是以PF]为底边的等腰三角形，「•在椭圆中，IPF1l+IPF2k2a,而IPF2l=IFF2l=2c,IPFj=2a-2c；①同理，在该双曲线中，IPF1l=2m+2c；②由①②可得a=m+2c.,e(1，2),<=<1,3^.e[=—，==+2G(,3),

故选c.TOC\o"1-5"\h\z229.椭圆(a>b>0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,前斗则该椭圆的离心率e的取值范围”一是()A.B.C.D.解：在第一象限内取点(x,y),设*=2(30$6,y=bsin0,(0<0<)则椭圆的内接矩形长为2acos0,宽为2bsin0,内接矩形面积为2acos0•2bsin9=2absin20<2ab,由已知得：3b2<2ab<4b2,/.3b<2a<4b,平方得：9b4a2416b2,9(a2-c2)<4a2<16(a2-c2),5a249c2且12a2216c2,..<<即e£故选B.10.如图，等腰梯形ABCD中，ABIICD且AB=2,AD=1,DC=2x(xG(0,1)).以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为ey以C,D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为©2，则ei+e2的取值范围为()[2,+°°)(，[2,+°°)(，+°°)，+°°)D.(，+°°)解：BD=••二,C[=l,@2=，C?=X,♦•e1=,e?=，e]1但中不能取"二〃，ei+e2=+=+,令t=-Is(0,-1),贝Uq^+&2=(t+),te(0,-1),「•e1+e2G(，+0°)•・e]+e2的取值范围为(，+8).故选B.

TOC\o"1-5"\h\z2211.已知双曲线三（a>Lb>0）的焦距为2c,离心率为e,若点（-1,0）与点（1,0）到直线a2b2的距离之和为S,且S,则离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.解：直线1的方程为，即bx-ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a>l,得到点（1,0）到直线1的距离6=，同理得到点（-1,0）到直线1的距离.d2=,s=di+d2=由S，即得・aNc2.于是得4e4-25e2+25<0.解不等式，得由于e>l>0,所以e的取值范围是ee故选A.12.已知片，尸2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得12.已知片，尸2是椭圆圆离心率e的取值范围是（圆离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角NRPF2渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点Po处时，张角NRPF2达到最大值.由此可得：二•存在点P为椭圆上一点，使得NF]PF2=60。，AP0FF2中，ZF1P0F2>60°,可得RtAP0OF2中，ZOP0F2>30°,所以PoOWOF2,即bc,其中c二a2-c2<3c2,可得a244c2,即>椭圆离心率e=，且a>c>0故选C

13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,cCR)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是()A.B.C.D.解：设f(x)=x3+2ax2+3bx+c,由抛物线的离心率为1,可知f(解=l+2a+3b+c=0,故c=-l-2a-3b,所以f(x)=(x-l)[x2+(2a+l)x+(2a+3b+l)]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g(x)=x2+(2a+l)x+(2a+3b+l),有两个分别属于(0,1),(1,+°°)的零点，故有g(0)>0,g(1)<0,即2a+3b+l>0且4a+3b+3<0,则a,b满足的可行域如图所示，由于，则P(-1,)而表示(a,b)到(0,0)的距离，且(0,0)到P(-1,)的距离为(1=可确定的取值范围是(，+8).故答案为：A.14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,-b),则椭圆的离心率的取值范围为(14.已知椭圆A.B.C.D.A.B.C.D.解：设点P(x,y)是椭圆上的任意一点,化为

IPAl2-x2+(y-b)2-f2-)+(y-h)2==f(y),b2•••椭圆上的点P到点A(0,b)距离最远的点是B(0,-b),由二次函数的单调性可知：f(y)在(-b,b)单调递减，••,化为c2<b2=a2-c2,即2c2<a2,又e>0.」•离心率的取值范围是故选：C..已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为a,且，则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.(1,2)D.解：•••双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x贝ljtana=l<tana<，即1<<1<=<3求得<<2故选B..已知双曲线-=1的两焦点为片、尸2，点P在双曲线上，NRPF2的平分线分线段FF2的比为5:1,则双曲线离心率的取值范围是()A,(1,]BA,(1,]B-(1,(2,]D.(,2]解：根据内角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得5PF2-PF2=2a,PF2=,由于PF2=>c-a,「.>c,<.再由双曲线的离心率大于1可得，1<e<,故选A.

F为其右焦点，若AF±BF,设NABF=a,且aG［，F为其右焦点，若AF±BF,设NABF=a,且aG［，］，则该椭圆离心率的取值范围为()D,[［,1］［，］C〔，iD,[解：:B和A关于原点对称「.B也在椭圆上设左焦点为F根据椭圆定义：IAFI+IAFI=2a又「IBFITAF'B.IAFI+IBFI=2a…①0是RtAABF的斜边中点，IABI=2c又IAFI=2csina…②IBFI=2ccosa…③(2)(3)代入①2csina+2ccosa=2a即e=TOC\o"1-5"\h\z,/aG[，],<a+n/4<<sin(a+)<1/.<e<故选B.已知椭圆的左、右焦点分别为R(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为()A.(0,)B.A.(0,)B.((0,)D.(,1)解：在APFFz中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P(x0,y0)由焦点半径公式，得：PF^a+exg,PF?=a-ex0贝lja(a+ex0)=c(a-ex0)解得：x0==由椭圆的几何性质知：x由椭圆的几何性质知：x0>-a则>-a,整理得e2+2e-1>0,解得：e<-6-l或e>-1,又eC（0,1）,故椭圆的离心率：eG（-1,1）,故选D..已知直线1：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得TOC\o"1-5"\h\z的弦长为L,若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.解：圆x2+y2=4的圆心到直线1：y=kx+2的距离为（1=・「直线1：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L,「•由垂径定理，得2,即，解之得d2<<，解之得k2・「直线1经过椭圆的上顶点B和左焦点F,b=2且c==-，即a2—4+TOC\o"1-5"\h\z因此，椭圆的离心率e满足e2===-k2,,-.o<<,可得e2C（0,]故选：B.双曲线的焦距为2c,直线1过点（a,0）和（0,b）,且点（1,0）到直线1的距离与点（-1,0）到直线1的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.解：直线1的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a>l,得到点（1,0）到直线1的距离，同理得到点（-1,0）到直线l的距离.，^

由得••于是得5>2e2,即4e4-25e2+25<0.解不等式，得<e2<5.由于e>l>0,所以e的取值范围是故选D..点A是抛物线Ci：y2=2px(p>0)与双曲线C2：(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,TOC\o"1-5"\h\z抛物线G的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A.B.C.D.解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x,联立0；故A(,).•・•点A到抛物线J的准线的距离为p,+=p；..二•双曲线C2的离心率e===.故选：C..在椭圆上有一点M,FPF2是椭圆的两个焦点，若心率的范围是()A.B.C.D.解：由椭圆定义可知：IMFJ+IMF2l=2a,所以…①，若点A到则椭圆离…②在△MF1F若点A到则椭圆离…②又IMF，Hmf2|二就2，…③，由①②③可得：4c2=4a2-4b2-2IMFJ・IMF21cos0.所以IMFJ・IMF21cos9=0.TOC\o"1-5"\h\z所以cNb,即c22b2=a2-c2,2c22a2,,所以^故选B..椭圆+y2=l上存在一点P对两个焦点F],F2的张角NRPF2二，则该椭圆的离心率的取值范围是()(0,]B，[,1)C(0,][,1)解：.•.椭圆方程为：+y2=0,..b2=l,可得c2=a2-1,c=椭圆的离心率为e=又•••椭圆上一点P，使得角NF]PF2=,.•・设点P的坐标为(x0,y0),结合Fl(-C,0),F2(c,0),可得=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),=+=o...(T)-p(x°,y°)在椭圆+y2=l上，=1-，代入①可得+1-=0将c2=a2-1代入，得-a2-+2=0,所以二,_a^x0<a「•，即，解之得1<%2」•椭圆的离心率e==G[,1)..如果椭圆(a>b>0)上存在点P,使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,1)B.(0,当C.D.解：设P(X,y)，:P到原点的距离等于该椭圆的焦距，，x2+y2=4c2①.「P在椭圆上，.・・②联立①②得，0<x2<a2/.eG故选C.椭圆的左右焦点分别为Fi，F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得AFF2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解：①当点P与短轴的顶点重合时，ff2P构成以FF2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△FF2P；②当△FF2P构成以FF2为一腰的等腰三角形时，以f2p作为等腰三角形的底边为例，•.F]F2=ff，・•点P在以F]为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以R为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△FF2P,此时a-c<2c,解得a<3c,所以离心率e当《二时，AFF2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e。同理，当FF为等腰三角形的底边时，在e且e。时也存在2个满足条件的等腰AFF2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：ee(,)U(,1).设Ai、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于Ai、A2的点P,使得其中0为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.解：A](-a,0),A2(a,0),设P(x,y),贝lj=(-x,-y),=(a-x,-y),(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>g,0<x<a.代入=1,整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0,a)上有解，令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,f(0)=-a2b2<0,f(a)=0,如图：△二(a3)2-4x(b2-a2)x(-a2b2)=a2(a4-4a2b2+4b4)=a2(a2-2c2)2>0,「•对称轴满足<a,即0<<a,<1,>，又0<<1,<<1,故选D..已知点F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过马且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,1+)B.(1,)C.