2022年新高考数学二轮复习（回扣篇）第7练　函数的极值、最值

函数的极值、最值第7练专项典题精练高考汇编1.(2011·福建)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于A.2 B.3 C.6 D.9√12345678910111213141516解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.12345678910111213141516∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.2.(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为√12345678910111213141516解析由题|MN|＝x2－lnx(x>0)，不妨令h(x)＝x2－lnx，123456789101112131415163.(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为A.－1 B.－2e－3

C.5e－3

D.1√12345678910111213141516解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).12345678910111213141516由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.123456789101112131415164.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则A.a<b

B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2√12345678910111213141516解析方法一(分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b).12345678910111213141516(1)当a>0时，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意.(2)当a<0时，12345678910111213141516所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意.所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；12345678910111213141516综上，a>0且b>a满足题意，a<0且b<a也满足题意.因此，可知必有ab>a2成立.方法二当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意.从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意.从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.图1图212345678910111213141516方法三当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a.当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b.图3图4综上，可知必有ab>a2成立.123456789101112131415165.(2019·天津)已知a∈R.设函数f(x)＝

若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为A.[0,1] B.[0,2] C.[0，e] D.[1，e]√12345678910111213141516解析方法一

当a＝0时，不等式f(x)≥0恒成立，排除D；当x≤1时，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值为f(1)＝1>0，满足f(x)≥0；易得f(x)在x＝e处取得极小值(也是最小值)f(e)＝0，满足f(x)≥0恒成立，排除A，B.方法二

当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a.当a≤1时，可得f(x)的最小值为f(a)＝－a2＋2a，12345678910111213141516令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；当a>1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件，所以a≥0.当a≤1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故只需1－aln1≥0，显然成立；当a>1时，由f′(x)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值为f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e.综上，a的取值范围是[0，e].123456789101112131415166.(2013·全国Ⅰ)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是____.1234567891011121314151616解析依题意，f(x－2)为偶函数，f(x－2)＝(－x2＋4x－3)[x2＋(a－4)x＋4－2a＋b]，其中x3的系数为8－a，故a＝8，x的系数为28＋4b－11a，故b＝15，f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8，令f′(x)＝0，得x3＋6x2＋7x－2＝0，由对称轴为x＝－2可知，将该式分解为(x＋2)(x2＋4x－1)＝0，123456789101112131415167.(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为_____.123456789101112131415161解析函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞).12345678910111213141516当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；12345678910111213141516综上，f(x)min＝1.8.(2017·全国Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________.12345678910111213141516解析如图，连接OD，交BC于点G，由题意知，OD⊥BC，12345678910111213141516则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，12345678910111213141516模拟精选√1234567891011121314151612345678910111213141516故函数在区间(2,3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得极小值也是最小值，10.(2021·驻马店模拟)若函数f(x)＝ex－2ax2＋1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是√12345678910111213141516解析由题意可得，f′(x)＝ex－4ax＝0有2个不同的实数根，令g′(x)>0，可得x>1；令g′(x)<0，可得0<x<1或x<0，所以g(x)在(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，1234567891011121314151611.(2021·吉安模拟)已知函数f(x)＝lnx－x＋a－1，若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是A.[0，＋∞) B.[2，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，2]√1234567891011121314151612345678910111213141516令f′(x)＝0，则x＝1，∴当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝a－2，∵存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，∴只需f(x)max＝a－2≥0，∴a≥2，∴a的取值范围为[2，＋∞).12.(2021·新乡模拟)某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：℃，20≤x≤40)的关系式为y＝

，则该冷饮店的日销售额的最大值约为A.907元

B.910元

C.915元

D.920元√12345678910111213141516所以当20<x<38时，y′>0，即函数在(20,38)上单调递增，当38<x<40时，y′<0，即函数在(38,40)上单调递减，所以当x＝38时，函数取得最大值，1234567891011121314151613.(多选)(2021·重庆市育才中学模拟)已知函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax(a∈R)，下列说法正确的是12345678910111213141516B.若函数是偶函数，则a＝－3C.若a＝－2，函数存在最小值D.若函数存在极值，则实数a的取值范围是(－3,0)√√√解析对于A，B中，函数的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则ln(e－3x＋1)＋a(－x)＝ln(e3x＋1)＋ax，则lne3x＝－2ax，对于C中，当a＝－2时，f(x)＝ln(e3x＋1)－2x，12345678910111213141516因为f(x)存在极值，则f′(x)＝0有零点，1234567891011121314151612345678910111213141516解得－3<a<0，所以D正确.14.(2021·遂宁模拟)若ex－(a－1)x－lnx－lna≥0，则a的最大值为√12345678910111213141516解析原不等式化为x＋ex≥ax＋ln(ax)，即ex＋lnex≥ax＋ln(ax)，令f(x)＝x＋lnx(x>0)，知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，原不等式转化为f(ex)≥f(ax)，12345678910111213141516当0<x<1时，u′(x)<0，u(x)单调递减；当x>1时，u′(x)>0，u(x)单调递增，故当x＝1时，u(x)取得最小值u(1)＝e，所以a的最大值为e.1234567891011121314151615.(2021·淄博模拟)已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，则实数a的值是__________.12345678910111213141516－9或－6解析令g(x)＝x3＋2x＋a，得g′(x)＝3x2＋2xln2>0，则函数g(x)在[1,2]上单调递增，可得g(1)≤g(x)≤g(2)，即a＋3≤g(x)≤a＋12，当a≥－3时，g(x)≥a＋3≥0，f(x)＝|g(x)|＝g(x)≤a＋12，由a＋12＝6，解得a＝－6<－3，舍去；当a<－3时，若g(x)≥0，则0≤|g(x)|≤a＋12，若g(x)<0，则0<|g(x)|≤－a－3，12345678910111213141516故a＋12＝6或－a－3＝6，解得a＝－6或a＝－9.当a＝－6时，|a＋3|＝3<a＋12＝6，当a＝－9时，a＋12＝3<9－3＝6，故a＝－6或a＝－9均符合题意.1234567891011121314151612345678910111213141516e212345678910111213141516因为a>0，则函数f(x)单调递减；则函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝lna＋3≥b，由g′(a)＝0，可得a＝e－2，则函数g(a)单调递增；1234567891011121314151612345678910111213141516则函数g(a)单调递减，考情分析练后疑难精讲应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题.一、利用导数研究函数的极值核心提炼求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求定义域；(2)求导；(3)令f′(x)＝0；(4)列表，检查f′(x)在方程根左、右值的符号；(5)得出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根取得极小值.注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”.题号1313

二、利用导数研究函数的最值核心提炼求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.题号2678912

三、由极值、最值求参数问题核心提炼已知函数极值求参数时需注意的问题(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.题号451011141516

易错对点精补√1234解析令f(x)＝m－x2＋2lnx＝0，则m＝x2－2lnx，12342.[T7补偿](2021·张家界模拟)函数f(x)＝x－lnx与g(x)＝xex－lnx－x的最小值分别为a，b，则A.a＝b

B.a>bC.a<b

D.a，b的大小不能确定√1234解析f(x)的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)<0，解得0<x<1，令f′(x)>0，解得x>1，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，故a＝1，g(x)＝xex－lnx－x，定义域为(0，＋∞)，1234令h(x)＝xex－1，则可得h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)<0，h(1)>0，1234故存在x0∈(0,1)使得h(x0)＝0，即x0＝1，即x0＋lnx0＝0，当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，故当x＝x0时，函数g(x)取得最小值，g(x0)＝x0