课件ch9-2一阶微分方程

一一 变量可分离的一阶方一阶方程Fx,yy'也可表示 y'f(x,若fx,y)gxhy)，

即dyfx,y)dyg(x)h(y)

变量可分离的一阶方h(改写为dyg(x)dx 两边h(dy

g(x)dx例 求微分方程

(1y2(1x2)

满足条y(0)1的特解．dy(1y2)

2ydy2x解 (1x2)

1 1x两边积

2ydy 2xdx 1 1x

即ln(1y2ln(1x2ln 通解为1y2C(1x2代入y(0)1， C所求特解为1y22(1x2注 方程中的不定积分号不带有任意常数在方程中，１ lnx视问题需要，有时ln例2求解微分

dy2xy的通解 分离变

dy2xdx,y两端积分dy2yln

x21

yeC1ex或者yeC1

2yCex为所求通解2若积分后写为lnyx2lnCyCex2例 ，所受空气阻力与速度成正比，并降落伞下落速度为v(t)．降落伞在下降过程中，同时受到重力P与阻力R的作用．

R重力Pmg，阻力Rkv，

方向与v一致；方向与v相反

P从而降落伞所受外力 Fmg根据牛顿第二运动定律Fma (a为加速度)，可mdvmg分离变量后可得

dtmg 两边积

（或者

tdtmg 1ln(mgkv)tC m mgkvektkm

vv0mg 0m vmgm

k

(C

) 初始条件为v(0)0，代入上式得Ckvmg(1ekt于是所求的特解 k例4.有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图). 容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里解由力学知识得,水从孔口流QdV0.62 2gh流量系数孔口截面面积重力加S1cm2 由力学知dV 2ghdt, 设在微小的时间间[t,t

hh o

100水面的高度由h降至hdhr 1002(100h)2

dVr200hh2QdV0.622ghdVQdV0.622gh比较(1)和(2)得:(200hh2dh

2ghdt,(200hh2)dh 2ghdt,h即为未知函数的微分方程 可分离变hdt

t

)C2g2gth t

C

2g2g

14105,所求规律为t

2g2g

(7105 例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,解设鼓风机开tCO2的含量为x(t在[t,tdt]内CO2的通入2000dtCO2的排出量2000dtx(tCO2的改变量CO2的通入量CO2的排出量12000dx2000dt0.032000dtx(t), (x x0.03Ce6

x

t

0.1,C x0.030.07e6x|t600.03

6分钟后,车间内CO2的百分比降低 二二.形如dyP(x)yQ( 的方程，称为一阶线性方程其中P(x)、Q( 是连续的Q(x)称为自由项当Q(x) 时，dyP(x)y 称为一阶线性齐次方程当Q(x) 时，称为一阶线性非齐次方程一阶线性齐次方 dyP(x)y

dyP(x)dx两边积分所以通解为

dyyyP(x)

Px)dx得lnyPx)dxln例 求微分方解原方程化为

dy3y0dy3

的通解分离变量，得dyy两边积分，得

lny3xlnC，即通解 yCe3 (C为任意常数另解：(直接套 P(x)所求通解 3所求通解 yC (C为任意常数．一阶线性非齐次dyP(x)yQ(x)P(x)令yu(x)

线性齐次dyP线性齐次dyP(xy

P(x) P(x)y'u'(x)e P(x) P(x)yy代入方程(1)u'(x)e

P(x)

P(x) P(x)

u(x)

[P(x)]P(x)u(x)e

Q(即即u'x P(x)

Q( 或u'(x)Q(x) P(x)dx，两边积分， u(x)Q(x)eP(x)dxdx方程dyPx)yQx)

的通解yy P(x)P(x)Q(x)dxC通解可化为

P(x)y

这种方法称 常数变易(戏)P(x) P(x) Q(x) 结论一阶阶线性非齐次方程=对应齐次线性方程的通解+例 求解初值问

y(1) P(x)3，Q(x)e3x代入通 ，3dx

3

3 y dxC e3 e3x[xy(1)0，得y(1)e3[1C0，

C故所求特解为

ye3x(x例 求微分方程xy'ycos 的通解解方程变形 y'1ycos Px1，Qxcosx 所以通解为

cos

1dx y

xdx

ex

dxCelnx

cosxelnxdxC x1cosxdxCx

1(sinxCx例 求方程y'程变

x

的通解dxx

1xy即dx1x

所以通解为 1dy 1 xe

ye

dyCy[yelnydyy(yC例10.如图所示,平行与y轴的动直线被曲yf(x)yx3(x0)截下的线段PQ之线段长在数值上等于阴影部分的面积数值,求曲线f(x).x x

f(x)dx (x3(x3f(yQyoPxyxxydxxx0

两边求导yy3x2

(解此微分方yy3x2yedxC3x2e Cex3x26x由y|x0 得C所求曲线为y3(2exx22x三三 齐次型微分方一阶方

dyf(x,y)fx,ygy)，则称此方程为齐次型方程x例 dyx x

1 1x x

y2sin 1(y)2siny x y x如何化为变量可分离的微分方

uyx作代换，化为变量可分离的方令uy， 则yxu，

uxdu 代入

得到新的方程uxdug(u) g(u)

或dug(u 两边积

dxg(u) 解出ux,C

所以yx,Cx例 解方

y2x2dyxydy 解原方程可化为

dy y

(y)2 xyx

yx令uy，则yx dyuxxuxdu

所 ， u

x

u分离变量 (11)du 两边积分

(1

1)du ulnuClnx即所以所给方程的通解为

lnxuuC，lnyyC．例 求方程(x2y2)dy2xydx0满足y(0)1的特解解令v (y0)，则xvy，dxydvvy原方程可化为(v2y2y2)dy2vy2(ydvvdy) (y (v21)dy2vy分离变量得

dy2vdv v2 2vdv两边积分

yv2

得ln(v21)lnyln即v21C 所求通解y

x2y2又因y(0)1，得所以所求特解为

Cx2y2dyydx dyy1dx

!d(y1)(y1)dx dz z方程化为：dx

令y1dy yx d(y1)(y1)(x1)dx xy d(x (x1)(y1)例 求方程(xy1)dx(4yx1)dy 的通解 令xsh，ytk，代入原方程，得

dxds，dyd(sthk1)ds(4ts4kh1)dt 解方程

hk14kh1

得h1k于是令xs1，yt原方程化为(st)ds(4ts)dtd t

令u u 4sd t4s

2于是方程化 usduu1d 4u

或sdu4u 1，ds 4u1分离变量 4u1du两边积

4u24u1du

ds4u2 ln(4u21)arctan(2u)Clns2， lns2(4u21)arctan(2u)C， ln(4t2s2)所求通解为

s

Cln[4y2(x1)2]arctan(2y)Cx小结:可化为齐次的方程定

形如dyf(axby )的微分方 a1xb1y解

令xXh,yYk，

（其中h和k是待定的常数dxdX dy注dY aXbYahbk f(a

X

Y

h

kc 其中h，k由方程

ahbkcahbkc

确定 例 求方程y'1

xy

的通解分析程实际上就是yxy xy 令uxy4，则du1dy， 原方程化为du1

dy1du， 分离变量得两边积分

2udu2udu2dx，得所求通解为

u22x(xy4)22xC例15.抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面应该是 如图设旋转轴ox 光源在 L:yy(x设M(x,y)为L上任一点 xMT为切线,斜率为 LMN为法线,斜率为1LOMNNMR分析:只需证明曲线为抛物tanOMNtanNMR 由夹角正 得 1

M tanOMN

y yxoyx1 tanNMR

xyL y得微分方

tan(-)={tan()-yy22xyy

yxy

)xx令u

y，uxdu

1 11分离变

dx(1(1u2)1令1u2t

dxCxt(t Cx积分lnt

Cu2u2平方化简

Cu2C

2Cx代回uy,x所求曲线为抛物线

y22CxC 抛物2下一章的解析几何得到所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为y2z22C(xC2四四.伯努利方程方 dyP(x)yQ(x)

(n0,

称为伯努利方程(2)式两端同乘以yn，得到(1n)yndy(1n)P(x)y1n(1n)Q(x)注意到 dy1n(1n)yndy，

令zy1n则(2)式化dz(1n)Pxz(1nQ所求通解为

y1n e(n1)P(x)

(1n)Q(x)e(1n)P(x)dxdxC 3y例 求方程y'yx3y

的通解解方程可化2

y3y'y3 1令zy3 因此原方程可化为

3 所以通解为

dz2z2 2dx

2

2x

2 y3z

xe

dxCe

xe

dxC2x

2

2

2e xe

e

CCe x 例 求方程(y3x2xy)y' 的通解解方程可化为

dxxyx2y3 dxyxy3x2

x2dx