江苏省南京市2023-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题(含答案)

南京市2023－2023学年度第一学期期末调研测试卷高二数学〔理科〕2023.01本卷须知：1．本试卷共3页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两局部．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．参考公式：圆锥的体积公式：V＝EQ\F(1,3)πr2h，侧面积公式：S＝πrl，其中r，h和l分别为圆锥的底面半径，高和母线长．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．命题“假设ab＝0，那么b＝0”的逆否命题是▲2．复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，那么|z|为▲．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是▲．4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的▲条件〔在“充分不必要〞，“必要不充分〞，“充要〞，“既不充分又不必要〞中选一个填写xyOa31y＝f(x)l〔第7题图〕5．实数x，y满足条件EQ\b\lc\{(\a\al(x≥0，,y≥1，,2x＋y－5xyOa31y＝f(x)l〔第7题图〕6．函数f(x)＝xex的单调减区间是▲．7．如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x)相切于点(a，3)．假设f′(a)＝eq\f(2,3)，那么实数a的值是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，假设圆(x－a)2＋(y－a)2＝2与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，那么实数a的值为▲．〔第9题图〕ABCPM9．如图，在三棱锥P—ABC中，M是侧棱PC的中点，且eq\o(BM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AP,\s\up7(→))，〔第9题图〕ABCPM那么x＋y＋z的值为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，假设双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4EQ\r(,3)y的准线相交于A，B两点，那么三角形OAB的面积为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，假设点A到原点的距离为2，到直线EQ\r(,3)x＋y－2＝0的距离为1，那么满足条件的点A的个数为▲．12．假设函数f(x)＝x3－3x2＋mx在区间(0，3)内有极值，那么实数m的取值范围是▲．13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．假设eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2C,\s\up7(→))，那么该椭圆的离心率为▲．14．函数f(x)＝x|x2－3|．假设存在实数m，m∈(0，EQ\r(,5)]，使得当x∈[0，m]时，f(x)的取值范围是[0，am]，那么实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔此题总分值14分〕复数z＝EQ\F(2＋4mi,1－i)，〔m∈R，i是虚数单位〕．〔1〕假设z是纯虚数，求m的值；〔2〕设EQ\o(\s\up7(—),z)是z的共轭复数，复数EQ\o(\s\up7(—),z)＋2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．〔此题总分值14分〕如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1BB1〔第16题图〕ABB1〔第16题图〕ADCA1C1D1EFG〔2〕设二面角A—BD—G的大小为θ，求|cosθ|的值．17．〔此题总分值14分〕如图，圆锥OO1的体积为EQ\r(,6)π．设它的底面半径为x，侧面积为S．OO1〔第17题图〕〔OO1〔第17题图〕〔2〕当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？18．〔此题总分值16分〕在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A(1，3)，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．〔1〕求圆C的方程；〔2〕设P是圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．〔此题总分值16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条准线方程为x＝EQ\F(4EQ\r(,3),3)，离心率为EQ\F(EQ\r(,3),2)．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？假设在，求出该直线的方程；假设不在，请说明理由．OONMAl1xl2yQ〔第19题图〕20．〔此题总分值16分〕设函数f(x)＝EQ\F(1,2)ax2－1－lnx，其中a∈R．〔1〕假设a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；〔2〕假设函数f(x)有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f′(x1)＋f′(x2)＜0．南京市2023－2023学年度第一学期期末检测卷高二数学〔文科〕参考答案2023．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1．“假设b≠0，那么ab≠0”2．EQ\F(EQ\r(,2),2)3．(1，0)4．充分不必要5．76．(－∞，－1)或(－∞，－1]7．4EQ\r(,5)8．39．310．3eq\r(3)11．(0，3)12．313．EQ\F(EQ\r(,5),5)14．[－EQ\F(1,2e2)，e]二、解答题〔本大题共6小题，共90分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值14分〕解〔1〕z＝EQ\F(2＋4mi,1－i)＝EQ\F((2＋4mi)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝1－2m＋(2m＋1)i．……3分因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，解得m＝EQ\F(1,2)．……6分〔2〕因为EQ\o(\s\up7(—),z)是z的共轭复数，所以EQ\o(\s\up7(—),z)＝1－2m－(2m＋1)i．……8分所以EQ\o(\s\up7(—),z)＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]＝3－6m＋(2m＋1)i．……10分因为复数EQ\o(\s\up7(—),z)＋2z在复平面上对应的点在第一象限，所以EQ\b\lc\{(\a\al(3－6m＞0，,2m＋1＞0，))……12分解得－EQ\F(1,2)＜m＜EQ\F(1,2)，即实数m的取值范围为(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．……14分16．〔此题总分值14分〕解〔1〕由题意知，曲线C：x2＋(m2－6m)y2＝1所以m2－6m＜0．……3分解得0＜m＜6，即m的取值范围为(0，6)．……5分〔2〕由函数f(x)＝EQ\F(1,3)x3－mx2＋(2m＋3)x是单调增函数，可知f′(x)＝x2－2mx＋m＋3≥0恒成立．故△＝(－2m)2－4(2m＋3)≤0，解得－1≤m≤3．……8分因为p或q是真命题，p且q是假命题，所以p真q假或者p假q真．……11分因此EQ\b\lc\{(\a\al(0＜m＜6，,m＜－1或m＞3；))或者EQ\b\lc\{(\a\al(m≤0或m≥6，,－1≤m≤3．))故m的取值范围是[－1，0]∪(3，6)．……14分17．〔此题总分值14分〕解〔1〕设圆锥OO1的高为h，母线长为l．因为圆锥的体积为EQ\r(,6)π，即EQ\F(1,3)πx2h＝EQ\r(,6)π，所以h＝EQ\F(3EQ\r(,6),x2)．……2分因此l＝EQ\r(,x2＋h2)＝EQ\r(,x2＋(EQ\F(3EQ\r(,6),x2))2)，从而S＝πxl＝πxEQ\r(,x2＋(EQ\F(3EQ\r(,6),x2))2)＝πEQ\r(,x4＋EQ\F(54,x2))，(x＞0)．……6分〔2〕令f(x)＝x4＋EQ\F(54,x2)，那么f′(x)＝4x3－EQ\F(108,x3)，(x＞0)．……8分由f′(x)＝0，解得x＝EQ\r(,3)．……10分当0＜x＜EQ\r(,3)时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，eq\r(3))上单调递减；当x＞EQ\r(,3)时，f′(x)＞0，即函数f(x)在区间(eq\r(3)，＋∞)上单调递增．……12分所以当x＝EQ\r(,3)时，f(x)取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为EQ\r(,3)时，圆锥的侧面积最小．………14分18．〔此题总分值16分〕解〔1〕设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))．因为圆C经过点A(1，3)，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，所以EQ\b\lc\{(\a\al(1＋9＋D＋3E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,－EQ\F(D,2)＋EQ\F(E,2)－1＝0，))……4分解得EQ\b\lc\{(\a\al(D＝－4，,E＝－2，,F＝0．))所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．……7分〔2〕由〔1〕知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝EQ\r(,PC2－5)×EQ\r(,5)．所以当PC最小时，S最小．……10分因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．因为点P∈M，且圆M的半径为1，所以PCmin＝6－1＝5．所以Smin＝EQ\r(,52－5)×EQ\r(,5)＝10．……14分此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)．……16分19．〔此题总分值16分〕解〔1〕设椭圆C：eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1的半焦距为c．由题意，得EQ\b\lc\{(\a\al(EQ\F(a2,c)＝EQ\F(4EQ\r(,3),3)，,EQ\F(c,a)＝EQ\F(EQ\r(,3),2)，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝EQ\r(,3)，))从而b＝1．所以椭圆C的方程为eq\F(x2,4)＋y2＝1．……4分〔2〕①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)(x0≠0，y0≠0)，从而k1k2＝EQ\F(y0－1,x0)·EQ\F(－y0－1,x0)＝EQ\F(1－y02,x02)．……7分因为点M在椭圆C上，所以eq\F(x02,4)＋y02＝1，所以1－y02＝eq\F(x02,4)，所以k1k2＝EQ\F(1－y02,x02)＝EQ\F(1,4)．……10分②设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)．因为l1⊥AM，所以EQ\F(y0－1,x0)·EQ\F(y1－y0,x1－x0)＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0(x1－x0)；因为l2⊥AN，所以EQ\F(－y0－1,x0)·EQ\F(y1＋y0,x1－x0)＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0(x1－x0)，故(y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，化得(y1＋1)y0＝0．……14分从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．即点Q在一条定直线y＝－1上．……16分20．〔此题总分值16分〕解〔1〕当a＝0时，f(x)＝－1－lnx，f′(x)＝－EQ\F(1,x)．设切点为T(x0，－1－lnx0)，那么切线方程为：y＋1＋lnx0＝－EQ\F(1,x0)(x－x0)．……3分因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋lnx0＝－EQ\F(1,x0)(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝－EQ\F(1,e)x－1．……5分〔2〕①考察函数g(x)＝x－1－lnx．g′(x)＝1－EQ\F(1,x)＝EQ\F(x－1,x)．当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，lnx≤x－1恒成立．………………8分②f′(x)＝ax－EQ\F(1,x)＝EQ\F(ax2－1,x)，x＞0．(i)假设a≤0，那么f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f(x)在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意．……10分(ii)假设a＞0，由f′(x)＝0，解得x＝EQ\F(1,EQ\r(,a))．当0＜x＜EQ\F(1,EQ\r(,a))时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞EQ\F(1,EQ\r(,a))时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(EQ\F(1,EQ\r(,a)))＝EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))－1＝－EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))．要使函数f(x)有两个零点，首先－EQ\F(