有界磁场问题

有界磁场问题第一页，共四十二页，2022年，8月28日物理系统由于某种原因而要发生突变时所处的状态，叫临界状态。突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。如光学中的“临界角”、超导现象中的“临界温度”、核反应中的“临界体积”、光电效应中的极限频率、静摩擦现象中的最大静摩擦力等，

第二页，共四十二页，2022年，8月28日在中学物理中像这样的明确地指出的临界条件是容易理解和掌握的，但在高考试题中涉及的物理过程中常常是隐含着一个或几个临界状态，需要考生通过分析临界条件，挖掘出临界值，这对大多数考生来说是比较困难的。而带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是历年高考理科综合命题中的热点。第三页，共四十二页，2022年，8月28日一．对称法带电粒子垂直射入磁场后，将作匀速圆周运动。分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ间的夹角（也称为弦切角）相等，并有如图所示，应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。第四页，共四十二页，2022年，8月28日例1（2001年全国高考物理试题·18题）如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比。第五页，共四十二页，2022年，8月28日例2（04年全国高考理综Ⅳ·14题）一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一圆形区域内。一个质量为m、电量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，此时速度方向与y轴的夹角为300，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和平面上磁场区域的半径R。第六页，共四十二页，2022年，8月28日(07天津卷)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是A.，正电荷B.，正电荷C.，负电荷D.，负电荷第七页，共四十二页，2022年，8月28日(07广东卷)图17是某装置的垂直截面图，虚线A1A2是垂直截面与磁场区边界面的交线，匀强磁场分布在A1A2的右侧区域，磁感应强度B=0.4T，方向垂直纸面向外，A1A2与垂直截面上的水平线夹角为45°。A1A2在左侧，固定的薄板和等大的挡板均水平放置，它们与垂直截面交线分别为S1、S2，相距L=0.2m。在薄板上P处开一小孔，P与A1A2线上点D的水平距离为L。

第八页，共四十二页，2022年，8月28日在小孔处装一个电子快门。起初快门开启，一旦有带正电微粒通过小孔，快门立即关闭，此后每隔T=3.0×10-3s开启一此并瞬间关闭。从S1S2之间的某一位置水平发射一速度为v0的带正电微粒，它经过磁场区域后入射到P处小孔。通过小孔的微粒与档板发生碰撞而反弹，反弹速度大小是碰前的0.5倍。第九页，共四十二页，2022年，8月28日（1）经过一次反弹直接从小孔射出的微粒，其初速度v0应为多少？（2）求上述微粒从最初水平射入磁场到第二次离开磁场的时间。（忽略微粒所受重力影响，碰撞过程无电荷转移。已知微粒的荷质比。只考虑纸面上带电微粒的运动）第十页，共四十二页，2022年，8月28日二．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中作匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示（只画出粒子带正电的情形），速度v0越大，运动半径也越大。可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹在圆心在垂直速度方向的直线PP1上。第十一页，共四十二页，2022年，8月28日由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP1直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”。第十二页，共四十二页，2022年，8月28日例3：如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM1和NN1是磁场左右的两条边界线。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ=450。要使粒子不能从右边界NN1射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

第十三页，共四十二页，2022年，8月28日例4：如图所示，一足够长的矩形区域abcd，存在磁感应强度为B垂直纸面向里的匀强磁场。在ab边的中点O处，垂直磁场向往一速度方向跟ad边夹角为300、大小为v的带电粒子，已知粒子的质量为m，电量为e，ab边长为L，ad边足够长，重力忽略不计。问：第十四页，共四十二页，2022年，8月28日⑴试求电子全部从bc边射出时，电子射入速度v0大小值范围；⑵粒子在磁场中运动的最长时间和这种情况下粒子从磁场射出所在边上的范围。第十五页，共四十二页，2022年，8月28日[解析]：⑴由题意可知，从O射入的粒子是以任意速度沿特定方向运动的粒子。因此，可采用“放缩法”作出如图所示，其中速度最大的粒子运动轨迹与ad相切于P点，设最大速度为v1，对应的半径为R1，速度最小的粒子运动轨迹与bc相切于M点，设最小速度为v2，对应的半径为R2，第十六页，共四十二页，2022年，8月28日则由图中几何关系可知：因θ=300，可得：R1=L，又由以上四式可求得能从bc边上射出磁场的v的大小范围为：≥v≥第十七页，共四十二页，2022年，8月28日⑵粒子在磁场中运动的时间与运动轨迹圆弧所对的圆心角成正比，由图可知，从磁场ab边界上射出的带电粒子运动轨迹所对的圆心角均为，所以时间也相同，它即为粒子在磁场中运动的最长时间。则。

第十八页，共四十二页，2022年，8月28日在这种情况下，运动轨迹的最大半径就是，此时，最小半径趋于零，即打在O点，所以从ad边界射出其不意的范围在OI之间。第十九页，共四十二页，2022年，8月28日(07全国卷Ⅰ)两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。第二十页，共四十二页，2022年，8月28日在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。第二十一页，共四十二页，2022年，8月28日解：对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a，y轴上的最高点为y=2r=2a;第二十二页，共四十二页，2022年，8月28日对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是c和c’由对称性得到c’在x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满足第二十三页，共四十二页，2022年，8月28日解得由数学关系得到：代入数据得到：所以在x轴上的范围是第二十四页，共四十二页，2022年，8月28日三．平移法带电粒子以一定的速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中作匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为，如图所示。同时可发现这样的粒子源的粒子射磁场后，粒子在磁场中作匀速圆周运动圆心在以入射点P为圆心、半径的圆（这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”）上。第二十五页，共四十二页，2022年，8月28日由此我们也可得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”。第二十六页，共四十二页，2022年，8月28日例5（04年全国高考物理广东广西卷·18题）如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。第二十七页，共四十二页，2022年，8月28日[解析]：α粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R，由得：代入数值得R=10cm，可见2R>L>R第二十八页，共四十二页，2022年，8月28日由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，可先考察速度沿负y轴方向的α粒子，其轨迹圆心在x轴上的A1点，将α粒子运动轨迹的圆心由A1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如图所示。

第二十九页，共四十二页，2022年，8月28日第三十页，共四十二页，2022年，8月28日由图可知，当轨迹圆的圆心移至A3点时，粒子运动轨迹与ab相交处P2到S的距离为2R，P2即为粒子打中ab上区域的右边最远点。由图中几何关系得：第三十一页，共四十二页，2022年，8月28日当α粒子的轨迹的圆心由A3点移至A4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移到A4点后将不再与ab相交了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，与ab相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点。可过A4点作平行于ab的直线cd，再过A4作ab的垂线，它与ab的交点即为P1，同样由几何关系可知：，则所求长度为P1P2=NP1+NP2代入数值得：P1P2=20cm。第三十二页，共四十二页，2022年，8月28日例6：在xoy平面内有许多电子（质量为m、电量为e）从坐标原点O不断地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一垂直于xoy平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。第三十三页，共四十二页，2022年，8月28日例10（05全国Ⅰ）如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中。哪个图是正确的？（）第三十四页，共四十二页，2022年，8月28日第三十五页，共四十二页，2022年，8月28日例11（1999年全国卷）如图所示，MN为垂直于纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外，O为MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q，质量为m，速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内的各个方向，第三十六页，共四十二页，2022年，8月28日已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用，求这两粒子从O点射入磁场的时间间隔。第三十七页，共四十二页，2022年，8月28日四．数学解析法：由于圆的方程很容易用xoy坐标中的解析方程表达出来，因此，带电粒子在有界磁场中运动的临界条件也可通过“数学解析法”来确定。第三十八页，共四十二页，2022年，8月28日例7：如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，有一束宽度