数值分析数值微积分

数值分析课件数值微积分第一页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析第4章数值积分与数值微分基本公式与一般概念

Newton-Cotes公式复化求积公式Romberg算法高斯求积公式数值微分内容比较抽象，理论要求高，简单介绍第二页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析4.1基本公式与一般概念

实际问题中常常需要计算积分，例如重积分、线面积分等各种运算都以定积分的计算为基础，而计算定积分的Newton-Leibniz公式要以存在初等函数形式的原函数为前提，即在公式中原函数为初等函数。但在许多场合无法在初等函数范围内求出原函数，例如，形式上很简单的积分在初等函数范围内求不出原函数，则无法用Newton-Leibniz公式计算相应的定积分。第三页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析基本公式与一般概念

数值微积分

用函数值的线性组合表示导数或者积分的近似值的计算方法。几个基本公式1.矩形公式 由积分中值定理知：若 ，则

其中， 称为函数 在区间[a,b]上的平均值，几何上可解释为在区间[a,b]上的平均高度。记区间[a,b]的中点坐标 ，并用近似代替 ，便得到一个近似公式（矩形公式）第四页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析2.梯形公式 用区间[a,b]两端点处函数的平均值近似代替，便得到其近似公式它在几何上表示用过两端点的直线代替曲线，用梯形面积近似代替曲边梯形面积，因而称为梯形公式。注：公式中用了2个端点处的函数值。第五页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析3.抛物线公式 如果用过两端点a,b和中点的抛物线来代替被积函数，就可得到抛物线公式也称为simpson公式。注：公式中用了3个节点处的函数值。从几何意义上可看出，在通常情况下，抛物线公式的精度相对比较高。第六页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析例题 分别用矩形公式、梯形公式和抛物线公式计算 ，并与精确值进行比较。解 用矩形公式可得

用梯形公式可得

用抛物线公式可得 而准确值 第七页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析习题 分别用矩形公式、梯形公式和抛物线公式计算。第八页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析求积公式及其代数精度上面的几个公式（矩形、梯形和抛物线公式）有个共同点，就是用积分区间[a,b]内若干点的函数值的线性组合来计算积分的近似值，而组合系数之和等于积分区间的长度。也就是说：用积分区间[a,b]内若干点的函数值的加权平均值近似代替其平均值，而各点权数之和等于1.一般地，可以在积分区间内取n+1个互异的点 ，用函数值 的加权平均近似代替，即 从而第九页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析上述函数值的线性组合称为求积公式，称为求积节点，称为求积系数。构造求积公式的关键在于按照一定的原则和要求确定满足条件的节点和求积系数。数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。表示方法：积分—I[f]；求积公式—Q[f]第十页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析定义 如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于都能准确成立，这就要求第十一页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析插值型的求积公式设给定一组节点 ，且已知函数f(x)在这些节点上的值，做插值函数。由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们取作为积分 的近似值，这样构造出的求积公式称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数积分得出第十二页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析Newton-Cotes公式是等距节点情况下的插值型求积公式。公式的形式与Cotes系数将积分区间[a,b]划分为n等分，步长 ，则n+1个等距节点用n次Lagrange插值多项式近似代替积分函数中的被积函数f(x),则插值型的求积公式可表示成其中，系数称为Cotes系数，并满足关系4.2Newton-Cotes公式第十三页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析当选定n后，计算出系数后代入多项式即可。例如，当 ，则 求积公式即为梯形公式当n=2时，则求积公式即为Simpson公式第十四页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析当n=4时，则可得出式中，这个公式称为Cotes公式。为了便于应用，将Cotes系数列表如下：第十五页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析n12345678第十六页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析注意对于每个固定的n,n+1个Cotes系数成对称形式，且各系数之和等于1；又Cotes系数仅与节点有关，与被积函数f(x)无关；一旦构造出求积公式，均可用公式Q[f]对I[f]做数值计算。第十七页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析偶阶求积公式的代数精度n=0时的梯形公式具有1次代数精度，n=1时的矩形公式具有1次代数精度，n=2时的Simpson公式却达到3次代数精度。定理 当阶数n为偶数时的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。第十八页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析习题分别写出n=3,5,6时想要的Cotes公式。第十九页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析4.3复化求积公式复化求积公式由于高次插值多项式常常存在数值不稳定，为了克服这个问题，采用了分段的低次插值。同样，高阶的Newton-Cotes公式也会引起数值不稳定，这可采用复化的低阶公式来解决。设将求积区间[a,b]分成n等分，步长为 ，分点为我们在每个子区间 上应用某种较低阶的求积公式 ，计算出局部上的近似值，然后取n个区间上的总和得出积分 的近似值，上式就是复化求积公式。第二十页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析为了得到复化梯形公式则要用到在每个小区间 上用到端点处的函数值。为了得到复化Simpson公式则要用到在每个小区间 上用到中点 处的函数值。而复化Cotes公式则要用到在每个小区间上插入的3个等分点 处的函数值第二十一页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析设 ，将[a,b]分成n等分，步长 。记复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式分别为 ，则第二十二页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析例题 已知函数 的数据表如下： 将区间[0,1]8等分，用复化求积公式T8，S4计算

的值。01/81/43/81/210.99739780.98961580.97672670.95885105/83/47/810.93615560.90885160.87719250.8414709第二十三页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析解 用T8计算用S4计算，则第二十四页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析该积分用幂级数可获得任意精度的近似解，因为故所得到的近似值8位均为有效数字。按照T8计算，只得到2位有效数字，但S4却可得到6位有效数字。可见，复化Simpson公式比复化梯形公式精度高得多。第二十五页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析习题 分别用复化梯形公式（取n=8）和复化辛普森公式（取n=4）求解积分的值。第二十六页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析4.4龙贝格（Romberg）算法复化梯形公式虽然精度不高，但是有便于计算的优点，特别是对积分区间不断对半分，各复化梯形公式之间还有递推关系，对计算特别有利。把这些复化梯形公式进行某种线性组合，便可非常有效地提高计算的精度。一、梯形法的递推公式我们已知，将积分区间n等分后，可得复化梯形公式若把每个子区间 再对半分，记新分点即小区间的中点为 ，则子区间的个数便变成2n个。第二十七页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析欲求，计算量几乎是计算的2倍。自然会想到，怎么利用的结果来简化的计算，只要计算各新分点 处的函数值。已知小区间 对半分后再用梯形公式为从而即可把用到计算上去，而只要算出各新分点处函数值之和。上式称为梯形法的递推公式。第二十八页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析例题1

利用递推公式计算积分值解 被积函数 ，显然应定义 ，而由梯形公式然后将区间二等分，再求出中点的函数值利用递推公式得进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值第二十九页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析再次利用递推公式得这样继续二分下去，以k表示对半分的次数，相应的复化梯形公式记作，将对半分所算出的积分数值列表如下：从表的最后一个值知，用复化梯形公式计算该积分需要将[0,1]区间作1024等分才能得到有7位有效数字的近似值，计算量很大。k12345Tn0.93979330.94451350.94569090.94598500.9460596k678910Tn0.94607690.94608150.94608270.94608300.9460831第三十页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析二、Romberg公式用梯形的递推公式精度比较低。精度稍高点，就要求对积分区间等分好多份。为了提高计算精度，我们用误差的事后估计法改造梯形递推公式。为了方便，将函数 在[a,b]点的积分记作I。由于复化梯形公式的截断误差为 ，故对半分后所得的公式 的截断误差大致减为误差的1/4，即 由此可见，只要二分前后的两个积分值与相当接近，就可以保证计算结果的误差很小，这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法。第三十一页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析我们用已经算出来的值 对做了误差估计。现在，以它作为近似值的补偿，将求积公式改进为，即

注意： 有趣的是经过这番用误差的事后估计法改造后的公式（*）正好是Simpson公式，即而该公式的截断误差为。这表明：经过对的线性组合，可提高求积公式的精度，而组合系数之和等于1，这正是求积公式所要求的必要条件。第三十二页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析同样，我们把放到的位置上，重复上面的分析，只要注意到的截断误差为，再对半分一次，得出，其截断误差大致为的，即仿上得到比更好的公式，并且可验证正好是Cotes公式，即 第三十三页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析同样，我们把放到的位置上，重复上面的分析，只要注意到的截断误差为，再对半分一次，得出，其截断误差大致为的，即仿上得到比更好的求积公式，记作，即 这就是Romberg公式，或称为Romberg算法。第三十四页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析这种通过对积分区间的对半化，按递推公式可得到各复化梯形公式，再经过线性组合，依次得到复化Simpson公式，复化Cotes公式和Romberg公式，其精度可大大提高。例题2

用Romberg算法重新计算积分值 并和梯形的递推公式结果做比较。第三十五页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析用Romberg算法得到的结果如下其中，k表示对半分区间的次数。如果要估计误差，可在上表的下面再算一行，这样一般地，的近似程度比的要好。如果满足 ，N为自然数，便可说积分的近似值为，精度为。k00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608680.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831第三十六页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析例题3

用Romberg算法计算积分值 的近似值，使其精度达到。解 被积函数 。按照梯形递推公式依次得第三十七页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析用Romberg算法得到的结果如下其中，k表示对半分区间的次数。 因为 ，故可取 作为积分的近似值，精度为。k03.0000013.100003.1333323.131183.141573.1415733.138993.141593.141593.1415843.140943.141593.141593.14159第三十八页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析4.5高斯求积公式对于求积公式含有2n+2个待定参数 ，当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为n次，如果适当选取 ，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式。相应的节点 称为高斯点。由定义知高斯公式必为插值型的求积公式，而插值型求积公式的求积系数 是通过节点构成的Lagrange插值基函数的积分来运算的。因此，找出Gauss点是个关键问题。第三十九页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析定理1

插值型的求积公式中的节点 是Gauss点的充分必要条件是 与一切次数不大于n的多项式在区间[a,b]上正交，即例1

构造形如 的Gauss求积公式。解： 按照定理1，对于求Gauss点，有其中， ，即第四十页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析例2

构造形如 的Gauss求积公式。解： 按照定理1，对于求Gauss点，有其中， ，求出其中的 ，即为Gauss点。进而用节点对应的Lagrange插值基函数可求出求积系数。第四十一页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析带权的Gauss公式有些积分要把被积函数分离成两个因子的乘积 才好计算，其中 ，即研究积分这称为带权的积分， 称为权函数。典型的求积公式：1、高斯--勒让德求积公式 权函数： 区间：2、高斯—切比雪夫求积公式 权函数： 区间：第四十二页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析4.6数值微分数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。构造数值微分的主要方法：1、按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式其中，h为一增量，称为步长，第三种数值微分方法称为中点方法。它其实是前两种方法的算术平均，但它的误差阶却由提高到。第四十三页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析2、Taylor展开法设，则上面两式相加，即得其中为截断误差。O（hN）表示精度，自然数N越大，表示精度越高。第四十四页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析3、插值型数值求导公式对于列表函数y=f(x):运用插值原理，可以建立插值多项式作为它的近似。由于多项式的求导比较容易，所以我们取的值作为的近似值。这样建立的数值公式统称为插值型的求导公式。注意：即使f(x)与的值相差不大，其导数的值也可能差别很大。因此，在使用求导公式时应特别注意误差的分析。xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn第四十五页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析求某个节点上的导数值时，以下公式成立两点公式当节点只有x0和x1时，则从而，第四十六页，共七十三页，2022年，8月28日数值分析三点公式取等距节点存在以下关系式实用五点公式设等距节点，可仿三点公式的推导方法得出五点公式，它是由四次插值多项式求导后代入节点而得出的。