-高中数学第一章导数及其应用2.1几个常用函数的导数一作业含解析新人教版选修2-

PAGEPAGE3常数函数与幂函数的导数一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知f(x)＝sinα，则f′(α)＝()A．sinα B．0C．2sinα D．cosα＋sinα解析：f′(x)＝(sinα)′＝0，∴f′(α)＝0.答案：B2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D.eq\f(e2,2)解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案：D3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有()A．1条 B．2条C．3条 D．不确定解析：本题切线的条数是由切点的个数来决定的，设切点为(x0，xeq\o\al(3,0))，∵y′＝3x2，∴3xeq\o\al(2,0)＝1，∴x0＝±eq\f(\r(3),3)，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条．答案：B4．下列各式中正确的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x) B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3x·ln3解析：A项(logax)′＝eq\f(1,xlna)，B项同A，C项(3x)′＝3xln3.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)6．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴lna＝－1.∴a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数．(1)y＝lg5；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解析：(1)y′＝(lg5)′＝0；(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)；(3)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝x2－eq\f(1,2)＝xeq\f(3,2)；∴y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.8．已知曲线方程y＝x2，求过点B(2,3)且与曲线相切的直线方程．解析：显然点B(2,3)不在曲线y＝x2上，即点B不为切点，故设切点P的坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0.∴切线方程为y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．将点B(2,3)代入上式得3－xeq\o\al(2,0)＝2x0(2－x0)，即3－xeq\o\al(2,0)＝4x0－2xeq\o\al(2,0).∴xeq\o\al(2,0)－4x0＋3＝0，∴x0＝1或x0＝3.∴切点坐标为(1,1)或(3,9)．∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)，即2x－y－1＝0或6x－y－9＝0.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)