导数在不等式中的应用专题

导数在不等中的应用考一

构函证不式【1已知数x＝1

x－1

，(x＝－ln证：g(≥1；证：(－lnf(x)>1－.2【练】已知数(＝

ax＋b在(－1f(处的线程x＋＋3x2＋1求数x)解式设g()＝lnx，求：g(x≥)在1＋∞)上成.【2已知数x＝xx－ax.当a＝时，函f(在0＋∞)的最；2证：一∈(0＋∞)都lnx＋1>－成立e＋1ex【练】已知次数f(x的导数f′(x)－3x

a＋3且＝－1，g(＝＋(a≥1).x求f()的值求：任x，x∈(0，＋∞)，有)≤gx1221

ππx角1不式恒立参【3】已知数fx)

x≠0).x判函x)区，

π

上单性若f(区间

上成，实最值1＋lnx【练】(2019·潍模)知数f(x)＝.x若数x)区，a2

上在值求实a取范；k如当≥1时不式f()≥恒立求数k的取范.＋1【3】已知数fx)2

－(2a＋(a∈R).若f(x)在间1上单函，实a的值围函g(x)＝(1，若x0∈[1，e]使得f(x)≥g(x)立求数a的值围00【练】已函数f(x)m－

mx(∈R)，(x＝，若少在个x∈[1，e]，得x0f)<x)立求数的取范.002

22【1已函f()＝

，y＝(x的象致为)（x＋1）x已函x)x，x∈R.明曲y＝(与曲y＝2＋x＋1有一共.【2(2017·全国卷编已函数f)＝x－1－alnx若f(≥0，a的值；11证：于意整n＋＋…＋22【3设函x＝lnx－x＋1.讨f()的调；x－1求：∈(1＋∞)，1<x

【础固组(议时35分钟一选题3

12121212121212121.(2019·南模函f(＝lnx＋的导为′(x)若程′(x)f)根小于1则数0的值围()，＋∞)，2)

，1)，2.(2019·南研已常，数f()＝－)两极点x，x(x<)，()12121x)>0，f(x)>－B.f(，(x)<21x)>0，f(x)<－D.f(，(x)>2若对任，满0<ab<，都有bab，则t的最大为_函数fx＝x－2sinx，任的∈[0，π]，有x－(x)|M，M的小为_______.1212三解题已知f(x)－x)e－1.求数x)最值设g()＝

f（x）x

，x>且≠0，证：g(已知函x＝3－2当a时求线y＝f(x在点2处的线程在间[，2]内至存一实，使(x)<0成立，实取范.【力升组(议时25分钟7.(2019·京庆调)知数f(x)＝求f()的调间极；若任∈(0＋∞)x≥

－x

＋mx恒立求数m的最大值

4

已知函x＝e－1－x－2.当a时求：f(≥0；当x时若等fx)≥0恒立求数的值范；若x，证明e－1)ln(xx25

答

案考一

构函证不式【1已知数x＝1

x－1

，(x＝－ln证：g(≥1；证：(－lnf(x)>1－.2【案见析x－1【析证(1)由意g′(＝(，x当x时，gx；x>1时，′(，即g(在0上减数在1＋∞)上增数.所x≥＝1得证由f()＝1－

x－1

x－2，f′(x)，所当时fx)<0，时，f′(x，即f(在0上减数在2＋∞)上增数所x≥＝1当仅＝2时等)①2又(1)－ln≥1(且当x＝1时取号，且②号同取，所(x－lnf(x)>1－.2【律法证明不式基方：利单性若f(x)[，b]上是函，①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x∈[a12，且<x，f(x)<f(x).对于函有似论.121利最：f(x)在个围D内最值M(最值m)，∀x∈D，f(x)≤M(f(x)≥m).证明f(g()，构函(x)f(－g(x)证(先通化、形再项造等就少算，得题利决【练】已知数(＝

ax＋b在(－1f(处的线程x＋＋3x2＋1求数x)解式设g()＝lnx，求：g(x≥)在1＋∞)上成.6

，2222min，2222min【案见析【析(1)

将x＝－1代入切方得y＝－2，所－1)

b－a＝－2化得－a＝－4.①＋1f′(x＝

a（x2

＋1）（ax＋）·2（x＋1）a（b－af′(＝

＝－1.②联①，得＝2，b－2.所以f(x)＝

－2x＋1证由题知证lnx≥

2x－2在1＋∞)上成，x2＋1即明x

＋1)ln≥2x，2

＋lnx－2x＋2≥0在[1，∞)上恒立设h(＝2

＋ln－2x，则hx＝2x＋x＋－2x1因≥1，所2x，＋x·≥2(且当x时号立，hx)，x所x在[，∞)上单递，h(x≥h＝0所x≥(在[，∞)上恒立考二

利“x)g(，则f(g(x)证不式minmax【2已知数x＝xx－ax.当a＝时，函f(在0＋∞)的最；2证：一∈(0＋∞)都lnx＋1>－成立e＋1ex【案见析【析(1)

函f()＝－的定域(，∞).当a＝时，x＝＋x，f′(x)x由fx＝0，x＝.2当x∈，e

时f′(x；时，f′(2所x在e

上调减在，＋

上调增1因x在＝处取最值即f(＝f2

＝，但f(在0＋∞)上最值2证当x时lnx＋1>

2－等于x＋1)>x＋1e2xe

x2－.x＋1e

7

maxxmaxx1由1)知a－1时，f(＝xlnx＋x的最值－，且当x＝时取号2e2设G(＝

x2－，x∈(0，＋，ex＋1e－1则Gx＝，知G(＝G＝－，x＋12当仅x＝1时取，而知一x∈(0，∞)，都)>G(，lnx＋1>

－.x＋1e【律法在证明等中若法化一函的最问，可虑化两函的值题.在证明程，价化关，处f(x)>x恒成.而f(x)>g(，此f(与g(取minmax最的件是一“x的值”a【练】已知次数f(x的导数f′(x)－3x＋3且f＝－1，＝xlnx＋≥1).x求f()的值求：任x，x∈(0，＋∞)，有)≤gx122【案见析【析(1)

依意f(x)－3＋3－1，fx)－32＋3＝－3(＋1)(x－1)，知f(在－，－1)(，∞)上是函，(－1上增数所x＝f(＝－3(＝1.极小值极大证易得>0时，f(＝1，最大值由a≥1知，g(≥xln＋x，x令h(＝x＋(，xx2－1则hx＝lnx＋1＝lnx＋，x2x注到h，当x>1时，′(x；当x时，hx，即h(在0上减数在1＋∞)上增数h＝h(1)＝1即gx)＝1.最小值最小综知任，x∈(0，＋∞)，有f()≤g(x).122考三

不式成或解题

多探角1不式恒立参8

πxπππxπππ【3】已知数fx)

x≠0).x判函x)区，

π

上单性若f(区间【案见析

上成，实最值【析(1)f′(x)＝

x－sinx，2令g(＝－sin，x∈，2

，′(＝x，显，x，

ππ时，g′(x)－xsin，即数g(x)区，

上调减且＝0.从x在区，2

上小零π所′(在间

上小零所函fx)区，

π

上调减π不式x)<a，x∈，

恒立即sinx－ax<0恒立令φ(＝sin－，∈，

π

，则φ′()－，φ＝0.π当a≥1时，在区，′(x，函φ(单递，所φ()<φ(0)，故sinx－ax<0恒立π当a时，′(x)＝cosx－a＝0在间，2

上在一0当x∈(0，x)，φ′(，(在区间0)上单递，φ，00从φ()在间0x)大零，与－恒立矛.0当≤0时在间

上φ′(，即数φx)调增且φ(0)＝0，得sinx－ax>0恒立这－ax恒成立矛.故数a的最值1.【律法解类需一一类，一形是会合数图，函进求，后断其值从得含参的程，方组即求参的；一分”指不式成问，需9

xxxx对数行类论求参的值围.用数究参的等问，若够离数则将题化形a≥x)(或a≤fx))的形，过函y＝f(的值得数围1＋lnx【练】(2019·潍模)知数f(x)＝.x若数x)区，a2

上在值求实a取范；k如当≥1时不式f()≥恒立求数k的取范.＋1【案见析【析(1)数定域为0＋∞)，f′(x＝

1－lnx＝2

x，2令fx＝0，x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0(是函；当x∈(1＋∞)，f′(x，fx)减数所为函fx)极值，是一值，所aa＋，故<，即实a的取范为，1

（x＋1）（1＋lnx）当x时kx

恒立令g(＝

（x＋1）（1＋lnxx

(x≥1)，＋lnx＋1＋x＋1)(1＋lnxxxx则gx＝.2x2再x＝－lnx≥1)，则hx)＝1≥0x所x≥＝1所以g′(x)>0，所x是增数所(≥g＝2，故k，即实k的取范是(∞，2].角2不式能立参的值围【3】已知数fx)2

－(2a＋(a∈R).若f(x)在间1上单函，实a的值围10

maxxmaxx函g(x)＝(1，若x0∈[1，e]使得f(x)≥g(x)立求数a的值围00【案见析【析(1)f′(x)＝

（2x－1）x－a）x

，导数fx的零a落在间(，2)时函f(在间1，2]上就是调数即(1，2)，所实的取范是－，1]∪[2，∞).由意，等x)g(在区[，e]上有，即x－2x＋ax－x)≥0在间[，e]上有.x－2x因当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x不同取号，－ln，所以≤在区[1，e]有.x－lnxx2－2令h(＝，h′(x)x－lnx

（x－1）x＋2－2ln）（－ln）

因∈[1，e]，以x＋2>2≥2ln，所′(≥0，x)[，e]上单递，－2)所∈[1，e]时h()＝＝－1－2)所≤，－1－2)所实的取范是∞－1【律法含参数能立存型)题解方a≥x在∈D上能立则a≥f(x)；mina≤x在∈D上能立则a≤f(x).max含全称存量不式成问存A，任∈B使f(≥g(x)立则x≥(x任意∈，存在x∈，使1212maxmax2f)≥g()成，f(≥g(x).1minmin【练】已函数f(x)m－

mx(∈R)，(x＝，若少在个x∈[1，e]，得x0f)<x)立求数的取范.00【案见析【析解

依意不式x)<gx在[，e]上有，mlnx∴mx<2ln区[，e]有，能成.x11

令h(＝

x，x∈[1，e]，则h)＝x

1xx2当x∈[1，e]时，h′(x)，h(在1，e]是函，∴x)最值＝m12由意<，即m<时f(x)<x)[，e]上有.ee∴数m的取范是∞，e

【思感】证明不式关是造数将题化为究数单性最问.恒(能成问的化略.f(在间D有最，恒立∀x，f(x)>0⇔f(x)n>0；mi∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)<0.max能立∃x，f(x)>0⇔f(x)；max∈D，f(x)<0⇔<0.min【错范证明不式特是两变的等时，注合的造数成与成问，注理“任”“在的同义要意分化的值问的同【心养升【辑理—两经不式活逻推是到学论构数体的要式是学谨性基保.利用两经不式决他题降了考题难，化推和算程.对形：x≥1＋lnx(，当且当＝1时等成.指形：ex≥x＋1(∈R)当仅＝0，号立进步得一不式：x>x＋1>＋lnx>0，且≠1).【1已函f()＝

，y＝(x的象致为)（x＋1）x12

2222【案B【析

＋1>0因f(的义为（x）－≠0，即xx>－1且x≠0}所排选当x时由典等x>1x(x，以x＋1代替，得x>ln(xx>－1且≠0)所x＋1)－x<0(x－1且x≠0)，或－1<均fx)<0，排，C，知B正.已函x)x，x∈R.明曲＝(x与曲y＝x＋＋1有唯公点.【案见析【析证

令gx)fx－x＋＋1

＝e－2－x－1，∈R，则gx＝e

x－x，由典等e≥x＋1恒立知′(x)≥0恒立所x在R上单递函，＝0.所函gx)唯零，两线唯公点.【2(2017·全国卷编已函数f)＝x－1－alnx若f(≥0，a的值；11证：于意整n＋＋…＋22【案见析

【析(1)

fx)定域(，∞)①≤0，因

＝＋，所以满题.ax－②，由fx＝1＝知，x当x∈(0，a)，f′(x)<0当xa，＋∞)时f′(x；所x在(，a)调递，(，＋∞)单递，13

2112x2112x故x＝a是x)(，∞)的唯最值.因＝0，所当仅＝1时≥0，故a＝1.证由(1)知x∈(1＋∞)，－1－lnx>0.1令x＋，得ln＋.22从

111111＋＋ln＋＋＋ln＋…－<1.222222故＋＋…＋222

【3设函x＝lnx－x＋1.讨f()的调；x－1求：∈(1＋∞)，1<x【案见析【析(1)

由设，f(x)定域(，∞)，f′(x＝－1令′(x＝0解xx当x时，fx，fx)(，1)上单递；当x时f′(x，f(在1＋∞)上调减证由(1)知f(在＝1处取最值最值f＝0.所当x时lnx<－1.故∈(1，＋∞)，lnx<x－1

x－1

①x－1x－1因<－1，即ln，x②xlnx故∈(1，＋∞)恒有1<

x－1x.x【层练【础固组(议时35分钟一选题1.(2019·南模函f(＝lnx＋的导为′(x)若程′(x)f)根小于1则数0的值围()，＋∞)，2)

，1)，14

122ab122ab【案A【析

由数f(＝lnx＋a可得′(＝，x∵使f′(＝f(成，＝ln＋，001又<1∴>1，<0∴a＝－ln0x0x0002.(2019·南研已常，数f()＝－)两极点x，x(x<)，()1212x)>0，f(x)>－12

x)<0，f(x)<－12

x)>0，f(x)<－12

x)<0，f(x)>－12

【案D【析

f′(＝lnx－2ax＋1，题知′(x＝0有两个等根，x，12即线y＝1＋lnx与直y＝2有个同点如.由线y＝x是曲y＝1＋ln切，可：0<2a，0<x<1<，∈2

由<1得f(＝x(ln，1111∵<xx时，f′(x)>0，12∴xf＝a－二填题若对任，满0<ab<，都有bab，则t的最大为_【案e【析∵0<b<，ab，∴

aln，x令y＝，x∈(0，)则数(，t上调增，x15

12maxmin12maxmin－ln故y′>0，解0<x，x2故t的最值e.函数fx＝x－2sinx，任的∈[0，π]，有x－(x)|M，M的小为_______.1212【案

π

＋3【析∵fx＝－2sin，∴f′(x)＝1，π∴x<时fx)<0，fx单递减当

π

x<时，fx)>0，f)单递；π∴＝时，f(有小，最值且f(

min

π＝f3

πππ＝－2sin＝－3.33又f(0)，fπ)π∴f(＝π.maxπ由意|x)fx≤价M≥|x)－x|＝－－π∴最值＋3.三解题已知f(x)－x)ex－1.求数x)最值

π＝＋3.设g()＝

f（x）x

，x>且≠0，证：g(【案见析【析(1)

f′(＝xx.当x－∞，0)时，f′(x)>0x)调增当x∈(0＋∞)，f′(x，fx)调减所x的最值＝0.证由(1)知当时f(，gx)<0<1.当1<x<0时，g()<1等价f(.设h(＝x－，则hx＝xe－1.当x－1，0)，0<－x，0<ex，则－xe

x，从当x∈(－1时，h′(，16

x2minx2minh在(，0)上单递.当1<x<0时，h(h＝0，即x)<1.综，x－1x≠0时总x已知函x＝3－2当a时求线y＝f(x在点2处的线程在间[，2]内至存一实，使(x)<0成立，实取范.【案见析【析(1)a时f(＝3

－2＋10所′(＝3x2

－2x，以k＝f＝8.又f(2)＝14，所切方为y＝8－2.由知：a>

x3＋1010＝x＋至有个数之立即x2x2

＋

20设g(＝＋(1≤x≤2)则gx＝1，x2x3因1x≤2，以′(x)<0.所x在[，2]上是函，9所x＝g＝，a>，2即a的取范是，∞【力升组(议时25分钟7.(2019·京庆调)知数f(x)＝求f()的调间极；若任∈(0