存在与唯性定理证明

定义：设函数f(x,)

Picard存在与唯一性定理的证明在闭区域D上有定义，如果存在常数L使对任,yx,)D

均满足不等式

f(x,y)f(,)

，则称f(x,y

在D

上关于

满足

件，称L

为Lipschitz

常数Picard

定理设f(

在闭矩形域D：y

上连续且关于满足Lipschitz条(x,y)件，则初值问题

·①

(x)在区间I

上有且只有一个解，其中

min(a,

(

fxy)证明：整个证明过程分成如下五个部分Ⅰ，首先证明求初值①的解等价于求积分方程y

f(yxI

·②的连解。事实上，若yxI)

是初值问题①的解，则有

dx(x))dx,xIx)y由此(x

在I

上连续而可积于对恒等式

f(x,x)),I

积分并利用初始条件，得

f())dxI

即，yxI)

是积分方程②的解反之，设xI)

是方程②的连续解，即有恒等式

f(x,

x))dxI因为f(x,

在I

上连续，故

f(x,

x))dxI

右端是积分上限I

的可微函数，从而)

在I

可微于是将

f(

x))dxI

两边对

求导，得恒等式

f(x,

)),I

，并令得()

，因此y(x)(xI)

是初值问题①的解因此们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间

Ix

上的连续解们采用

Picard的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程②的唯一解Ⅱ，用逐次迭代法在区间I上构造逐次近似的连续函数序列

y()(,(xy(x)y

,xI

·③当

时，注意到f(y

是I

上的连续函数，所以由③知(x)y

f(x,()),(xI

在I

上是连续可微的，而且满足不等式(

f(,(dx

于是在区间I

上y()因此，(xy(

在I

上是连续的，所以由式③知(xy

f(,y(x)),(I)

在区间

I

上是连续可微的，而且满足(y

f(x,xMx

于是在区间I

上y(x)以此类推，应用数学归纳法易证：由③出谓

序

(x

是I

上数列，满足等式(MhⅢ，证明

Picard

序()

在区间I

上一致收敛考虑级数y

y(x)y

y(y

()

··········④它的部分和为y)y

x)x

，于是，要证明序()

在区间I上一致收敛，只需证明级数④在

I上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：

()()ML

(n

(n0,1,...)

在I

上成立事实上，当

时由(y

f(y)

⑤成立，假设当时⑤式成立即有

(y()

(

(k0,1,...)

在I

上成立则由式③知

()

()

[f,y

())fx,y))]dx根据Lipschitz条件和归纳假设得

()

(x)

L

()()dx

(k

ML

(即当k

时式⑤也成立，因此有数学归纳法知式⑤得证因当xI时，h

，故由式⑤知

))ML

h

n因正项级数

h

收敛，故由函数项级数一致收敛的（尔斯特拉斯）判别法知级数④在区间I

上一致收敛从而Picard

序

在区间I

上一致收敛设其极限函数为

x)

，即当xI

时一致的有lim(x)则)在I上是连续的且由y()y是积分方程②的解Ⅳ，证明y),(I)

推知

x)y,I在式③两端得)lim

f((因此问题归结为证明lim

f(sy(sds

fs,

))ds因Picard

序(

在I

上一致收敛，则任给

，存在自然数NN

，当n

时，对I

中所有x

有(x)

Lh故当I时，由条件知

f(s,y(s))ds

f(x

x))ds

f(,(s))fx))L(s)

L

ds

h因此式

f(sy(sds

fs,

))ds

成立

因而当I

时有

x)y

fs

，所以),(I)

是积分方程②的一个连续解Ⅴ，证明积分方程②的连续解的唯一性设yx)

也是方程②的定义在区I上的连续解则

x

f(x())xI

于是与步骤Ⅲ类似，可归纳证明得

(x)

h

n

在I

上成立从而

Picard

序(

在区间I

上也一致收敛与

，因此我们推出

x)x),xI所以，积分方程②的连续解是唯一的。至此，定理得证。【注】定理中hmin{a,

b

}

的几何意义因为在闭矩形域D上有f(x,y)M

，所以方程

x)

的积分曲线上任一点的切线斜率介于与M之间。过点p(xy

分别引斜率为与M的直线C

和

：yM(x),y(

，当

时，如图㈠所示；

时，如图㈡所示显然方程

y

过点(x,y

的积分曲线x)

(如果存在的)不可能进入图㈠或㈡所示的两个阴影区域内。若M

b(即a

)由图㈠可见解yx)

在整个区间

上有定义；若M

(即a

b

)由㈡可不能保证解y

在

上有义。它可能在xxx)

或(x

外到达

的上边界y

或下边界y

，于是，当

或x

时，

没有定义。此时，