北京市房山区2022年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）

91

1.计算：《+15x（一百）得（）

9111

A.—B.----C.--D.---

51255125

k1

2.如图，已知点A,B分别是反比例函数y=—（x<0）,y=-（x>0）的图象上的点，且NAOB=90°,tanZBAO=-,

XX2

二则k的值为（）

VA

A.2B.-2C.4D.-4

3.下列各式中，不是多项式2炉-4x+2的因式的是（）

A.2B.2（x-1）C.（x-1）2D.2（x-2）

4.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=1.点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形

EGFH是菱形，则AE的长是（）

DFC

AEB

A.275B.375C.5D.6

5.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆，周率小理论上能把汗的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展

了“割圆术”，将汗的值精确到小数点后第七位，这一,结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆

内接正六边形的面积S6,则S6的值为（）

百

c.3D.26

3

6.如图，已知抛物线%=-x?+4x和直线y?=2x.我们约定:

当x任取一值时，x对应的函数值分别为yi、y2,若

y#y2,取yi、y2中的较小值记为M；若yi=yz,记M=y尸yz.

下列判断：①当x>2时，M=y2；

②当xVO时，x值越大，M值越大;

③使得M大于4的x值不存在;

④若M=2,贝!Jx="1".

2个C.3个D.4个

7.某校今年共毕业生297人，其中女生人数为男生人数的65%,则该校今年的女毕业生有（）

A.180人B.117人C.215人D.257人

根据图中所标注的尺寸,求出这支蜡烛在暗盒中所成像8的长（）

1

C.—cmI).1cm

632

9.如图，直角三角形ABC中，NC=90。,AC=2,AB=4,分另！J以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为

()

A.2n-V3B.n+6C.TT+2百D.2K-2百

10.某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增

长率为X,由题意所列方程正确的是（）.

A.300（1+%）=363B.300（1+%）2=363C.300（1+2x）=363D.300（1-x）2=363

11.有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为2.16x107米，则这个直径是（）

A.216000米B.0.00216米

C.0.000216米D.0.0000216米

12.已知抛物线y=（x-（x-—!一）（a为正整数）与X轴交于Ma、Na两点，以MaNa表示这两点间的距离,

aa+1

贝!jM1N1+M2N2+...+M2018N2018的值是（）

201620172018

201720182019

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.点A到。。的最小距离为1,最大距离为3,则。。的半径长为.

14.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是

15.关于x的一元二次方程f一6x+b=0有两个不相等的实数根，则实数〃的取值范围是.

16.如图，AB为圆O的直径，弦CDJ_AB,垂足为点E,连接OC,若OC=5,CD=8,则AE=.

a-44a+42

17.化简:

ci~+2,ci+1(a+1)-a—2

18.将多项式-mrr因式分解的结果是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）观察下列等式：

第1个等式：a,=-=lx（l-i）；

1x323

第2个等式：a2=-=

3x5235

第3个等式:

第4个等式:

请解答下列问题：按以上规律列出第5个等式：as=—=—;用含有n的代数式表示第n个等式：an=—=—（n

为正整数）；求ai+a2+a3+a4+…+aioo的值.

20.（6分）如图，A5为。。的直径，点。、E位于A5两侧的半圆上，射线。C切。。于点。，已知点E是半圆弧

AB上的动点，点尸是射线OC上的动点，连接OE、AE,OE与A3交于点P,再连接尸P、FB,且NAEQ=45。.求

证：。〃4伙填空:

①当NO4E=时，四边形AOFP是菱形;

②当NZME=时，四边形5尸。尸是正方形.

2-x<2（x+4）

21.（6分）解不等式组/X-1,，并写出该不等式组的最大整数解.

x<-------+1

3

22.（8分）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如

果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元.A、B两种奖品每件各

多少元？现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？

23.（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你

最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了旭人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制

成如下不完整的统计图.

根据图中信息求出〃?=〃=—;请你帮助他们将这两个

统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？

24.（10分）计算：|啦-l|-2sin450+^/8-（；）」

25.（10分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线5:》=如2+26（,„#）向右平移G个单位长度后得到抛物线

Gi,点A是抛物线G2的顶点.

（1）直接写出点A的坐标；

（2）过点（0,百）且平行于x轴的直线/与抛物线G2交于B,C两点.

①当N8AC=90。时.求抛物线G2的表达式;

②若60°<ZBAC<120°,直接写出m的取值范围.

26.(12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线y=kx+b交BC于点E(1,m),交AB于点F

(4,反比例函数y=—(x>0)的图象经过点E,F.

2x

(1)求反比例函数及一次函数解析式；

(2)点P是线段EF上一点，连接PO、PA,若△POA的面积等于AEBF的面积，求点P的坐标.

27.(12分)如图，以为直径的。。交A5于C点，8。的延长线交。0于E点，连CE交AO于尸点，若AC=

BC.

(1)求证：AC=CE\

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化.

【详解】

故选B.

【点睛】

本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2、D

【解析】

首先过点A作ACJLx轴于C,过点B作BD±x轴于D,易得△OBDs/^AOC,又由点A,B分别在反比例函数y=-

X

(x<0),y=-(x>0)的图象上，即可得SAOBD=L，SA.wc=-|k|,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平

x22

方，即可求出k的值

【详解】

解：过点A作ACJLx轴于C,过点B作BDLx轴于D,

AZACO=ZODB=90o,

AZOBD+ZBOD=90o,

VZAOB=90°,

AZBOD+ZAOC=90°,

/.ZOBD=ZAOC,

AAOBD^AAOC,

又・・・NAOB=90。，tanZBAO=-，

2

.OB1

••=9

AO2

.S.BOD_1an2_1

••o=~»即~~~，

4，网4

解得k=±4,

XVk<0,

:.k=-4,

故选：D.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.解题时注意掌握数形结合思想的应

用，注意掌握辅助线的作法。

3、D

【解析】

原式分解因式，判断即可.

【详解】

原式=2(x2-2x+l)=2(x-1)2o

故选：D.

【点睛】

考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：连接EF交AC于点M,由四边形EGFH为菱形可得FM=EM,EF±AC；利用"AAS或ASA”易证

△FMC^AEMA,根据全等三角形的性质可得AM=MC；在RtAABC中，由勾股定理求得AC=4乔，且

,BC1+41EM1〜*a

tanZBAC=——=-；在RtAAME中，AM=-AC=2r,5，tanZBAC=------=-可得EM=j5;在RtAAME中，

AB22AM2

考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数.

5、C

【解析】

根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积.

【详解】

如图所示，

E

单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中，

△AOB是边长为1的正三角形，

所以正六边形ABCDEF的面积为

13G

S6=6X—xlxlxsin60°=------.

22

故选c.

【点睛】

本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，关键是根据正三角形的面积，正n边形的性质解答.

6、B

【解析】

试题分析：•.,当yi=y2时，即一x?+4x=2x时'解得：x=0或x=2,

.•.由函数图象可以得出当x>2时，y2>yi；当0VxV2时，yi>y2；当xVO时，yz>yi....①错误.

2

■:当xVO时，-%=-x+4x直线y2=2x的值都随x的增大而增大，

.•.当x<0时，x值越大，M值越大..,.②正确.

•••抛物线%=-*2+4*=-（*—2）2+4的最大值为4,二1\4大于4的*值不存在..・.（1）正确；

,:当0VxV2时,yi>y2,.,.当M=2时，2x=2,x=l；

,当x>2时，y2>yi,...当M=2时，-x?+4x=2，解得乂1=2+及，x2-2-yJl（舍去）.

二使得M=2的x值是1或2+&..•.④错误.

综上所述，正确的有②③2个.故选B.

7、B

【解析】

设男生为x人，则女生有65%x人，根据今年共毕业生297人列方程求解即可.

【详解】

设男生为x人，则女生有65%x人，由题意得，

x+65%x=297,

解之得

x=180,

297-180=117人.

故选B.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键.

8、D

【解析】

过O作直线OE_LAB,交CD于F,由CD〃AB可得△OABs/^OCD,根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列

方程求出CD的值即可.

【详解】

过O作直线OE_LAB,交CD于F,

VAB//CD,

AOFXCD,OE=12,OF=2,

/.△OAB^AOCD,

VOE,OF分别是AOAB和4OCD的高，

.OFCDBn2CD

OEAB126

解得：CD=1.

故选D.

【点睛】

本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比

等于对应高的比是解题关键.

9、D

【解析】

分析：观察图形可知，阴影部分的面积=S¥1sAeD+S芈国BCD-SAABC,然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即

可.

详解：连接CZX

VZC=90°,AC=2,43=4,

・・・5C="2_22=2技

阴影部分的面积=S半圆ACD+S半圆BCD-SAABC

=5乃x『+/乃乂(6)--x2x2>/3

=2+红_2百

22

=2万-26.

故选：D.

点睛：本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式及割补法求图形的面积，根据图形判断出阴影部分的

面积=S半圆ACD+S半圆BCD-SAABC是解答本题的关键.

10、B

【解析】

先用含有x的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.

【详解】

由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x,则2015年的绿化面积为300(1+x),2016年的绿化面积为300(1+x)

(1+x),经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300(1+x)2=363.故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.

11、B

【解析】

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl(T",与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数第，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

2.16x103米=O.OO216米.

故选比

【点睛】

考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为其中lW|a|V10,〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

12、C

【解析】

代入y=0求出x的值，进而可得出MN=---,将其代入MN1+M2N2+…+M2018N2018中即可求出结论.

aaaa+1

【详解】

解：当y=0时，有(X--)(x--^—)=0,

aa+1

解得：Xl=---，X2=一,

a+1a

11

MNa=------,

aaa+1

2018

:.M1N1+M2N2+...+M201SN2018=1-1-----1•…4-----------

2232018201920192019

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征以及规律型中数字的变化类，利用二次函数图象

上点的坐标特征求出MaNa的值是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1或2

【解析】

分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案.

【详解】

点在圆内，圆的直径为1+3=4,圆的半径为2；

点在圆外，圆的直径为3-1=2,圆的半径为1,

故答案为1或2.

【点睛】

本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.

【解析】

10-24

试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即不一=1.

考点：概率

15、b<9

【解析】

由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出A=36-4AX),解之即可得出实数b的取值范围.

【详解】

解：•••方程x2-6x+A=0有两个不相等的实数根，

.•.△=(一6)2-劭=36—4AX),

解得：b<9.

【点睛】

本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是牢记“当A>0时，方程有两个不相等的实数根”.

16、2

【解析】

试题解析：TAB为圆。的直径，弦a)_LA5,垂足为点E.

：.CE^-CD=4.

2

在直角△OCE中，OE=VOC2-CE2=V52-42=3.

贝！JAE=O4-OE=5-3=2.

故答案为2.

【解析】

先利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可.

【详解】

庖式=(a+2)("2)(4+1了_2=a+2-2=a

(a+1)2(a-2)2a-2a-2a-2'

故答案为二

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18、m(m+n)(m-n).

【解析】

试题分析：原式=加(布-〃2)=m(m+n)(m-n).故答案为：m(m+n)(m-n).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

111111z11、100

19、(1)------,—x(-------)(2)7Z7T-x-,)(3)----

9x112911(2n-l)x(2n+l)22n-l2n+l201

【解析】

(1)(2)观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之

间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1.

(3)运用变化规律计算

【详解】

5/、、

解：(1)as=----।--=—1x(/-------1)；

9x112911

111

(2)a=/X\—x(---------------).

n(2n-l)x(2n+l)22n-l2n+l，

(3)e+a……+

232352572199201

1111200100

=­X—x----=-----

23355719920192201201

20、(1)详见解析；(2)①67.5。；②90。.

【解析】

(1)要证明CZ)〃A8,只要证明/OO尸即可，根据题目中的条件可以证明NODF=NAQD,从而可以解答

本题；

(2)①根据四边形AOFP是菱形和菱形的性质，可以求得NOAE的度数；

②根据四边形是正方形，可以求得NZME的度数.

【详解】

•••射线OC切。。于点O,

：.ODLCD,

即NO。尸=90°,

VZAED=45°,

/.ZAOD=2ZAED=90°,

:.NODF=NAOD,

：.CD//AB；

(2)①连接4尸与。尸交于点G,如图所示,

・••四边形AO尸尸是菱形，ZAED=45°,OA=OD,

J.AFLDP,ZAOD=90°,ZDAG=ZPAG,

：.ZAGE=90°,ZDAO=45°,

:.NEAG=45。,ZDAG=ZPEG=22.5°,

：.ZEAD=ZDAG+ZEAG=22.5°+45°=67.5°,

故答案为：67.5°；

②•••四边形BFDP是正方形，

：.BF=FD=DP=PB,

NDPB=NPBF=NBFD=N五。尸=90°,

,此时点尸与点。重合，

,此时。E是直径，

：.ZEAD=90°,

故答案为：90。.

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用菱形的性质和正方形的性质解答.

21、-2,-1,0

【解析】

分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1,再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集.

本题解析：

2-x<2（x+4）①

严A②

解不等式①得，x}2,

解不等式②得，x<l,

•••不等式组的解集为-2金<1.

二不等式组的最大整数解为x=0,

22、（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元.（2）A种奖品最多购买41件.

【解析】

【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果

购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100-a）件，根据总价=单价x购买数量结合总费用不超过900

元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论.

【详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元,

20%+15>'=380

根据题意得:

15x+10y=280

x=16

解得：<

y=4

答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100-a）件，

根据题意得：16a+4（100-a）<900,

53125

解得：,

Ta为整数，

/.a<41,

答：A种奖品最多购买41件.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（D找准等量关系,

正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.

23、（1）100,35；（2）补全图形，如图；（3）800人

【解析】

（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m,用支付宝人数除以总人数可得百分比n的值；（2）总人数乘以网购

人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所

占的百分比可得答案.

【详解】

解：(1);•被调查总人数为m=10+10%=100人,

•••用支付宝人数所占百分比n%=而xl00%=30%,

/•m=100>n=35.

(2)网购人数为100xl5%=15人，

40

微信人数所占百分比为前x100%=40%,

补全图形如图：

拿

共7

车

单

>.购

岁/

%

1"0/网

信

微\

一%15

40

支付宝

35%

(3)估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000x40%=800人.

【点睛】

本题考查条形统计图和扇形统计图的信息关联问题，样本估计总体问题，从不同的统计图得到必要的信息是解决问题

的关键.

24、-1

【解析】

直接利用负指数塞的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

【详解】

2逮+2-4

原式=(72~1)

2

=正-1-正+2-4

=-1.

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

25、（1）（6,26）；（2）①尸一组（*一百）2+273;@-y/3<m<~—

39

【解析】

（1）先求出平移后是抛物线G2的函数解析式，即可求得点A的坐标；

（2）①由（1）可知G2的表达式，首先求出AD的值，利用等腰直角的性质得出BD=AD=0,从而求出点B的坐标，代

入即可得解；

②分别求出当NBAC=60。时，当NBAC=120。时m的值，即可得出m的取值范围.

【详解】

（1）•••将抛物线G“y=mx2+2百（机河）向右平移百个单位长度后得到抛物线G2,

二抛物线Gi：y=m（x—V3）2+273，

•••点A是抛物线G2的顶点.

...点A的坐标为（6,2^/3）.

（2）①设抛物线对称轴与直线I交于点D,如图1所示.

•••点4是抛物线顶点，

：.AB=AC.

VZBAC=90°,

...△A3C为等腰直角三角形，

:.CD=AD=y/j,

...点C的坐标为（2百，6）.

•.•点C在抛物线G2上，

二6=m（26一G）2+2yf3,

解得：=一".

3

②依照题意画出图形，如图2所示.

同理：当NR4C=60。时，点C的坐标为（6+1,J5）；

当N34C=120。时，点C的坐标为（G+3,6）.

V60o<ZBAC<120°,

...点（G+1,百）在抛物线G2下方，点（6+3,百）在抛物线G2上方,

〃?（百+1-⑹，+26>6

••<2

"6+3-百J+2百〈百

解得：一6<加<一走.

9

此题考查平移中的坐标变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等

边三角形的判定和性质，熟练掌握坐标系中交点坐标的计算方法是解本题的关键，利用参数顶点坐标和交点坐标是解

本题的难点.

215119

26、(1)y=­；y=—尤+―；(2)点P坐标为(一，一).

x2248

【解析】

1oo

(1)将F(4,彳)代入y='(x>0),即可求出反比例函数的解析式丫=一；再根据y=一求出E点坐标，将E、F

2xxx

两点坐标代入y=kx+b,即可求出一次函数解析式；

(2)先求出△EBF的面积，

点P是线段EF上一点，可设点P坐标为(x,--x+j),

22

根据面积公式即可求出P点坐标.

【详解】

YI\

解：(1)•・♦反比例函数y=—(无>0)经过点尸(4,—),

x2

:.n=2,

2

反比例函数解析式为)，=—,

x

2

•・•丁=一的图象经过点E(1,m),

x

Am=2,点E坐标为(1,2).

":直线y=kx+b过点七(1,2),点尸(4,4)，