2022年中考数学真题分类汇编 专题14 解直角三角形（学生版+解析版）

专题14解直角三角形

--选择题

1.（2022・广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45。，在

点B处测得树顶C的仰角为60。，且4,8,0三点在同一直线上，若AB=16m,则这棵树C£）的高度是（）

A.8(3-G)mB.8(3+G)mC.6(3-拘mD.6(3+@m

2.（2022・广西贵港）如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若AABC的顶

点均是格点，则cos/BAC的值是（）

3.（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中N43C=90。，ZC4B=60°,A2=8,点A对应直

尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得EA8C移动到VA6C,点/V对应直尺的刻度为0,则四

C.192D.16()73

4.（2022・广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，A3的长为12米，AB与AC的夹角为a,则高8c

是（)

C.2-米12M

A.12sina米B.12cos。米D.-------米

sinacosa

5.（2022•贵州毕节）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥,已知天桥斜面AB的坡度为1：G，则斜坡A8

的长度为（）

A.10mB.logmC.5mD.56m

6.（2022•黑龙江牡丹江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。，小明在坡比为5回12的山坡上走1300米,

此时小明看山顶的角度为60°,求山高（）

12

A.（600—250豆）米B.（600g—250）米C.（350+3506）米D.500万米

7.（2022・湖北十堰）如图，坡角为a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成

45。角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m,则大树4B的高为（）

水平地面

A.机（cosa-sina）B.ni（sina-cosa）C.ni（cosa-tana）D.——:----------

sinacosa

8.（2022•湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在08

上，OC:3c=1:2,连接AC,过点。作OP〃A8交AC的延长线于尸.若尸（1,1）,则tanNOAP的值是（）

9.（2022•广西玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（）

B.ZACBC.ZBACD.ADAC

10.（2022・辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,分别以点A和C为圆心，以大于;AC的长为半

径作弧，两弧相交于点例和M作直线MN分别交ARBC于点E,尸，则AE的长为（）

11.（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ZABC=2T,BC=

44cm,则高AO约为（）（参考数据：sin27°»0.45,cos27°»0.89,tan27°«（）.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

12.（2022・湖北武汉）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点4,

B,C都在格点上，回0=60。，则tanEIABC=（）

A1R1「后D6

3232

二.填空题

13.(2022•黑龙江绥化)定义一■种运算；sin(a+^)=sinacos+cosasin/7,

sin（a-p}=sinacos/?-cosasin/?.例如：当c=45。，/?=30。时，sin（45°+30°）=

去争争白丝”则sinl5。的值为--------

14.（2022•湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三

角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为"弦图"，它体现了中国古代数学的成就.如图，已

知大正方形ABC。的面积是100,小正方形EFG”的面积是4,那么tan/AD尸=_.

4

4

B

15.（2022.辽宁）如图，4为射线QN上一点，用为射线上一点，N与儿。=60。,。4=3,8人=1.以

为边在其右侧作菱形AB.C.D,,且NBAR=60°,C,D,与射线OM交于点号,得VC/也；延长交射线ON

于点外,以坊4为边在其右侧作菱形2GA，且/约42=60°，62与射线O”交于点名，得VC//,；

延长BQ交射线QN于点,以邑4为边在其右侧作菱形A383G2，且=60°,QD,与射线OM交于

点儿，得△C3B3B4；.“，按此规律进行下去，则△。②叱与值与⑵的面积.

G

16.（2022•山东青岛）如图，已知413643=4<7,8。=16,4），友:,443。的平分线交"）于点区且

DE=4.将NC沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正确的有：（填写序号）

①双）=8②点E到AC的距离为3③EM=¥@EM//AC

17.（2022•广西桂林）如图，某雕塑位于河段OA上，游客P在步道上由点。出发沿。B方向行走.已

知财。8=30。，MN=2O例=40m,当观景视角I3MPN最大时，游客P行走的距离OP是米.

18.（2022•贵州黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,

学校决定砍伐该树，站在楼顶。处，测得点8的仰角为45。，点A的俯角为30。，小青计算后得到如下结论：

①ABV18.8米；②CO28.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CO方向会对教学楼有影响；

④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼C。造成危害.其中正确的是.（填写序

号，参考数值：73®1.7,V2«1.4）

三.解答题

19.（2022•辽宁锦州）某数学小组要测量学校路灯尸-M-N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅

进行测量，测量结果如下：

测量项目测量数据

从A处测得路灯顶部P的仰角aa=58。

从D处测得路灯顶部P的仰角P0=31。

测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m

两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m

计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据;

cos31°B0.86,tan31°a0.60,cos58°«0.53,tan58°«1.60)

20.（2022•山东临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y〃字形设计，某学习小组利用

课余时间测量主塔顶端到桥面的距离.勘测记录如下表:

活动内容测量主塔顶端到桥面的距离

成员组长：XXX组员：XXXXXXXXXXXX

测量工具测角仪，皮尺等

E

测量示意图说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A、C,D,B

在同一条直线上，EFYAB,点A,C分别与点B,D

ACDB关于直线EF对称

测量数据NA的大小28°

AC的长度84m

CO的长度12m

请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到A8的距离（参考数据：sin28。=0.47,cos28。=0.88,tan28°»0.53）.

21.（2022•山东聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为

“宋塔唐槐"（如图①）.数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基2

点与古槐底D点之间的地面H点,竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶

端C的俯角分别为26.6。和76。（点B,H,。三点在同一直线上）.已知塔高为39米，塔基B与树底。的水

平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin26.6°»0.45,cos26.6。。0.89,

tan26.6°a0.50,sin76°»0.97,cos76°«0.24,tan76°«4.01）

22.（2022•内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算A8的长度（结果保留小数点

后一位，73»1.7).

23.(2022•湖南)计算：2cos45°+(%-3.14)°+1—亚|

24.(2022•湖南)阅读下列材料：

在AABC中，NA、DB、NC所对的边分别为“、b、J求证：—

sinAsinB

证明：如图1,过点C作CD_LAB于点£),则：在RtABCD中，CD=as\nB

在RiAACD中，CD=bsinAasinB=Z?sinA

sinAsinB

根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图2,在AABC中，NA、DB、NC所对的边分别为。、b、c,求证：

smBsinC

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美

化，已知ZA=67。，28=53。，AC=80米，求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据：sin53°«0.8,

sin67°«0.9)

25.(2022•黑龙江大庆)如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度A8.飞机上的测量人

员在C处测得A,8两点的俯角分别为45。和30。.若飞机离地面的高度CD为1000m,且点。，A,8在同

一水平直线上，试求这条江的宽度4B（结果精确到1m,参考数据：夜。1.4142,6^1.7321）

26.（2022•湖南郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高8=20m,背水坡8C的坡度为彳=1：L为了对

水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为=1:6,求背水坡

新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据：72«1.41，A/3»1.73.结果精确到0.1m）

27.（2022•海南）无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在

空中P处，测得楼以＞楼顶。处的俯角为45。，测得楼A8楼顶A处的俯角为60。.已知楼A8和楼之间

的距离8c为100米，楼A8的高度为10米，从楼A8的A处测得楼CD的。处的仰角为30。（点A、B、C、

D、尸在同一平面内）.⑴填空：ZAPD=度，ZADC=度；

⑵求楼CQ的高度（结果保留根号）；⑶求此时无人机距离地面BC的高度.

N

。

0一

吕

吕

吕

吕

0

吕

吕

43OOD

0--吕

0D0

C

28.（2022•辽宁）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时，测得码头C

在北偏东60。方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30。方向继续航行，当它

航行到B处后，又沿着南偏东70。方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到8航行的距离（结果精确到

0.1海里.参考数据:sin500=0.766,cos500=0.643,tan500=1.192).

北

29.（2022•四川遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,

在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角ZGAE=50.2°,台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度/=5:12,

然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角AEBF=634°,则塔顶到地面的高度EF约为多少米.

（参考数据：lan50.2°=1.20,tan63.4°»2.00,sin50.2°=0.77,sin63.4°a0.89）

30.（2022•四川广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A

处向正北方向走了450米，到达菜园8处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东

37。方向走了300米，到达手工坊。处进行手工制作，最后从。处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西

65。方向上.求菜园与果园之间的距离.（结果保留整数）参考数据：sin65°=0.91,cos65°=0.42,tan65°=2.14,

sin370=0.60,cos370=0.80,tan370=0.75

31.（2022•内蒙古呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成

为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像A8的高度，某数学兴趣小组在。处

用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30。，测得底部8的俯角为10。.己知测角仪CD与水平地面垂直且高度为

1米，求雕像A8的高.（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

32.（2022•贵州铜仁）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、。两处实地

测量，如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60。和桥墩底部B处的俯角为40。，在。处测得桥墩顶

部4处的仰角为30。，测得C、。两点之间的距离为80m,直线A3、在同一平面内，请你用以上数据，

计算桥墩AB的高度.（结果保留整数，参考数据：sin40°»0.64,cos40°«0.77,tan40°®0.84,>73«1.73）

33.（2022•贵州遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2,A3是灯杆，

8是灯管支架，灯管支架8与灯杆间的夹角NBDC=60。.综合实践小组的同学想知道灯管支架CO的长

度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部。的仰角为60。，在点尸处测得灯管支架顶部C的仰角为30。，

测得AE=3m,EF=8m（A,E,尸在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：⑴求灯管支架底

部距地面高度AD的长（结果保留根号）;（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m,参考数据：小\.73）.

34.（2022•山东烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布

的台阶，高AB=0.75m,斜坡AC的坡比为1：2,将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的

最短距离ED=2.55m.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）

（参考数据表）

计算器按键顺序计算结果（己精确到0.001）

12ndFl5卜］EEEBg11.310

0.003

i2ndF1iMFirnrnmM14.744

BCOCD(ZDCD(DCDS0.005

35.（2022・湖北恩施）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣.某活动小

组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60。，他们向南走50m到

达。点，测得古亭8位于北偏东45。，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：72^1.41,6=1.73,

结果精确到1m）.

36.（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械.图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意

图.△8C。为主车架，AB为调节管，点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70cm,I3BC。的度数为58。.当

AB长度调至34cm时，求点4到C。的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据:$沿58。=0.85,郎58。=0.53,

tan580=1.60)

图1

37.（2022•山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某

校"综合与实践”活动小组的同学要测星42,CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案:

无人机在4B,C。两楼之间上方的点。处，点。距地面AC的高度为60m,此时观测到楼AB底部点A处的

俯角为70。，楼C。上点E处的俯角为30。，沿水平方向由点。飞行24到达点F,测得点E处俯角为60。，

其中点A,B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CQ之间的距离AC的长

（结果精确到1m.参考数据：sin70°«0.94,cos70°®0.34,tan70°®2.75,^^1.73）.

38.（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高

的建筑.某数学小组测量拂云阁。C的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端。的仰角为34。，沿

AC方向前进15m到达8处，又测得拂云阁顶端。的仰角为45。.已知测角仪的高度为1.5m,测量点4,B

与拂云阁。C的底部C在同一水平线上，求拂云阁。C的高度（结果精确到1m.参考数据：sin34°«0.56,

cos34°B0.83,tan34°«0.67).

39.（2022・四川宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如

图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地.某数学小组为测量东楼的高度，在梯步4

处（如图2）测得楼顶。的仰角为45。，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台8处，测得楼顶。

的仰角为60。，求东楼的高度。E.（结果精确到1米.参考数据：6拉L7,

图1图2

40.（2022•湖南岳阳）喜迎二十大，"龙舟故里"赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200

米直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点尸的北偏西30°方向上，终点8位于点P

的北偏东60。方向上，A8=200米，则点尸到赛道43的距离约为米（结果保留整数，参考数据:

1.732).

41.（2022•湖北荆州）荆州城徽“金凤腾飞"立于古城东门外.如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在

点C处用测角仪测得其顶端4的仰角为32。，再由点C向城徽走6.6根到E处，测得顶端A的仰角为45。，

已知8,E,C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CO=EF=15w,求城徽的高A8.（参考数据:

sin32°»0.530,cos32。。0.848,tan32°«0.625)

42.（2022•广西贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片

区域改造为公园.现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度A8,因为不能直

接到达烟囱底部8处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C,。两处地面上，分别

测得烟囱顶部4的仰角/3'仁4=60。,487571=30。，同时量得CO为60m.问烟囱A8的高度为多少米？（精

确到0.1m,参考数据：加£1.414,6=1.732）

43.（2022•内蒙古包头）如图，48是底部8不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高

，归=CG=1.5米.某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的

仰角NADE为a,再向前走5米到达G处，乂测得建筑物顶端4处的仰角4CE为45。，已知

7

tana=§,AB_L3H,H,G,8三点在同一水平线上，求建筑物A8的高度.

44.（2022•湖北武汉）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，己知测角仪的高度为1.58米，她

在A点观测杆顶E的仰角为30。,接着朝旗杆方向前进20米到达C处,在。点观测旗杆顶端E的仰角为60。,

求旗杆所的高度.（结果保留小数点后一位）（参考数据：V3«1.732）

E

^1130°2460。

水平线

BC

45.（2022•江苏泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，

老师在该厂房顶部安装一平面镜MN,MN与墙面AB所成的角回MNB=118。，厂房高AB=8m,房顶AM与水

平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处。到他的距离是多

少？（结果精确到0.1m,参考数据：sin34°=0.56,tan34°=0.68,tan56°=1.48）

46.（2022•山东威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度.他先在

河岸设立A,B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M.测得A8=50机，ZMAB=22a,NMBA

=67°.请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到

参考数据：sin22°1,cos22°55:5—,tan22°,sin67°,cos67°,tan67°.

47.（2022•黑龙江绥化）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的

A处用仪器测得N94C=30。；向百货大楼的方向走10m,到达8处时，测得NEBC=48。，仪器高度忽略不

计，求广告牌的高度.（结果保留小数点后一位）

（参考数据：百=1.732,sin48°®0.743,cos48°«0.669,tan48°«1.111）

48.（2022•湖南长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环

境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角NBAO=30。，于点。.为方便

通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15。.（1）求该斜坡的高度80；（2）求斜坡新起点C与原起点

A之间的距离.（假设图中C,A,。三点共线）

49.（2022•广西梧州）今年，我国"巅峰使命"2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界

最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测

数据,计算气球升空的高度A8.如图，在平面内，点8,C,。在同一直线上，ABJ_C8垂足为点B,Z4CB=52°,

4408=60°,CD=200m,求AB的高度.（精确到1m）（参考数据：sin52°«0.79.cos52°«0.62,

tan52°«1.28,6=1.73)

50.（2022•湖北鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首

次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45。，同时另

一市民乙在斜坡CF上的。处看见飞机A的仰角为30。，若斜坡CF的坡比=1：3,铅垂高度。G=30米（点

E、G、C、B在同一水平线上）.求：

（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；（2）此时飞机的高度A8,（结果保留根号）

51.（2022•四川广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A

的仰角为45。，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30。，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰

角为45。，点C、E、F、。在同一直线上，求隧道EF的长度.

52.（2022•四川眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CO.如图，在楼前平地A处测

得楼顶C处的仰角为30°,沿AO方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45。，求此建筑物的高.（结

果保留整数.参考数据：72«1.41，6“1.73）

DBA

专题14解直角三角形

--选择题

1.（2022・广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45。，在

点8处测得树顶C的仰角为60。，且A,8,。三点在同一直线上，若A8=16m,则这棵树CO的高度是（）

A.8（3->/3）mB.8（3+V3）mC.6（3-\/3）mD.6（3+6）m

【答案】A

【分析】设CC=x,在RZV1OC中，ZA=45°,可得CQ=AQ=x,BD=16-x,在四△BCD中，用N8的正切函

数值即可求解.

【详解】设CD=x,在即△4OC中，乙4=45°,

二CD=AD=x,

：.BD=16-x,

在RfZ\BCD中,NB=60°,

AtanB=^,

BD

即：；7^二百，

\6-x

解得x=8（3-月）,

故选A.

【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键.

2.（2022•广西贵港）如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若A43C的顶

点均是格点，则cos4AC的值是（）

B

Vio小4

Rjr-2----D.-

555

【答案】c

【分析】过点C作A8的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：过点C作A8的垂线交A8于一点。，如图所示,

•.•每个小正方形的边长为1,

AC=®BC=M,AB=5,

设AD=x,则或)=5-x,

在RfAAC。中，DC1=AC1-AD-,

在Rt^BCD中，DC。=BC2-BD2,

...10-(5-x)2=5-解得x=2,

AD22s/5

ZBAC=故选：C.

cosAC~45~~5~

【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形.

3.（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中NA8C=90。，ZC4B=60°,AB=8,点A对应直

尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到VAEC，，点A'对应直尺的刻度为0,则四

A.96B.966C.192D.16073

【答案】B

【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60。，根据四边形ACCA'的面积为A4'-ACsin60。=2ABsin60。,A4',

即可求解.

【详解】解：依题意ACC'A'为平行四边形，

VZABC=90°,ZC4B=60°,AB=8,AA'=12.：.AC=2AB

平行四边形ACC'A'的面积=A4'•ACsin60。=2ABsin60°-=2x8xl2x—=96百故选B

2

【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键.

4.（2022・广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，A3的长为12米，AB与AC的夹角为a,则高8c

1212

A.12sina米B.12cosa米C.-米D.-------米

sinacosa

【答案】A

【分析】在m△AC8中，利用正弦定义，sina=4f)代入AB值即可求解.

AB

Be

【详解】解：在幻A4CB中，ZACB=90°,Asina=—,

AB

.*.BC=sina,AB=12sina(*),故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键.

5.（2022•贵州毕节）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:6，则斜坡A8

的长度为（）

A.10mB.105/3mC.5mD.5Gm

【答案】A

【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长.

Be5।

【详解】•:i=l:6,BC=5m,=--7=—/=,解得：AC=50n,

ACAC73

则AB=>JBC2+AC2="+（54『=10机.故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用.由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键.

6.（2022•黑龙江牡丹江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，

此时小明看山顶的角度为60。，求山高（）

12

A.（600—250百）米B.（6006-250）米C.（350+3506）米D.500白米

【答案】B

【详解】解:如答图，：BE：AE=5：12,...可设BE=5k,AE=12k,

VAB=1300米，

...在Rt^ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2,

即炉）解得

（12+（542=130（）2,k=100

...AE=1200米，BE=500米.

设EC=x米,

VZDBF=60°,.,.DF=75x米.

乂：NDAC=30。，.\AC=V3CD.

.*.1200+x=V3（500+73X）,解得x=600-2506.

，DF=GX=600G-750.

/.CD=DF+CF=600>/3-250（米）.

二山高CD为（600石-250）米.故选B.

D

CE12A

【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊

角的三角函数值；待定系数法的应用.

7.（2022•湖北十堰）如图，坡角为a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树48,当太阳光线与水平线成

45。角沿斜坡照下，在斜坡上的树影8c长为机，则大树AB的高为（）

tnm

C./n(cosa-tantz)D.-----------------

sinacosa

【答案】A

【分析】应充分利用所给的。和45。在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解.

【详解】解：如图，过点C作水平线与A5的延长线交于点。，则AO_LCD,

:,乙BCD二a,ZACD=45°.

在RmCDB中，CD=mcosa,BD=/?isina,

在Rt^CDA中，A£>=CDxtan45°=/?7xcosaxtan450=wcos（z,

.\AB=AD-BD=Cnicosa-msina）-m（cosa-sina）.故选：A.

【点睛】本题考查锐角三角函数的应用.需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函

数时要注意各边相对.

8.（2022•湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点。在08

上，OC:BC=\:2,连接AC,过点0作O尸〃AB交4c的延长线于P.若则tanNQ4P的值是（）

D.3

【答案】C

【分析】由尸（1,1）吁知，。2与x轴的夹角为45。，又因为OP〃AB,则为等腰直角形，设OC=x,0B=2x,

用勾股定理求其他线段进而求解.

【详解】点坐标为（1，1）,

则OP与x轴正方向的夹角为45。，

又•:OP//AB,

则N8AO=45。，为等腰直角形，

,OA=OB,

设OC=x,则OB=2OC=2x,

则OB=OA=3xf

X

...tanZ/Oc4APn=-O-C-=—=-1.

OA3x3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据尸点坐标

推出特殊角是解题的关键.

9.（2022•广西玉林）如图，从热气球4看一栋楼底部C的俯角是（）

A.ZBADB.Z4CBC.Z.BACD.ADAC

【答案】D

【分析】根据俯角的定义可直接得出结果.

【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，

ND4c为对应的俯角，

故选D.

【点睛】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键.

10.（2022•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=S,分别以点A和C为圆心，以大于;AC的长为半

径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN分别交A。8c于点E,F,则AE的长为（）

791525

A.-B.一C.—D.—

4444

【答案】D

【分析】根据矩形A8CD可知AWC1为直角三角形，根据勾股定理可得AC的长度，在放AADC中得到

AnI

cosZCAD=—,乂由题知MN为AC的垂直平分线，于是NMQ4=90。AO=-AC,于是在RAAOE中,

AC2.

利用锐角三.角函数即可求出AE的长.

【详解】解：设与AC的交点为。,

•••四边形ABC。为矩形,

:.ZADC=90°,AB=DC=6,BC=AD=3,

.•.AAOC为直角三角形,

•.-0）=6,AD=8,

AC=ylATr+DC2=^82+62=10>

——

AC105

乂由作图知MN为AC的垂直平分线,

.•.NMCM=90。，A。」4c=5,

2

...在RrAAOE中,

cosZEAO=—

AE

,/cosZCAD=cosZEAO•

54

••一f

AE5

AE=—

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的

关键.

11.（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中A8=AC,ZABC=2T,BC=

44cm,则高AO约为（）（参考数据：sin27°»0.45,cos270®0.89,tan270«0.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的性质及8c=44cm,可得OC=gBC=22cm,根据等腰三角形的性质及

ZABC=27°,可得NACB=NABC=27。，在中，由A£>=tan27OxCt),求得4。的长度.

【详解】解：•.•等腰三角形ABC,AB=AC,AO为BC边上的高，

DC=-BC,

2

■:8c=44cm,

:.DC=—BC=22cm.

2

♦.•等腰三角形48C,AB=AC,ZABC=2T,

：.ZACB=ZABC=27°.

为8c边上的高，ZACB=27°,

在心AADC中，

AD=tan27°xCD,

Vtan270®0.51,QC=22cm,

/.AD~0.51x22-11.22cm.故选：B.

【点睛】本题考查J'等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键.

12.(2022・湖北武汉)由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点4

B,C都在格点上，/。=60。，则tan/ABC=()

驾

【答案】C

【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得/A8c=30。，利用特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】解：连接AO,如图：

A

E

OD

•••网格是有一个角60。为菱形,

.♦.△40。、4BCE、4BCD、A/IC。都是等边三角形,

：.AD=BD=BC=AC,

...四边形A。8c为菱形，且/Z)BC=60。,

，ZABD=ZABC=30,>,

・・・tanNA8C=tan30°二也.故选：C.

3

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形AOBC为菱形是解题的关键.

二.填空题

13.(2022•黑龙江绥化)定义一种运算；sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?,

sin(a-y?)=sinacosP-cosasin/?.例如：当a=45°,£=30。时，sin(45°+30°)=

显速+叵xL=G6,则0nl5。的值为

22224

【答案】V6-V2

4

【分析】根据$皿。-/7)=$皿&8$£-8$0^“代入进行计算即可.

【详解】解：sinl50=sin(45o-30°)

=sin45°cos30°-cos45°sin30°

立

X73一V21

22------X一

22

在V42

4一&

卡

一

4

故答案为:

4

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

14.（2022•湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三

角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为"弦图