2023年上海高考数学满分复习攻略第03讲 函数及其性质（解析版）

第03讲函数及其性质

题型-：函数定义域

【考点1】函数及其去示题型：：函数解析式

题型三函数值域

函数及其性质

题限四：函数奇偶性

【考点2】函数基本性质

题型忆函数单调性

区【考点梳理］

1.函数的概念

设/,6是两个非空数集,如果按照确定的法则£对/中的任意数x,都有唯一确定的数y与它对应，那

么就称f：/—g为从集合A到集合6的一个函数，记作y=Ax)，x^A.

2.函数的定义域、值域

(1)函数v=f(x)自变量取值的范围(数集心叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合｛引y=f(x),

正山叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的曲，值域是各段值域的先集.

5.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

设函数y=F(x)的定义域为4区间，仁出如果取区间〃中任意两个值

Xi,如改变量△X=X2—Xi>0f则当

定义A尸/~(X2)一『(汨)>0时,就称

-y=/、(*)—/,(汨)<0时,就称函数y

函数y=F(x)在区间"上是增函

=f(x)在区间"上是减函数

数

6.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数"满足

(1)对于任意xe/,都有f(x)WM；(3)对于任意xe/,都有f(x)》断

条件

(2)存在施G/,使得/1(加二"(4)存在xoC/,使得F(xo)=M

结论"为最大值M为最小值

7.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数y=f(x)的定义域为〃如果对〃内的任意一个x,都

奇函数关于原点对称

有一xGD,且/(—x)=-Hx),则这个函数叫做奇函数

设函数y=g(x)的定义域为。，如果对〃内的任意一个x,都

偶函数关于谢对称

有一且g(—X)=g(x),则这个函数叫做偶函数

8.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=Mx),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有必

+7)=F(x),那么就称函数尸Mx)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(公的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

【解题方法和技巧】

1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

(1)“一正”就是各项必须为正数;

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

2.已知函数零点（方程根）的个数求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，

利用数形结合的方法求解.

3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较.

比较指数式大小时.，常常化为同底数的基，利用指数函数性质比较，或化为同指数的累，利用事函数性质

比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数,

或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小.

4.导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应

用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.

（4）考查数形结合思想的应用.

【考点剖析】

【考点11函数及其表示

题型一:函数定义域

一、双空题

1.（2022・上海•高三专题练习）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数

为“同域函数函数y=4^-g7的值域为,则与>'是“同域函数”的一个解析式为

【答案】[-U]y=2*-3,xe[l,2]或者y=sin（2m）xe[l,2]（答案不唯一）

【分析】分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有•定难度，考虑到函数的解

析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域.只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数

均符合题意.

【详解】解：因为y=GT-^/^二，所以乂」且、,2,所以函数的定义域为[1,2].下面求函数y的值域,

不妨先求函数>'2的值域，令f(x)=y2=l-2V(x-l)(2-x),

令8。)=。-1)(2-了)，xe[l,2],所以g(x)e[O,1],

从而得出〃x)e[O,1],所以1],即函数的值域为[T,U.

只要满足定义域为口，2],且值域为[T,1]的函数均符合题意，例如y=sin(2%x)xe[l,2]或y=2*-3,xe[l,

2]或y=3"'-2,xe[l,2]

故答案为：y=sin(2zrx)xe[l,2]或y=2*-3,xe[l,2J或>=3*-'-2,xe[l,2]或

y=log^x-l,xe[l,2|(答案不唯一)

二、填空题

2.(2022•上海市奉贤中学高三阶段练习)函数〃x)=出)-1的定义域为.

【答案】S,0]

【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.

【详解】解：由(£)-1>0,

所以xVO,

所以函数的定义域为(-8,0],

故答案为：(…，0]

3.(2022♦上海•高三专题练习)已知函数/(x)=/(xVO),则其反函数1r'(x)=

【答案】-4(x>0)

【分析】先求f(x)的值域，再反解x,最后互换MV的位置，给出其定义域.

【详解】因为f(x)=N(x<0),所以的值域为(0,+s),

由y=/,解得x=一仃,

所以一(力=-4(x>0)

故答案为：-6（x>0）4.（2022・上海•高三专题练习）函数/（幻=正的定义域为

x-1

【答案】{x|x>0且xfl}

【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可.

【详解】要使函数有意义，则[八，

,fx>0

得l1,即x20且xw1,

即函数的定义域为{小之。目/X1},

故答案为：{x|xN（）且xwl}.

5.（2021.上海市风华中学高三期中）函数y=--7）°的定义域为

X2-2X-3

【答案】(F,—1)5—1,3)53,7)57,”).

【分析】根据题意列出使函数解析式有意义的不等式组，解不等式即可求解.

x-7^0

【详解】由题意可得:

f_2x—3w0'

解得：xw7目.xw3且xw-l,

所以函数的定义域为（F,T）D（T3）D（3,7）U（7,4W）.

故答案为：（f,T）u（—1,3）D（3,7）D（7,”）.

6.（2021・上海中学高三期中）已知函数y=J/nr+1<0）在（一—2]上有意、义,则实数机的范围是

【答案】-g，。）

【分析】求出函数的定义域（0，-L],使（-8,2][（-8,一，],列不等式即可求解.

k"2」I机」

【详解】要使函数有意义，则初x+120（机<0）,

解得X4-L,所以函数的定义域为

mym

所以（-8,2]U（V,-L],所以-，？2,解得0>机2_:，所以实数冽的范围是

Vm]m22

故答案为：-；，0)

7.(2021・上海师大附中高三期中)函数f(x)=JT不的定义域为

【答案】(YO,0]

【分析】由/(x)=VI彳有意义可得解不等式可求函数的定义域.

【详解】；有意义

・•・l-4v>0,

:.x<0,

，函数/(%)=J1-4”的定义域为(-°0>0].

故答案为：(f，0L

三、解答题

8.(2022・上海•高三专题练习)已知实数”涉是常数，函数/(x)=(^/f，+^/^^+a)(V^=7+力.

(1)求函数f(x)的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若“=-3力=1,设，=丁心+/匚7，记r的取值组成的集合为。，则函数f(x)的值域与函数

g⑺=3(--3/)(/€。)的值域相同.试解决下列问题：

(i)求集合3;

(ii)研究函数g(f)=g(--3产)在定义域。上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没

有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数Ax)的最小值.

【答案】(1)定义域为[-U],为偶函数，理由见解析；(2)(i)[0,2]；(ii)g⑺在。上是减函

数，证明见解析，/(x)最小值为-2.

【分析】(1)由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明

的关系即可证函数的奇偶性.

(2)(i)由题设可得产=2+27^1,由根式的性质，即可求f的取值集合D,(ii)任意的目/<明

根据解析式判断g(G，g(G)大小即可确定单调性，利用/(x)与g(f)(fe。)的值域相同求/(x)最小值.

l+x>0

【详解】(1)•.・实数是常数，函数/(©=(4；7+五二+4)("77+力，.・.由1一120,解得T4X4L

\-x2>0

.•・函数的定义域是[-UL

对于任意XW[-1,1],有

-x€Ft1],/(-%)=(Jl+(-x)+Jl-(-x)+a)("l-(-x)2+b)=(yjl-x+Jl+x+a)(\l\-x2+b)=f(x)>即

/(-X)=f(x)对X€[-1,1]都成立(又fix)不恒为零)，

•••函数/(X)是偶函数.

(2)由“=一3,。=1,有F(X)=(VI77+VT^-3)(J1-X2+1).

(i)/=Jl+x+Jl-x(-lWl),则*=2+2,1-丁.

0<Vl-x2<1-2<z2<4(/>0),即&4Y2.

:.D=\s/2,2].

(ii)由⑴知：g(力=g(--3/)的定义域为。=[夜,2].

对于任意的乙4©。且4<%有

g(，i)-g(，2)=-3f；-(£-3r；)]=][(。+能+%)-3年一L)(%+，?)]

1,,11111

=5(6-，2)[(G—2%)+/-Zrl+qtA-G+qflL-j)]=2^1-Z2)[MA-2)+(Z2-2)+^2~+(2^1~-

又4>0山>0,乙一4<0且4-240由一240(这里二者的等号不能同时成立)，

万(4—-2)+，2。2—2)+5，[。2-2)+5芍(4—2)]>0，即g(tl)—g(t2)>O,g(tl)>g(t2).

・•・函数gQ)在。上是减函数.

g(我血=g⑵=gX(2=3X2。)=-2・

乂・•・函数/(x)的值域与函数g⑺=3(--3/)的值域相同，

函数/(X)的最小值为一2.

【点睛】关键点点睛：

(1)根据根式的性质求定义域，利用函数奇偶性的定义说明奇偶性；

(2)由根式性质，求换元后/的范围，利用单调性定义判断g⑺的单调性，进而由g⑺的值域求,(X)的最

小值.题型二：函数解析式

一、单选题

1.(2022・上海•高三专题练习)设函数y=/(x)和y=g(x)的定义域均为R,对于下列四个命题：

①若对任意xeR,都有=则/(X)存在且唯一；

②若＞'=fM为R上单调函数，y=g(x)为周期函数，则y=/(g(x))在R上既是单调函数又是周期函数;

③若对任意xeR,都有/(g(x))=x,则当g(x0)=g(%)时，必有%=%；

④若函数V=/(x)不存在反函数，则/(x)在R上不是单调函数.

其中正确的命题为()

A.①②B.②④C.①③④D.③④

【答案】D

【分析】①举例若〃x)=o或f(x)=i判断；②不妨设函数y=g(x)的周期为T判断；③利用函数定义判断;

④根据函数具有反函数的条件判断.

【详解】若/(x)=0或f(x)=l,都满足对任意xwR,都有/(丹切=[/(切2,故①错误；

不妨设函数y=g(x)的周期为7,则〃g(x+T))=〃g(x)),故y=〃g(x))在R上不是单调函数，故②错

误;

(毛)=g(%)，•,・•/'(g($))=/(g(yo))，又：/(g(x))=x,x0=%；故③正确;

•.•若/(x)在R上是单调函数，则函数y=/(x)存在反函数；

二若函数y=f(x)不存在反函数，则/a)在R」;不是单调函数，故④正确.

故选：D.

2.(2020•上海普陀•高三阶段练习)关于函数，有下列叙述：

①存在函数/(x)满足，对任意xeR都有/(sin2x)=sin%；

②存在函数/(x)满足，对任意xeR都有/(sin2x)=x2+x；

③存在函数/(x)满足，对任意xeR都有/(X2+2X)=|X+1|；

④存在函数满足，对任意xeR都有〃*2+1)耳》+1|；

其中，叙述正确的是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A【解析】根据函数的定义结合赋值法可得①②④的正误，利用换无法可得③正确.

【详解】①令x=(),则sin2x=0,所以/(0)=0,令x=g,则sin2x=0,所以/(0)=1,矛盾，故不存在;

②令x=0,则sin2x=0,所以/(0)=0,令*=万，则sin2x=0,所以/(0)=/+乃，矛盾，故不存在;

③令x+l=f,则f(f+2x)=|x+l|化为，(/-令於_1=尤，则，=±J77T,所以〃幻=而1,正

确:

④令x=l,得f(2)=2,令X=-1,得f(2)=0,矛盾，故不存在;

所以正确的个数是1个,

故选：A.

【点睛】方法点睛：判断函数的存在性，一般依据函数的定义来判断，注意根据复合函数的形式寻找合适

的赋值方法.

二、填空题

3.(2022.上海市实验学校模拟预测)函数的图象是两条线段(如图)，它的定义域为［T,0)3(0』］,则不

等式/(x)-/(-x)>-l的解集为

【答案】［-i,o)心1

【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果.

【详解】解:

当xe［-L0)时，设线段所在直线的方程为)，=履+。，线段过点(-1,0),(0,1),

-k+b=4

根据一次函数解析式的特点，可得出方程组

h=\

b=1

解得k=V故当X"，。)时，“X)51；

同理当友(0,1］时，/(x)=x-1；

当x日-1,0)时，不等式)(%)-/(-x)>-1可化为:x+l-(-x-l)>-1,解得:x>—,-1Wx

2

<0.

当疣(0,1］时,不等式/(x)-f(-x)>-1可化为:

x-1-(r+1)>-1,解得：x>—,—<x^l,

22

综上所述，不等式/(X)-/(-X)〉-1的解集为卜1,0)吗』•

故答案为：

三、解答题

4.(2022・上海•高三专题练习)二次函数满足/(x+l)-/(x)=2x,且“0)=1,

(1)求/(x)的解析式；

(2)在区间[-L1]上y=/(x)的图象恒在y=2x+〃?图象的上方，试确定实数加的范围.

【答案】(1)f(x)=x2-x+\；(2)(—I).

【分析】⑴设，*)=江+灰+。("0),代入/(x+l)—/(x)=2x,/(0)=1待定系数即得解；

(2)转换y=f(x)=x2__x+i的图象恒在y=2x+m图象上方为丁-x+1>2x+,〃，令g(x)=f-3x+l-相，

转化为二次函数在定区间的最小值即得解.

【详解】(1)由题设/。)=以2+法+c("0)

••"(0)=1

c=l又/(x+l)-/(x)=2x

a(x+if+b(x+1)+c-(加+bx+c)=2x

2ax+a+b-2x

.J2a=2.ja=l

[a+b=0，[Z?=—1

f(x)=x2—x+\

(2)当％w[Tl]时,y=/。)=/7+1的图象恒在y=2x+根图象上方

3

时f_龙+]>2工+加恒成立，即％?_3x+l一机>0恒成立令g(x)=f-3x+l-〃?，对称轴为x=Q,

故函数g(x)在上单调递减，

2

时，g(x)min=^(l)=l-3xl+l-w/=-l-w

故只要m<-1即可，实数机的范围(f,T).

题型三：函数值域

一、单选题

1.(2022.上海市光明中学模拟预测)已知定义在[0,10)的函数f(x),满足：/(x+2)=/(x)+a,/(x)在

a

+1,0<x<l

)上的解析式为；

[0,2"x)=?2,设/(X)的值域为A.若存在实数b,使得Au快6+3],

—x+L1<x<2

3

则。的可能取值为()

c-4D-4

【答案】A

【分析】先求出当。>0时，/(X)的值域，从而得出f(x)在[0,10)餐胡的取值情况，根据条件参数。满足

的不等式，求出参数。的范围，然后同理讨论。<0的情况，从而得出答案.

【详解】当a>0时，当xe[0,l]时，/(x)=-^+l,则]++l

当xe(l,2)时，〃x)=p+l,!Uij|+l</(x)<^+l

所以xe[0,2)时，1+l</(x)<y+l

由/(x+2)=〃x)+a,则xw[2,4)时，^-+1</(x)<-y-+l

则XG[4,6)时，—^-+1</(x)<曰'+l

所以则xw[8,10)时，半+iw/(x)(与+1

"32弛+1

3

由则存在实数匕，使得Aq[〃，b+3],即存在实数b使得"4三+1,

14〃(4人

3U)

9

解得工；

13

由上可知，当a=0时，“X)的值域为4={1},显然满足题意.当好0时，当xe[0,l]时，/(x)=-^+l,

则£+14/(X)«]+1

当x«l,2)时,/(x)=jx+l,则等+1</(*)</1

所以xe[0,2)时，y+l</(x)<|+l

同理可得,当x«8,10)时,学+14〃x)(华+1

Z?+3>—+1

3

\A

由则存在实数方，使得h+3］,即存在实数人使得阳亍a+1,

限粤g

9

解得a>---

13

所以满足条件的。是范围：一9点<。〈尚9，由选项可知：选项C满足

故选：A

二、多选题

2.(2019•上海市七宝中学高三开学考试)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函

数C(x)组成的集合：对于函数9(x),存在一个正数使得函数夕(x)的值域包含于区间例如，

当例(x)=、,例(x)=sinx时,<pt(A-)GA,<p2(X)GB.则下列命题中正确的是：

A.设函数〃x)的定义域为£>,则"/(x)c4”的充要条件是“皿eR,3a^D,

B.函数/(x”B的充要条件是/(X)有最大值和最小值

C.若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)eA,g(x)eB,则f(x)+g(x)口8

D.若函数〃x)=aln(x+2)+£y(x>-2,qeR)有最大值，则

【答案】ACD

【分析】A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；

8选项中举反例保证函数的值域为集合［-/,加］的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C

选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现+从而发现命题正确：。选项中从极限的角

度证明。>0,。<0均不成立，所以。=0,再求出函数A*)的值域为,从而得到命题。正确.【详

解】对A,“f(x)eA”即函数/(X)值域为R,7bwR,BaeD,/(a)=6”表示的是函数可以在R中任

意取值，故有：设函数/(x)的定义域为D,则“/(x)eA”的充要条件是3aeD,f(a)=b"，

命题A是真命题；

对8,若函数f(x)eB,即存在一个正数M,使得函数〃x)的值域包含于区间［-M,例］.

•--WU)M.例如：函数/0)满足-2</(x)<5,则有-5颁(x)5,此时，/(X)无最大值，无最小值..•.命

题8"若函数/(x)e8,则/(x)有最大值和最小值.”是假命题;

对C,若函数/(X),g(x)的定义域相同,且/(x)eA,g(x)eB,则/(x)值域为R,/(x)e(^»,+<»),并且存在

一个正数M,使得-M融⑴M,:.f｛x｝+g(x)wR,则f(x)+g(x)任8..•.命题C是真命题.

vV

对。，•・,函数/(x)=H〃(x+2)+方二匚(x>-2,acR)有最大值，，假设。>0,当了—小时。，—IfO,

AT+1xr+1

yO

加(x+2)-田，加(x+2)r物，则/(x)-+oo,与题意不符；假设〃<0,当xf-2时，=J—4,

加(x+2)fTO,.,.a/"(x+2)fy，贝+»,与题意不符.二4=0,即函数/(幻=二~7(*>-2)，当x>0时，

I-o<-!—X।1_1__!_<o

X+L..2,,1"2,即0</(x),,；；当x=0时，〃x)=0：当x<0时，x+-„-2,•-2"J,即

x.<+—2xx+一

XX

,即/(x)e8,故命题力是真命题.

故选ACD.

【点睛】本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充耍条件、双勾函数等知识

的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度,

属于难题.

三、填空题

3.(2022.上海.模拟预测)若xe[1,100],则函数=的值域为.

【答案】[MO]

【分析】先求出函数lg〃x)的值域，即可求出函数f(x)的值域.

【详解】因为尤e[l,100],lg〃x)=(2-lgx)lgx=-(lgx-l)2+l,令f=lgxw[0,2],因此

2

lg/(x)=-(r-l)+le[0,l],即的值域为[1,1。].故答案为：[覃0].

4.(2021•上海市吴淞中学高三期中)用符号(灯表示小于x的最大整数，如(万]=3,(-1.2]=-2,有下列命题:

①若函数/(x)=(x]-x,xeR,则/*)的值域为[-1,0)；②若xe(l,4),则方程x-(x]=g有三个根；③若数

列｛为｝是等差数列，则数列｛(4]｝也是等差数列；则正确命题的序号是.

【答案】①②

【分析】根据给定定义可得x-14(x]<x，再对给定的3个命题逐一分析即可判断作答.

【详解】因符号(幻表示小于x的最大整数，则xeR时，x-\<(x]<x,

于是得即函数f(x)=(幻-x在R上的值域为［-1,0),①正确;

11419

方程x-(x］=gox=(x］+m，当xe(L4)时，则有^<(8<不，而(x］是整数，

于是得(幻的值可为1,2,3,即x值有3个，则方程犬-(8=2有三个根，②正确；

数列｛%｝是等差数列，如数列1.7,1.8,1.9,2,2.1,2.2成等差数列，

而由(4］计算所得结果对应的数列1，1.1.1.2,2不成等差数列，③不正确，

所以正确命题的序号是①②.

故答案为：①②

5.(2021・上海市晋元高级中学高三期中)“X)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若函数/(x)+g(x)

的值域为［-1,4］,则/(x)-g(x)的值域为.

【答案】

【分析】利用函数奇偶性的定义结合/(x)+g(x)的值域即可求出/(x)-g(x)的值域.

【详解】解：由〃x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数

得至i」/(r)=-/(x),g(-x)=g(x)

因为函数/(x)+g(x)的值域为卜1,4］

§p-l</(x)+g(x)<4

所以一14/(—x)+g(—x)44

又一(-x)=-/(x),g(-x)=g(x)得-44/(x)-g(x)41

所以“x)-g(x)的值域为：

故答案为：［Y』.

四、解答题

6.(2022•上海市复兴高级中学高三阶段练习)已知｛〃/为各项均为正数的数列且对满足2〃=〃+4的正整

2acin+ao

数p,，〃都有等式成立.

q(1+4.)(1+叫\/。二+初、

(1)判断数列4,二会•是否满足等式(*)；

(2)证明《e(0,1)的充要条件为%,4e(0,l)；

(3)证明：存在与《有关的常数4,使得对于每个正整数〃，都有4a.

/t

【分析】(1)令P=3q=2〃-k分别代入到等式进行化简，最后得出等式两边相等即可判断；

(2)观察得必要性显然成立，充分性证明时同样要从赋值法以及函数值域的角度得到不等关系，进一步求

解不等式，再根据递推关系得出结论;

⑶运用赋值法，令…记%=再需幻=瑞图清函数小)=瑞高(、＞0)则在

定义域上有j,a=\,故对"N+，2+12g(a)恒成立，根据%,=2g(")得证.

4火—1q2n-k_1

（1）依题意得，令P=k,q=2n-k,贝!1all~-,a2n_t~-,k+2n-k=2n

3—+32*"-1（3*-1）（32"-*+1）+（3"-*-1*+1）

4+*一二32"&+1（3&+1）/+1）

（1+3（1+*）［1+编［1+1^）\（3—）（321+1）+俨-*-1*+1）।（3*T（32"Y_1）

（3*+l）（32n-t+1）（3*+1）（32'-*+1）

（3*-1）（32^+1）+（32"-*-1）（3*+1）

-（3（+l）（32n-<+1）+（3*-1）（32"-*+1）+（32"-*-1）（3*+1）+（3*-1）（32"-t-I）

32"+3"-3"Y-1+3"+3?"T-3*-l

=32.+3«+32T+1+32"+N-产_1+3?"+尹-3*-1+3?"-3*-3**+1

2x3?"-2

-4x3”'

2a“_2a”_2*3"+1

（2

"0J1+21+?3^-13n-l

［十NX-------------------2x3"-2---------------..=2.3-"-2故数列

3"+l3"+l

3?”-2x3"+1+2x3”-2+32n+23n+l4x32n

2x（3,1-l）（3,,+l）

（3"+l7+2x（3"-1）（3"+1）+（3"-I），

%=箸满足等式•

（2）

依题意必要性显然成立，下面证明充分性:

q,a2e(O,l),对于〃q=n+\,(n>2,72€？/+)

则肃产(J二黄工)2〃")

若存在某个？€刈〃22),使得：%,%€(0,1)

,"VO+H：；］/；即：(l-^.,)(l-a,b+1)>0,而4_小(0,1)

,、2%出品,+品+2

•.・%«。/)，同理可得：际二广西E

•••%2«0,1),依据递推关系(*)式，可得：。„认),

又•.■《，a2e(O,l),故可取%=2,则。“€(0,1).

(3)依题意得,的值与。+4有关，记为:%,令4="

G+4,"+

则加

(1+a,)(1+«„)(1+«)(1+«„)

设函数4)=(1+芥；+Jx>。)则“>)=£+*占

1,

----,a>1,

1+a

11故对“wN-b”+|2g(a)恒成立，g(“)e(0,g

.•./(x)2g(a)=，2，"=L

----,0<tz<1.

\+a

又瓦,2gS)=g(a)4：+2[g(a)T]a“+gS)40

版2g(a)_l-g(a)-"l-2g(a)l-g(a)+Jl-2g(«)

^l-g(a)+/-2g(a)~g(a)一"一g(")

取2g(")即有;444,

g(a)2

【点睛】本题考查数列递推公式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，对学生的分析问题和解决问题

的能力有一定的要求，难度较大.

7.(2021♦上海中学高三期中)已知函数/(x)=5-3x,g(x)=3x—2.

⑴若〃(x)=lf(x)|—lg(x)|,且恒成立,求实数机的最小值；

(2)若奴x)=+Jg(x),求9(x)的值域.

【答案】(1)3,(2)［百，何

【分析】(1)由绝对值三角不等式可得以x)的最大值，进而可得结果；

(2)将式子平方，转化为s2(x)=3+2j-9(x-，J+q,利用二次函数的性质即可求解.

(1)心)=|5-3x|-|3x-2|<|(5-3x)+(3x-2)|=3,

，力(X)max=3,m>3,故m的最小值为3.

I-----/-----「25-

(2)0(x)=\/5-3x+\/3元-2,xG—,

“(》)=3+25(5-3可(3犬-2)=3+2小-9幺+2以-10=3+2/9卜—；)+：,

7.

当x=d时，r(x)nm=6,

当X=§或3时，夕(可向"=3,

所以84(p［x)<瓜,

所以函数9(x)的值域为［有，m］.

［考点2］函数基本性质

题型四：函数奇偶性

一、单选题

1.(2022・上海•位育中学模拟预测)定义在R上的任意函数/(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一

个偶函数之和，若/(x)=log2(2'+l),xeR,则()

A.g(x)=x,/z(x)=log,(2'+l)-x

B.g(x)=-x,/z(x)=log,(2'+l)+x

v

C.g(x)=,/i(x)=log2(2+l)-^

x

D.g(x)=《/z(x)=log2(2+l)+|

【答案】C

【分析】由函数奇偶性的定义列出方程组结合对数的运算即可解得.

【详解】设/(x)=g(x)+Mx),

则=g(x)+h(x)=10§2(2"+1)

x

'[f(-x)=g(-x)+h(-x)=log2(2*+1)'

因为g(x)为奇函数，力(x)为偶函数，化简得：

cY

g(x)+〃(x)=k>g2(2"+l)g(x)=；

"2'+1，解得：

v

SM+h(x)=log2(—)=log,(2^+l)-x/：(%)=log2(2+l)-^

故选：C.

2.(2022.上海静安.模拟预测)已知函数./'(x)=kinH+cosx,下列结论正确的是()

A."X)为偶函数B.f(x)为非奇非偶函数

C.f(x)在[0,句上单调递减D.“X)的图象关于直线x对称

【答案】A

【分析】/(-力=/。),所以〃司为偶函数，所以选项A正确，选项B错误；当OWxW兀时，此时函数的

单调递减区间为%],所以选项C错误；/仁卜/,"即"X)的图象不关于直线可对称，所以

选项D错误.

【详解】解：由题得函数的定义域为R,关于原点对称.

〃一力=卜皿-刈+3(-%)*山刈+85%=/。),所以了(力为偶函数，所以选项A正确，选项B错误;

当OWxW兀时，f(x)=sinx+cosx=>/2sin(x+—),令+—<x+—<2%4+—,keZ,所以

'，4242

2k^+—<x<2k7r+—,k&Z,

44

令*=0得X哼，令人一得一-4

4444

7T

所以此时函数的单调递减区间为丁]，所以选项C错误;

[-；)=sin[—•+cos(-：〉血，/仁卜si吟+3专=0w,即/(x)的图象不关于直线x=；

对称，所以选项D错误.

故选：A

3.(2022•上海市实验学校模拟预测)函数/(幻=4，&3=:…，Z,+I(x)=—^―,…，则函

XX+J](X)X+/〃(X)

数人。似幻是()

A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

【答案】A【分析】根据奇偶函数的定义，先判断力(x)是否恒为0,再通过定义证明力(x)为奇函数.

【详解】当x>0时，若£(外>0,则力+仆)=-/>°，

x+力(x)

,当x>0时，<(幻='>0n£(x)>0=>/,(%)>0n…

X

.,.当x>0时，则£(尤)>0

•••力。)不可能既是奇函数又是偶函数

力(x)的定义域为{xlxwO}

若£,(X)为奇函数，则0+1(-X)=--^―_-=-----^――=---y—=工用(x)

—+£,(T)-x-fn(x)x+fn(x)

即力M(X)也为奇函数

现在<。)=,为奇函数n上⑴为奇函数=八(尤)为奇函数n...

X

所以对V〃wN*/(x)为奇函数

故选：A.

4.(2022♦上海宝山二模)关于函数〃x)=(2、q>)和实数加，”的下列结论中正确的是()

A.若-3<加<〃，则/(加)</(〃)B.若机<〃<0,则/(，*)</(")

C.若/(%)</(〃)，则加D.若/(，〃)</("),则加'</

【答案】C

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，

即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可：

【详解】解：因为/(-幻=(2-，-击).(一)=(2、一/))="0，

所以函数=是一个偶函数，

又x>0时-，y=2、-£与),=%是增函数，且函数值为正数，

।1

故函数f(x)=(2r在(。，+8)上是一个增函数

由偶函数的性质得函数在(—,0)上是一个减函数，

此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，

函数值就小，反之也成立，

考察四个选项，A选项，由无法判断"?，"离原点的远近，故A错误：B选项，则

加的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；

C选项是正确的,由，(㈤</("),一定得出病〈〃的

D选项由/(⑼</(〃)，可得出但不能得出加</,不成立，

故选：C.

二、填空题

5.(2022•上海交大附中高三阶段练习)已知函数/(8)=£+”为奇函数，则方程/(*)=；的解是

X=.

【答案】-1

【分析】根据奇函数满足"0)=0可得。，再求解〃X)=；即可

【详解】因为函数〃x)=±+a为奇函数，故40)=出+〃=0,解得〃=_；,故/(力=；即

士一〈=：故3(3*+1)=4,解得x=—l

故答案为：-1

6.(2022