2022年学年高考数学理科模拟试卷及答案解析

假设要功夫深，铁杵磨成

最高考数学模拟试卷〔3〕

一、选择题〔本大题共12小题，每题5分,共60分.在每骸给出的四个选项中，只有一项为哪一

项符合题目要求的〕

1.复数丹7为钝虚数，则实数a=()

2-11

A.-B--2C.2D-

2

2.以下命题中的假命题是〔〕

A.VxWR,2x-1>0B.3x^R,C.3x^R,lgx<D.Vx£N*,[x-1]2>0

tanx=21

f〔x〕=sinx+cosx,f[x]是f(x)的导函数，即f〔x〕=f，〔x〕,f[x]=fr[x],

In+ln2132

f〔X〕=f'〔X〕，n£N*,则f〔X〕=〔]

n+l2022

D.-sinx+cosx

A.sinx+cosxB.-sinx-cosxC.sinx-

6在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设a2小射小inB,则A=〕

A.30°B.60°C.120°D.150°

7.阅读如下图的程序框图，假设输出的S是126,则①处应填〔]

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开始假设要功夫深，铁杵磨成

A.n<5B.n<6C.n>7D.n<8

8.△ABC中，角A、B、C所对应的边分刖a、b、c,bcosC+ccosB=2b,则若二〔〕

2b

A.B得C6D.1

9.f〔x〕是偶函数，它在[0,+8]上是减函数，假段f〔Igx〕>f〔l〕，则实数x的取值范围

是(〕

A.[_1_,1]B.[0,J-]U[1,+oo)C.(A,10]D.[0,1〕

101010

U〔10,+00)

10.某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能任同

一房间，则不同的安排方法有〔〕机

A.24B.48C.96D.114

11.设O是△ABC的外接圆圆心，赢+如丽+2而！6，®]ZAOC-)

兀-加兀

A-7-TB2~~•—C--D-5--

3326

12.设函数f〔x〕是定义在〔-8,0)上的可导函数，其导函数为F〔x〕，且有3f〔x〕+xf

〔X〕>0,则

不等式〔x+2022〕3f(x+2022〕+27f〔-3〕>0的解集〔〕

A.(-2022,-2022〕B.[-oo,-2022〕C.[-2022,-2022〕

D.(-oo,-2022)

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假设要功夫深，铁杵磨成

二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在题中横线上〕

13.（x-2+工）4开放式中的常数项为

X

14.Jg〔3x2+k〕dx=16,M.

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分刖为a,b,c,[acosB+bcosA]=2csinC,

且△ABC的面积的最大值百，则此时△ABC的外形.

-TT

16.投函数f（x）=3sin（-2X+4）的图象为C,有以下四个命题：

4

④I好〔可髓而玲，吟|上是僧函教;

图般80西登10扇前焉¥呼得到.其中真M的序号是

O

三、解答题（17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤〕

17.cos[x-

〔1〕求sinx的值;

〔2〕求sin⑵玲〕的值.

18.为了解今年某校高三毕业班预备报考飞行员学生的体重状况，招所得的数据整理后，画出了

频率分布直方图〔如图〕，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,其中第2小组的

魏数为12.

[I）求债校报考飞行员的总人数；

〔H〕以这所学校的样本数据来估量全省的总体数据，假设从全省报考飞行员的同学中（人数很多）

任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.

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19.在梯形ABCD中，AB〃CD,CD=2,ZADC=120°,Je6gAD=^y

〔I〕求AC的长;

(II〕假设AB=4,求拂形ABCD的而现

20/AABC中的三个悯角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足GOSC=零，a=3,〔b

J

a]〔sinB+sinA〕=〔b-c〕sinC.

〔1〕求sinB的值;

〔II〕求^ABC的面机

21.设函数f〔x〕=x---minx

x

(1)假设函数f〔x〕在定义域上为增函数，求m范围;

〔2〕在〔1〕条件下，假设函数h〔x〕=x-ln』

)xe[l,e]ffiWf[x]>h[x)成立，求

e2

m的范围.

选修4-1:几何证明选讲

22.在AABC中，AB=AC,过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D.

「十叮

r〔门求心而PC下PD;

(2)假设AC=3,求APAD的值.

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佃议要功夫深，铁杵磨成

A

选修4-4：坐标系与参数方程

23.〔2022太原校级模拟〕【坐标系与参数方程】设直线1的参数方程为(X=2+t〔t为参数〕，

ly=2t

假设以直角坐标系xOy的。点为极点，Ox轴为极轴，选择一样的长度单位建立极坐标系，得曲线C

的极坐标方程加=*啜.

sinW♦

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

(2)假段直线1与曲线C交于A、B两点，求|AB|.

选修4-5：不等式选讲

24.12022太原校级模拟〕设函数f〔x〕=|x+a2|+|x-b*其中a,b为实数，

〔1〕假设a2+b2-2a+2b+2=0,解关于x的不等式f〔x〕23;

〔2〕假设a+b=4,证明:f(x]>8.

参考答案与试题解析

—、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每骸给出的四个选项中，只有一项为哪一

项符合题目要求的〕

1复数普为纯虚数’则实数I

)

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A.-B.--C.2D-

22

【考点】复数代数形式的乘除运算.

［专题1数系的犷大和复数.

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

［解答］解：•.•复数即产宵•))2a-l+J+a)i为钝虚数,

2-1(2-工)(2+1)5

A2a-1=0,2+a/0,

解得a=1

应选：D.

【点评】此题考察了复数的运算法则、纳虚数的定义，属于根底鼠

2.以下命题中的假命题是〔〕

A.VxGR,2x-i>0B.SxeR,C.3xeR,Igx<D.VxGN*,(x-1］2>0

tanx=21

【考点】全称命题；特标命题.

【专题】简易规律.

【分析】依据全称命题和特称命髭的定义推断命题的真假，全称命题要包含全称量同，特称命题

要包含特称量词，我们迩一分析四个命题易得到答案.

【解答】解：对于A,依据指数函数的性质可知，选项A为真命禺，

对于B,依据正确函数的性质可知，选项B为真命题，

对于C,依据对数函数的性质可知,选项C为真命题，

对于D,当x=l时，〔x-1〕2=0,应选项D为假命题，

应选：D

【点评】此题考察的学问点是全称命题和特称命题的定义，命题的真假推断与应用，要推断一个

特称命题为真命题，只要举出一个满足条件的例子即可，这是提高此题解答速度和准确度的重要

方法.

3.f〔x〕=sinx+cosx,f(x)是f(x)的导函数，即f〔x〕=f，〔x),f〔x〕=「〔x〕，…，

In+ln2132

幻〔x〕=f；〔x〕,neN..»Jf022(x］=(J

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A.sinx+cosxB.-sinx-cosxC.sinx-cosxD.-sinx+cosx

【考点】导数的运算.

[专题]导数的综合应用.

【分析】求函数的导数，确定函数f“X〕的周期性即可.

n

【解答】解：f〔x〕=sinx+cosx,

i

Af〔x〕二f，〔x〕=cosx-sinx,

21

f[x]=fr[x]=-sinx-cosx,

32

f〔X〕二f，〔x〕二-cosx+sinx,

43

f〔x〕=「〔x〕=sinx+cosx,

f'〔X〕=f，〔X〕，

n+4n

即f'〔X〕是周期为4的周期函数，

n

f〔x〕二f，〔x〕二r〔x〕=-sinx-cosx,

202220222

应选：B

【点评】此题主要考察导数的计算，依据导数公式求出函数的周期性是解决此题的关阻

4.函数y=xcosx+sinx的图象大致为〔〕

【考点】函数的图象.

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［专题］函数的性质及应用.

【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排解B,然后利用区特值排

解A和C,则答案可求.

【解答】解：由于函数y=xcosx+smx为奇函数，所以排解选项B,

■业7Tz兀兀兀一T

由与时，y=—XcosTT+sin-g^l^O>

当x=7t时，y=rcxcos7t+sin7t=-n<0.由此

可排解选项A和选项C.

故正确的选项力

D.应选D.

【点评】此题考察了函数的图象，考察了函数的性质，考察了函数的值，是根底题.

5.1~N〔3,加〕，假设P〔&2〕=0.2,则P〔任4〕=〔)

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】概率与统计.

【分析】依正随机变量X听从正态分布N〔3,a?〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3,

依据正态曲线的特点，得到P〔好4〕=1-P〔后2〕，得到结果.

【解答】解：.•・随机变量X听从正态分布N〔3,a2〕，

U=3,得对称轴是x=3.P〔及2〕=0.2,

，P〔骏4〕=1-P〔匕2〕=0.8.应

选D.

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深，铁杵磨成

其对称轴为x=g,并在x寸时取最大值从x寸点开头，曲线向正负两个方向递减延长，不断靠ifix

轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.

6在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设a?其c,J^sinB,则A=〕

A.30°B.60°C.120°D.150°

【考点】余弦定理的应用.

［专题］综合题.

【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A.

【解答】解：•.•sinCuZ/jsWB,0必，「，厂

・••…仍c,留心工一2回二回一.

W2bc2bc2

：A是三角形的内角

.\A=30o

应选A.

【点评】此题考察正弦、余弦定理的运用，解题的关攫是边角互化，属于中档寓

7.阅读如下图的程序框图，假设输出的S是126,则①处应填〔)

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*=1,S=O

»=w+l

A.n<5B.n<6C.n>7D.n<8

【考点】程序框图.

【专题】算法和程序柩图.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的枚次，可知：该程序的作用是

累加并输出变量S的值，要确定进展循环的条件，可模拟程序的运行，对每次指环中各变量的值

进展分析，不难得到题目要求的结果

【解答】解：第一次糖环，s=0+2，=2,n=l+l=2,进入下一次循环；

其次次循环，S=2+22=6,n=2+l=3,进入下一次循环；

第三次俯环，S=6+23=14,n=3+l=4,进入下一次循环；

第四次俯环，s=14+24=30,n=4+1=5,进入下一次循环;

第五次循环，s=30+2s=62,n=5+l=6,进入下一次循环；

第六次循环，s=62+26=126,n=6+l=7,循环完毕，即推断柩中的条件不成立了，所以框中的条件

应当是吟6,

应选：B.

【点评】此题主要考察了含循环构造的程序框图，正确写出每次循环得到的s,n的值是解题的关

3,属于根底题.

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8.△ABC中，角A、B、C所对应的边分别a、b、c,bcosC+ccosB=2b,则-=(]

2b

A.B-CV2D.1

【考点】正弦定理.

[专题]解三角形.

【分析】等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正

弦定理变形即可得到结果.

【解答】解：将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即sin〔B+C〕=2sinB,

Vsin〔B+C〕=sinA,

.".sinA=2sinB,

利用正弦定理化简得：a=2b,

则导=L

2b

应选：D.

【点评】此题考察了正弦定理，以及两角和与差的正覆函数公式，娴熟把握正位定理是解此题的

关傀，属于根底题.

9.f〔x〕是偶函数，它在[0,+8]上是减函数，假竣f〔lgx〕>f〔l〕，则实数x的取值范围

是〔〕

A.a,1)B.[0,A]U[1,+00)C.(A,10)D.〔0,1〕

101010

U[10,+00]

【考点】函数单调性的性质；限因数.

【专题1函数的性质及应用.

【分析】利用偶函数的性质，f〔l〕=f〔-1〕，在[0,+8]上是减函数，在〔-8,0〕上单调递

培，列出不等式，解出X的取值范BI.

【解笞】解：•••f〔x〕是偶函数，它在[0,+00]上是版函数，

."〔X〕在(-00,0]上单调递增,

由f(Igx)>f[1],f(1)=f(-1]

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得：-1<Igx<1,

<x<10,

10

故答案选C.

【点评】此题考察偶函数的性质及函数单调性的应用.

10.某宾馆安排A、B、C、D、E五人人住3个房间，每个房间至少任1人，且A、B不能任同

一房间，则不同的安排方法有〔［种.

A.24B.48C.96D.114

【考点】排列、组合的实际应用.

［专题1应用题；分类争箫；综合法；排列组合.

【分析】5个人住三个房间，每个房间至少任1人，则有［3,1,1〕和〔2,2,1〕两种，计算

出每一抻的，再排解A、B任同一房间，问题得以解决.

【解答】解：5个人住三个房间，每个房间至少任1人，则有［3,1,1〕和〔2,2,1〕两种，

当为［3,1,1〕时，有Cs3A3=60种，A、B任同一房间有y公3=18和，故有60-18=42抻，

C5C3

当为［2,2,1〕时，有3=90种，A、B任同一房间有C92A2=18抻，故有90-18=72

在23332

A2

依据分类计数原理共有42+72=114种，

应选：D.

【点评】此题考察了分组安排的问题，关筵是如何分组，属于中档题.

.___».—

II.#O是△ABC的外接号界心,OA+V30B+?^=0-则NAOC=

A—BC

33T

【考点】向量在几何中的应用.

【专题】计算题；转化思想；向量法；综合法；平面对量及应用.

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【分析】可设外接圆的半径为r,而由65+旧丽+2而=6便可得到61+2而二一V30B1两边平

方，进展数量积的运算便可求出cosNAOC的值，依据向量夹角的范围便可得出NAOC的值.

【解答】解：设圆O的半径为r,«：

由瓦+V5而+2而二1得，0A+20C=-V3OB；

；.(n74-9nr12=f-.f>nR)2.

・—*2-»2-►—*■—►2.

-0A+40C+40A-0C=30B；

即r2+4n+4r2cosZA0C=3n；

cosNAOC=--；

,2兀2

/AOC二

0

应选：B.

【点评】考察三角形外接圆的概念，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及其计算公式，向

量夹角的范围，三角函教值求角.

12.设国数f〔x〕是定义在〔-8,0)上的可导函数，其导函数为f〔X〕，且有3f[x)+xP

(x)>0,ffl

不等式〔x+2022〕3f〔x+2022〕+27f〔-3〕>0的解集〔〕

A.(-2022,-2022)B.(-00,-2022〕C.[-2022,-2022)

D.(-00,-2022]

【考点】利用导致争辨函数的单调性；导数的运算.

【专题1导数的综合应用.

【分析】依据条件，构造函数80〕=*3"*〕，利用函数的单调性和导数之间的关系即可推断出

该函数在〔-8,0〕上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，依据单调性得出自

变量值的关系从而解出不等式即可.

【解答】解：构造函数g〔X〕=X3f〔X〕,g，〔X〕=X2〔3f〔X〕+xf〔X〕〕；

：3f〔x〕+xf〔x〕>0,xa>0;

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•••g，〔x〕>0;

••.g〔x)在(-co,0)上单调递增;

g(x+2022〕=〔x+2022〕3f[x+2022〕，g〔-3〕=-27f〔-3〕；

.,.由不等式〔x+2022〕3f〔x+2022)+27f〔-3〕>0得:

(x+2022)3f〔x+2022)>-27f(-3);

•,-g〔x+2022〕>g〔-3〕；

.,.x+2022>-3,且x+2022<0;

-2022<x<-2022;

二原不等式的解集为〔-2022,-

2022).应选A.

【点评】此噩主要考察不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系推

断函数的单调性，然后依据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可.

二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，靖把答案写在题中横线上〕

13.(x-2+工)4开放式中的常数项为70.

X------------

【考点】二项式定理的应用.

【专题】二项式定理.

【分析】先求出二项式开放式的通项公式，再令X的系数等于0,求得r的值，即可求得开放式中

的常数项的值.

28

【解答】解：二项式〔x-2+1〕，可化为「三二”工)二。二)一,

XXX4

分子中含X4的项为C>4,掖常数项为境=70,

敬笞案为：70.

【点评】此题主要考察二项式定理的应用，二项式开放式的通顶公式，求开放式中某项的系数，

配方是关键，属于中档题.

14.J2〔3x2+k〕dx=16,则k=4.

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【考点】定积分.

【专题】计算题；函数思想；综合法；转化法；导数的概念及应用.

【分析】招J彳〔3x2+k〕dx利用定积分公式写出8+2k的形式即可求得

【解答】解；由J：[3x2+k〕dx=|j=8+2k

即8+2k=16,

；.k=4,

故答案为:4.

【点评】此题主要考察定积分的计算，属于根底题.

15.在△ABC中，ftA.B.’既对的边分刖为a,b,c,75[acosB+bcosA]=2csinC,

且4ABC的面电出《大值遮，如I；时△ABC的外眩为零』三角形.

【考点】正弦定理.

【专题1解三角形；不等式的解法及应用.

【分析】由A/JacosBfeosA)=2csinC及正版定理可得sinAcosB+sinBcosA〕=2sin?C,结合sinC

>0,化简可得要，由a+b=4,利用根本不等式可得ab*,〔当且仅当a=b=2成立〕，由

2

△ABC的面积的最大值^absinCs^xqx事个反，即可解得a=b=2,从而得解^ABC

△ABC222

外形为等腰三角形.

【解答】解：：\/~3〔acosB+bcosA〕

[sinAcosB+sinBcosA〕

..

♦・sinC----,

2

Va+b=4,可得：4>2Vab>解得：ab<4,〔当且仅当a=b=2成立〕

'•:•叁瞪耦豳I瘙，B多bsinCWaX4X华

a=b=2,

则此时AABC的外形力等腰三角

形.故答案为：等腹三角形.

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【点评】此题主要考察了正弦定理，三角形面积公式，根本不等式的应用，属于根本学问的考黑

-JT

16.设函数f(K)=3sin(-2X+4)的图象为C,有以下四个命题：

4

①图象C关于直线x=一年对称：

③函数f〔x〕在区间［3，警］上是用函数；

②图象C的一个对称,880)；

④图象C可由y=-3sin2x的图象左平吟得孙其中真命题的序号是

①.

【考点】正弦函数的对球性；正弦函数的单调性；函数y=Asin〔cox+cp〕的图象变换.

【专题］综合题；压轴IL

【分析】对于①，先依据诱导公式进展化简，将x=一等代人到函数f〔X〕中得到f〔-等〕

OO

的值为最小值，可推断直线x二-鸟是f(x)=3sin(-2X+4)的一条对称轴，从而正确;

84

对

据

于

依

④眄MV

-3可推断函覆在〔X〕在区间［=，等3］］，&U不是增函数，可知③不正确；T

进

而

知—OK

可I

,、一§9〕为函数f(x〕的一个最大值，—J

对于②，将今代人到函数，3八3一〕:I.Z

O8718

原则进展平移可知将)=-34唾的图象左平移方得到得图象不是函数7T3兀

不是f(X〉=3sin(।-2X+4)的对博中心，8②不正确；对于③，依据f〔二〕=0,f昔〕

488

fixj,故⑷小止螂.

-TTTT

【解答】解：:f(K)=3sin(—2x+—)=-3sin〔2x—丁〕

44

将x二一号■代入到函数f〔X〕中得到f〔-器〕=-3sin〔-H-4〕=-%n〔-空■〕=

88442

直线x=-毕是f(x)=3sin(-2x+?)的一条对称机故①正确；

84

将小代人到函数f〔x〕中得到f〔等〕=一3si片;〕=一等=3

88442

(耳，0)不是f(x)=3sin(-2x+?)的对称中心，放②不正确；

84

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•••f〔=〕=3sinO=O,f〔芍〕=3sin〔故函数f〔x〕在区间［3,苧］上不

884488

是增函教

故③不正确；

将y=-3sin2x的图象左平底得到y=-3sin2g〕=-3sin〔2x号〕邦〔x〕

故④不正确，

赦答案为：①.

【点评】此题主要考察正弦函数的根本性质--对称性、单调性的应用和三角函数的平移，三角

函数的平移的原则是左加右减，上加下或

三、解答题C17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤〕

兀、兀、

17.COS(rX--］=^—V2,x£［r―TV,—3―).

41024

(1)求sinx的值；

〔2〕求而⑵々〕的值.

【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值.

［专题］计算鼠

71

【分析】11)利用x的范围确定X-F的范围，进而利用同角三角函数的根本关系求得sin〔x-

兀兀】加

—］的值，进而依据sinx=sin［(X-—］气画用两角和公式求得答案

(2)利用x的范围和〔1〕中sinx的值，利用同角三角函数的根本关系求得cosx的值，进而依据

二倍角公式求得sin2x和cos2x的值,

最终代人正弦的两角和公式求得答案.

【解答】解：〔1〕由于xd〔工，竺〕，

24

mHx--e〔一一j,

442

sin［x-］==

siFinlR广］一行7a

1r-cos(x-T)TT

冗7T

~4T

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「-2L]冗r_ZL〕•

=sinIxicos-^~+cosIx-Jsin-^~

1021025

、人T「九3冗、

r〔2〕由于x£〔—■,—―1,

24

®cosx="V1-sin2x="J1-（-|）2二3

5

24

sin2x=2sinxco：,冗冗

所以sin〔2x-i-^-〕-inn2xcos-^~+cos2xsin—­

呼丽7/-1"女

5^,

【点评】此题主要考察了两角和公式的化简求值和同角三角函数根本关系的应用.考察了学生根

庇学问的把提和根本运算力量.

18.为了解今年某校高三毕业网预备报考飞行员学生的体重状况，将所得的数据整理后，画出了

颛率分布直方图〔如图〕，图中从左到右的前3个小组的颍率之比为1:2：3,其中第2小组的

频数为12.

(I〕求该校报考飞行员的总人数;

〔II〕以这所学校的样本数据来佰量全省的总体数据，假设从全省报考飞行员的同学中〔人数很多〕

任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.

量与方差；颍率分布直力图；离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；转化思想；综合法；祗率与统比

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【分析】〔1〕设图中从左到右的前3个小组的独率分别为x,2x,3x,由颛率分布直方图的性质

求出第2小组的独数为12,频率为2x=0.25,由此能求出孩校报考飞行员的总人数.

〔II〕体重超过60公斤的学生的颛率为0.625,X的可能取值为0,1,2,3,且X~B[3,0.625),

由此能求出X的分布列和数学期望.

【解答】解：〔I〕设图中从左到右的前3个小组的颍率分别为x,2x,3x,

则x+2x+3x+〔0.037+0.013]x5=l,

解得x=0.125,

•.•第2小组的频数为12,独率为2x=0.25,

，该校报考飞行员的总人数为：卷=48〔人〕.

U.2b

〔II〕体重超过60公斤的学生的解率为1-0.125x3=0.625,

/.X的可能取值为0,1,2,3,且X~B[3,0.625),

P〔X=o〕cg〔0.375〕3=0.052734375,

PEx=ij(0.625')，(0.徵隆，

P〔X=3〕曰(0.625)3=0.244140625,

AX的分布列为:

X0123

P0.0527343750.2636718750.4394531250.244140625

EX=3xO.625=1.875.

【点评】此题考察频率分布直方图的应用，考察陶敢型随机变量的分布列和数学期望的求法，是

中档题，解题时要认真审题，留意二项分布的性质的合理运用.

19.在梯形ABCD中，AB/7CD,CD=2,ZADC=120°,^CAD=-^y

〔I〕求AC的长；

(H]假设AB=4,求梯形ABCD的面积.

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DC

【考点】余弦定理；正弦定理.

［专题］解三角形.

AC_CD

【分析】〔I〕在△ACD中，由正弦定理解出即可;

sinZADC-sinZCAD

(II)在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2ADCDcosl20°,解得AD,过点D作

DEJLAB于E,则DE为梯形ABCD的高.在直角AADE中，可求DE=ADsin60。，即可由柳形面

积得解.

【解答】解：〔1〕在△ACD中,空V21

14,IT

AC_________CD

由正寇定理得:

sinZADC-sinZ^CAE

CDsinZADC

即

sinZCAD

14

[II）在口ACD中，由余强定理得：AC2=AD2+CD2-2ADCDcosl20°,

整理得AD2+2AD-24=0,解得AD=4.

过点D作DELAB于E,fflDE为梯形ABCD的高.

：AB〃CD,ZADC=120°,

ZBAD=60°.

在直角△ADE中，V3.

S梯院BCD—（卷+CD）'DE/6X2后小

即梯形ABCD的面积为6

E

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【点评】此髭考察了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数根本关系式、直角三角形的边角关

系、梯形的性质，考察了推理力量与计算力量，属于中档题.

20.△ABC中的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足GOSC=*，a=3,(b

J

-a］〔sinB+sinA〕=〔b-c〕sinC.

〔I〕求sinB的值;

〔II〕求^ABC的面机

【考点】余弦定理；正弦定理.

【专题】解三角1

【分析】〔I〕由正弦定理化简等式可得b2+c2-a=bc,由余弦定理得cosA,结合范U0<A

<兀，可求A的值，由c0sC=辛，可求sinC,由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可

求值.

〔II〕在AABC中，由正弦定理可求c,由三角形面积公式即可得解.

【解答】解：〔1〕由正弦定理可得〔15-2)露+2〕=〔1)-(：〕。----------------

b2-hc2-2_l

即b2+c2-a2=bc由余弦定理得8s后a

2bc~T

)10<A<7T,所以A=F"；

J

由于cosC=包，所以sinC=^-

〔3J1AABC中由IF苗宗------J

所以△ABC的而S=^acsinB=/x3><2后义3+f_次反+2

62,

【点评】此题主要考察了三角函数恒等变换的应用，考察了正弦定理，余弦定理，三角形面枳公

式的应用，属于根本学问的考察.

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21.设函数f〔x〕=x---minx

x

(1)假设函数f〔x〕在定义城上为增函数，求m范围；

〔2〕在〔1〕条件下，假段函数h〔x〕=x-ln3，mx,xW[l,e]使得f〔x〕2h〔x〕成

e12i2

m的范围.

【考点】利用导数争辨函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

[专题】导数的概念及应用；导致的综合应用.

2

【分析】〔l〕f〔x〕=l+匹=X转化为x2-mx+l>0,在x>0时恒成立，依

XXJ

对到函数求解即可.

12〕依揭导数推断单调性得出f〔X〕的最大值=£建〕=e-3-m,h〔X〕单调递增，h〔X〕的最

小值为h〔1〕=1-1,

e

把问题转化为f〔x〕的最大值油〔X〕的最小值，求解即可.

【解笞】解：函数f[x)=x二-mlnx

X

⑴定义城上为〔0,+8〕,

・・•函数f〔x〕在定义域上为增函数,

X2-mx+l>0,在x>0时恒成立.

即xJ^m在x>0时恒成立，

X

依据对钩函数得出mW2,

故m的范围为：m<2.

〔2〕函数h〔x〕=x-Inx,3x,xe[l,e]使得f〔x〕Nh〔x〕成,

e12i2

即f(x)的最大值Nh〔x〕的最小值，

〔x〕的最大值