2022年四川省绵阳市中考数学试卷（学生版+解析版）

2022年四川省绵阳市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题

目要求.

1.（3分）一V7的绝对值是（）

A.-V7B.V7C.D.—

77

2.（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）

/71

3.（3分）中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备

军.截至2021年12月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数

法表示为（）

A.0.73715X108B.7.3715X108

C.7.3715X107D.73.715X106

4.（3分）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）

A.是轴对称图形

B.对称轴的交点是其重心

C.是中心对称图形

D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合

5.（3分）某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：

时间，23456

人数13231

关于志愿者服务时间的描述正确的是（）

A.众数是6B.平均数是4C.中位数是3D.方差是1

6.（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大

同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，将“雪花”图案（边

长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若A3与x轴垂直，顶点A的坐

标为（2,-3）,则顶点C的坐标为（）

A.(2-2V3,3)B.(0,1+2V3)C.(2-V3,3)D.(2-2V3.2+V3)

7.(3分)正整数“、〃分别满足汉VzV悚、y[2<h<y[7,则/=()

A.4B.8C.9D.16

8.（3分）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管

理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中

随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在

同一岗位体验的概率为（）

1111

A•一B,—C•一D.一

46816

9.（3分）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，

中间是圆柱（单位：，7OT）.电镀时，如果每平方米用锌01千克，电镀1000个这样的锚

标浮筒，需要多少千克锌？（TT的值取3.14）（）

A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000

10.（3分）如图1,在菱形ABC。中，ZC=120°,M是AB的中点，N是对角线8。上一

动点，设ON长为x,线段与AN长度的和为y,图2是y关于x的函数图象，图象

右端点F的坐标为（2V3,3）,则图象最低点E的坐标为（）

D.（V3,2）

11.（3分）如图，二次函数y—ax^+bx+c的图象关于直线x=l对称，与x轴交于A（xi，0）,

B（X2，0）两点.若则下列四个结论：①3VX2<4；②34+2b>0；③户

>a+c+4ac；®a>c>b,正确结论的个数为（）

C.3个D.4个

12.（3分）如图,E、尸、G、”分别是矩形的边AB、BC、CD、AO上的点，AH=CF,AE

=CG,NEHF=60°,/GHF=45°,若AH=2,AD=5+V3,则四边形EFGH的周长

为（）

A.4(2+V6)B.4(V2+V3+1)C.8(V2+V3)D.4(V2+V6+2)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线

上.

13.（4分）因式分解：3f-12孙2=

xX+1

14.（4分）方程三的解是

15.（4分）两个三角形如图摆放，其中/BAC=90°Z££)F=100°,ZB=60°,ZF=

40°,DE与AC交于点M,若BC〃EF,则/OMC的大小为

16.（4分）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测

量船在4处测得海岛上观测点。位于北偏东15。方向上，观测点C位于北偏东45。方

向上.航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若

与AB平行，则C£>=海里（计算结果不取近似值）.

（2x+3>x+mi

17.（4分）已知关于x的不等式组2工+5.无解，则一的取值范围是.

---3<2-xm-------

18.（4分）如图，四边形A8CD中，ZADC=90°,AC±BC,ZABC=45a,AC与3。

交于点E,若CD=2,则△ABE的面积为

DC

'E

AD

三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（16分）（1）计算：2tan60°+|V3-2|+（^―）“一车；

20222

（2）先化简，得求值：（口一匚2）+鸟当其中尸1,>>=100.

xx-yx-y

20.（12分）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施

居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干

个家庭去年的月均用水量数据（单位：力，整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇

形统计图，部分信息如下：

月均用水量（f）2«3.53.5«55<x<6.56.5WxV88«9.5

频数76

对应的扇形区ABCDE

域

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格

收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？

并说明理由.

上频数

46%）

23.556.589.5月均用水量才

21.（12分）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价

格如下表：

水果品种梨子菠萝苹果车厘子

批发价格（元45640

网）

零售价格（元56850

kg）

请解答下列问题:

（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300依，当日全部售出，求这两种

水果获得的总利润？

（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发

现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88依，这

两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营

户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？

22.（12分）如图，一次函数〉=丘什6与反比例函数），=*在第一象限交于M（2,8）、N

两点，乂4垂直x轴于点4O为坐标原点，四边形Q4NM的面积为38.

（1）求反比例函数及一次函数的解析式；

（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小

时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值.

23.（12分）如图，AB为。。的直径，C为圆上的一点，。为劣弧品的中点，过点。作。。

的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点F,AD与BC交于点E.

（1）求证：BC//PF,

（2）若的半径为右，DE=\,求4E的长度；

（3）在（2）的条件下，求△OCP的面积.

p

AVO

24.(12分)如图，抛物线丫=/+公+。交x轴于A(-1,0),B两点，交y轴于点C(0,

3),顶点。的横坐标为1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使NAPB+NACB=180°,若存在，求出点P的坐

标，若不存在，请说明理由；

(3)过点C作直线/与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在

直线/下方的抛物线上是否存在一点M,过点M作MrJJ,垂足为F,使以M,F,E三

点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出M点的坐标,若不存在,请说明理由.

25.(14分)如图，平行四边形ABC。中，DB=2®AB=4,AD=2,动点E、尸同时从A

点出发，点E沿着A-O-B的路线匀速运动，点F沿着AfBfO的路线匀速运动，当

点E,尸相遇时停止运动.

(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒，点尸的速度为4个单位每秒，当运动时间

为1秒时，设CE与DF交于点P,求线段EP与CP长度的比值；

(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒，点尸的速度为百个单位每秒，运动时间为

x秒，△AEF的面积为g求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，

最大值为多少？

1

⑶如图3,，在线段AB上且4"=扣8,M为。尸的中点，当点E、尸分别在线段A。、

AB上运动时，探究点E、尸在什么位置能使并说明理由.

2022年四川省绵阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题

目要求.

1.（3分）一夕的绝对值是（）

A.-V7B.V7C.-《D.—

77

【解答】解：-夜的绝对值是6，

故选：B.

2.（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）

【解答】解：从上向下看，可得如下图形:

\

1

1

故选：D.

3.（3分）中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备

军.截至2021年12月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数

法表示为（）

A.0.73715X108B.7.3715X108

C.7.3715X107D.73.715X106

【解答】解:7371.5万=7371.5X104=7.3715X1（）7；

故选：C.

4.(3分)下列关于等边三角形的描述不正确的是()

A.是轴对称图形

B.对称轴的交点是其重心

C.是中心对称图形

D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合

【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴,

故A选项不符合题意；

三条高线的交点为等边三角形的重心，

，对称轴的交点是其重心，

故8选项不符合题意；

等边三角形不是中心对称图形，

故C选项符合题意；

等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，

故。选项不符合题意，

故选：C.

5.(3分)某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示:

时间//?23456

人数13231

关于志愿者服务时间的描述正确的是()

A.众数是6B.平均数是4C.中位数是3D.方差是1

【解答】解：这组数据出现次数最多的是3和5,分别出现3次，所以众数是3和5,因

此选项A不符合题意；

这组数据的平均数为2X1+3X3+4X2+5X3+6X1=%因此选项台正确，符合题意；

10

4+4

将这10个数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为-y-=4,因此选项C

不符合题意；

这组数据的方差为(2-4)2+(3-4)2x3+(4-4)2x2+(5-4)2X3+(6-4)

2]=1.4,因此选项。不符合题意；

故选：B.

6.（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大

同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，将“雪花”图案（边

长为4的正六边形A8CZ5EF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐

标为（2,-3）,则顶点C的坐标为（）

A.(2-2V3,3)B.(0,1+2V3)C.(2-V3,3)D.(2-2V3.2+V3)

【解答】解：如图，连接8。交CF于点”，则点8(2,I),

1

在中，3c=4,ZBCM=^x120°=60°,

CM=5C=2,BM=字8C=2百，

点C的横坐标为-(2V3-2)=2-2g,纵坐标为1+2=3,

二点C的坐标为(2-2V3,3),

7.（3分）正整数“、〃分别满足画《〈悚、y［2<h<y/7,贝U6=（）

A.4B.8C.9D.16

［解答］解：V2<V4<V7,

••々=4,Z?=2.

/.24=16.

故选：D.

8.（3分）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管

理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中

随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在

同一岗位体验的概率为（）

1111

A.一B.—C.一D.—

46816

【解答】解：根据题意画树状图如图所示，

开始

甲

乙

环

茎

痞S

安

环

安

安

毛

书

保

全

舍

全

保

些

全

管

一B

理

一R

由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况

共有4种，

41

，这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为二=

164

故选：A.

9.（3分）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，

中间是圆柱（单位：制”）.电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚

标浮筒，需要多少千克锌？（TT的值取3.14）（）

A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000

【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为03”，

圆锥的高为0.4/n,

则圆锥的母线长为：V0.32+0.42=0.5/n.

，圆锥的侧面积SI=TTX0.3X0.5=0.15TT（m2）,

•••圆柱的高为1m.

圆柱的侧面积S2=如X0.3X1=0.611(届)，

...浮筒的表面积=2SI+S2=0.9TT(w2),

•.•每平方米用锌0.1依，

,一个浮筒需用锌：0.9nX0」kg,

二1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000X0.9TT><0.1=90IT2282.6(kg).

故选：A.

10.(3分)如图1,在菱形ABC。中，ZC=120°,M是A3的中点，N是对角线上一

动点，设。N长为x,线段MN与AN长度的和为y,图2是y关于x的函数图象，图象

右端点尸的坐标为(2V3,3),则图象最低点E的坐标为()

D.（V3,2）

【解答】解：如图，连接AC,NC,

图1

:四边形A8C。是菱形，ZBCD=\20°,

：.AB=BC,AC垂直平分BD,NABC=60°,/ABO=NQBC=30°,

：.AN=CN,△ABC是等边三角形，

：.AN+MN=CN+MN,

二当点N在线段CM上时，AN+MN有最小值为CM的长,

,点尸的坐标为（2V3,3）,

：.DB=2y[3,AB+BM=3,

•.•点M是AB的中点，

：.AM=BM,CMLAB,

：.2BM+BM=3,

；tanNA8C=tan60°=需=6,

:.CM=V3,

VcosZABD=cos300=器=字,

:屈=缉

；.£W=竽,

4>/3「

...点E的坐标为:(―,V3),

故选：C.

11.（3分）如图，二次函数y=ar2+hx+c的图象关于直线x=l对称，与无轴交于A（xi,0）,

B（X2，0）两点.若则下列四个结论：①3<X2<4；②3a+2b>0；③房

>a+c+4ac；®a>c>b,正确结论的个数为（）

2个C.3个D.4个

【解答】解:•・•对称轴为直线x=L-2<XI<-1,

/.3<%2<4,①正确,

..b

•一而二1，

•・~2。,

・・.3。+2b=3。-4。=-a,

Va>0,

・・.3〃+2bV0,②错误；

・・•抛物线与x轴有两个交点，

2

/.b-4ac>0f

由题意可知x=-1时，y<0,

•\a-HeVO,

a+c(b,

Va>0,

:.b=-2。<0,

a+eVO，

Atr-4ac>a+cf

/.b2>a+c+4ac,③正确；

・・,抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，

/•a>0,c<0,

•\a>c,

a-b+c〈O,b=~2m

.*.3tz+c<0,

/.c<-3a,

•*•/?=-2a9

:.b>c,

所以④错误；

故选：B.

12.(3分)如图，E、F、G、〃分别是矩形的边AB、BC、CD、A£>上的点，AH=CF,AE

=CG,NEHF=60°,NGHF=45°,若AH=2,AD=5+y/3,则四边形EfGH的周长

为()

A.4(2+V6)B.4(V2+V3+1)C.8(V2+V3)D.4(V2+V6+2)

【解答】解：如图1,

RtZSPMN中，ZP=15°,NQ=PQ,NMQN=30°,

设MN=1,则尸Q=NQ=2,MQ=V3,PN=46+^2,

作EK1FH于K,作NARH=NBFT=15°,分别交直线4B于R和T,

•••四边形ABC。是矩形，

N4=NC,

在△AEH与aCGF中，

AE=CG

Z.A=zC,

AH=CF

:•△AEgXCGF(SAS),

:,EH=GF,

同理证得则EF=G〃，

・•・四边形EFGH是平行四边形，

设HK=a,则£〃=2mEK=Wa,

EF=^2EK=瓜a,

VZEAH=ZEBF=90°,

:・/R=/T=75°,

:・/R=/T=/HEF=75°,

DpQiFS

可得：FT=-=遇，4R=A”・tanl5°=4-28，△FTEsgRH,

COS15、/6+J2

.FTEF

••,

EREH

276V6

•.=,

ER2

:・ER=4,

：.AE=ER-AR=2y/3f

・./人ru-2_再

••tan^_AEH=—产=

2733

・・・NAEH=30°,

：.HG=2AH=4f,

VZBEF=180°-ZAEHZHEF=15°,

：.ZBEF=ZTf

:.EF=FT=2巡,

・・・E”+E~=4+2乃=2(2+V6),

A2CEH+EF)=4(2+V6),

，四边形EFG”的周长为：4(2+V6),

故答案为：A.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线

上.

13.(4分)因式分解：3/-12^\?=3x(x+2y)(x-2y).

【解答】解：原式=3x(？-4y2)

=3x(x+2y)(x-2y).

故答案为：3x(x+2y)(x-2y).

x%+1

14.(4分)方程一-=---的解是x=-3.

x-3x-1--------

XV4-1

【解答】解：—;二―

X—3X—1

方程两边同乘(X-3)(X-1),得

x(x-1)=(x+1)(x-3),

解得x=-3,

检验：当x=-3时，(x-3)(x-1)#0,

・,•方程的解为工=-3.

故答案为：x=-3.

15.（4分）两个三角形如图摆放，其中/8AC=90°,ZEDF=100°,ZB=60°,NF=

40°,£>E与AC交于点M,若BC〃EF,则NQMC的大小为110°

【解答】解：延长E3交CB的延长线于点G,

VZBAC=90°,NABC=60°,

/C=90°-ZABC=30°,

VZ£DF=100°,ZF=40°,

.".ZE=180°-NF-NEDF=40°,

,JEF//BC,

；./£■=/G=40°,

AZDMC=180°-ZC-ZG=U0°,

故答案为：110°.

16.（4分）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测

量船在A处测得海岛上观测点。位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45。方

向上.航行半个小时到达3点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45。方向上，若

CD与AB平行，则CD=（5V3-5）—海里（计算结果不取近似值）.

【解答】解：如图：过点。作垂足为E,

由题意得:

1

AB=20x*=10（海里），ZM£>=15°,ZMC=45°,ZMB=90°,ZCBA=90°

45°=45°，

：.ZDAC=ZFAC-ZMD=30°，

ZCAB=ZFAB-ZMC=45°,

・・・NAC8=180°-ZCAB-ZCBA=90°,

在RdACB中，AC=AB-sin45°=10x与=5&（海里）,

设DE=x海里,

在Rt&OE中,4上焉=岩=^（海里），

T

'JDC//AB,

・・・NOCA=NC48=45°,

在Rt/XDEC中，CE=法黑手=无（海里），

8=熹=*=缶（海里），

T

9：AE+EC=AC,

/.V3x+x=5V2,

：.DC=y[2x=（5V3-5）海里,

故答案为：（5百-5）.

2%+3>%4-mi11

{2%+5一无解，则一的取值范围是0工［

【解答】解：解不等式2x+32x+/»,得：x^m-3,

解不等式^^—3<2-x,得：x<2,

•.•不等式组的无解,

"-322,

A0<^-r

故答案为：Ov'w/.

18.（4分）如图，四边形ABCZ）中，ZADC=90°,AC±BC,/ABC=45°,AC与3。

交于点E,若A8=2同，8=2,则△ABE的面积为一

7

【解答】解：过点。作。F_LAC于点F,

：AC±BC,NABC=45°,

\AC=BC=芋AB=2瓜

：ZADC=90°,C£>=2,

\AD=>JAC2-CD2=4,

11

：S^ACD=^AC-DF=^AD-CD,

,.DF=1V5,

__o

\AF=y/AD2-DF2=|V5,

,.CF=1V5,

JDF//BC,

•△DEFs丛BEC,

EFDFEF

*=靛’即=戏

；.AE=半花，

：.ShABE=^AE-BC=1x竽遍x26=孚

60

故答案为：

三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（16分）（1）计算：2tan60°+|V3-2|+（--]--）“一T半?；

20222

（2）先化简，得求值：（二一匚2）+汽，其中x=l,y=100.

xx-yx-y

【解答】解：（1）原式=2x^+2—8+2022—孥

=2V3+2-V3+2022-V3

=2024；

(x_y)(x_y)久(A3y)].x+y

(2)原式=[•

x(x-y)x(x-y)x~y

x2—2xy+y2-x2+3xyx-y

=------------------x—：—

x(x-y)x+y

xy+y2

x(x-y)x+y

=y(x+y)xx-y

-x(x—y)x+y

y

x

当％=1,y=100时.

原式=100.

20.（12分）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施

居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干

个家庭去年的月均用水量数据（单位：f）,整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇

形统计图，部分信息如下：

月均用水量（力2«3.53.5«55这x<6.56.5Wx<88«9.5

频数76

对应的扇形区4BCDE

域

根据以上信息，解答下列问题:

（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数;

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格

收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？

并说明理由.

8的频数为：50X46%=23,

C的频数为：50X24%=12,

频数分布直方图如下：

7

扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为：360°x品=14.4°；

（2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：

因为月平均用水量不超过5吨的有7+23=30（户），304-50=60%.

21.（12分）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价

格如下表：

水果品种梨子菠萝苹果车厘子

批发价格（元45640

/依）

零售价格(元568

kg)

请解答下列问题：

(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300口，当日全部售出，求这两种

水果获得的总利润？

(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发

现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88打，这

两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营

户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？

【解答】解：(1)设第一天，该经营户批发了菠萝Mg,苹果)伙，

pc+y=300

依题意得:

[5x+6y=1700,

(6-5)x+(8-6)y=(6-5)X100+(8-6)X200=500(元).

答：这两种水果获得的总利润为500元.

1700-5m

(2)设购进机总菠萝，则购进---------依苹果，

6

m>88

依题意得:

(6-5)m+(8-6)xJ>500'

解得：88<m<100.

二.可以为88,94,

•••该经营户第二天共有2种批发水果的方案，

方案1：购进88版菠萝，210奴苹果；

方案2：购进94版菠萝，205&g苹果.

22.(12分)如图，一次函数、=日什6与反比例函数)，=*在第一象限交于M(2,8)、N

两点，垂直x轴于点A,O为坐标原点，四边形OAMW的面积为38.

(1)求反比例函数及一次函数的解析式；

(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小

时点P的位置(不需证明)，并求出点P的坐标和面积的最小值.

【解答】解：（1）•••反比例函数产乌过点M（2,8）,

"2=2X8=16,

...反比例函数的解析式为产当

16

设N（如——）,

m

VM（2,8）,

1

••S&OMB=x2x8—8,

・・•四边形OANM的面积为38,

・・・四边形ABMN的面积为30,

116

・・・一（8+/）・（m-2）=30,

2m

1

解得加1=8,m2=-2（舍去），

:.N（8,2）,

•・,一次函数y=%ix+6的图象经过点M、N,

•嘴m解得件

，一次函数的解析式为丫=-x+10；

（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点P时，4PMN

的面积最小，

设与直线政V平行的直线的关系式为、=-x+n,当与），=?在第三象限有唯一公共点时，

有方程-万+"=茎（x<0）唯一解，

即?-加+16=0有两个相等的实数根,

An2-4X1X16=0,

解得〃=-8或x=8(舍去)，

...与直线MN平行的直线的关系式为y=-x-8,

方程-8=9的解为x=-4,

经检验，x=-4是原方程的解，

当x=-4时，y=-4,

.•.点p(-4,-4),

如图，过点尸作AN的垂线，交NA的延长线于点Q,交y轴于点。，延长M8交PQ于

点C,由题意得，

PO=4,。。=8,C£>=2,MC=8+4=12,NQ=2+4=6,

/•S^PMN=SA.MPC+S榜彩MCQN-S&PNQ

111

=1x6X12+1(12+6)X6-1xl2X6

=36+54-36

=54,

答：点P(-4,-4),△PMN面积的最小值为54.

23.(12分)如图，AB为。。的直径，C为圆上的一点，。为劣弧曲的中点，过点。作

的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点EA。与BC交于点E.

(1)求证：BC//PF；

(2)若的半径为遥，DE=\,求4E的长度；

(3)在(2)的条件下，求△£>(?「的面积.

p

A

【解答】(1)证明：连接。。，如图,

•・•。为劣弧曲的中点，

：.CD=BD,

：.ODLBC.

・・・尸尸是。。的切线，

:.OD1.PF,

：.BC//PF；

(2)连接。£>,BD,如图,

D

设AE=x,则A£)=l+x.

为劣弧况的中点，

:.cb=BD,

：.CD=BD,NDCB=NCAD.

,：ZCDE=ZADC,

：.^\CDE^/\ADC,

.CDAD

'''DE-'CD'

：.CD1^DE-AD^\'X.(1+x)=l+x.

：.BD2^1+X.

；AB为OO的直径，

：.ZADB=90°,

：.AD2+BD2^AB2.

；。0的半径为近，

：.AB=2y/5.

；.(l+x)2+(l+x)=(2通产，

解得：x=3或x=-6(不合题意，舍去),

；.AE=3.

(3)连接0£>,BD,设。。与BC交于点“，如图,

p

由（2）知：AE=3,AD=AE+DE=4,DB=yfl+3=2,

VZADB=9O0,

•AD42V5

..cosZDAB=^=^==-r.

\'OA=OD,

：.ZDAB=ZADOf

o/F

cosAADO=cosZDAB=

VOW1BC,

nLi

:・BH=CH,cosNAZ）O=备，

：.DH=DEx^-=^-.

：.OH=OD-DH=遥-等=等

：.BH=y/OB2-OH2=警，

：.CH=BH=^-.

'：AB为。。的直径，

/.ZACB=90°,

由（1）知：OO_LP。，OHVBC,

四边形SOP为矩形，

AZP=90°,CP=DH=净,。尸=CH=等，

14

/.ADCP的面积=IxCP，DP=去

24.（12分）如图，抛物线y=o^+6x+c交x轴于A（-1,0）,B两点，交y轴于点C（0,

3),顶点。的横坐标为1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使/4PB+/ACB=180°,若存在，求出点P的坐

标，若不存在，请说明理由；

(3)过点C作直线/与)，轴垂直，与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在

直线/下方的抛物线上是否存在一点过点"作垂足为F,使以M,F,E三

点为顶点的三角形与AAOE相似？若存在，请求出M点的坐标,若不存在,请说明理由.

【解答】解：(1)•••顶点。的横坐标为1,

.♦.抛物线的对称轴为直线x=l,

VA(-1,0),

：.B(3,0),

二设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3),

将C(0,3)代入抛物线的解析式，

贝-3a=3,

解得a=-\,

.•.抛物线的解析式为：y=-(x+1)(x-3)=-f+2x+3.

(2)存在，P(0,-1),理由如下:

VZAPB+ZACB=\SOa,

.".ZCAP+ZCBP=\SO°,

...点A,C,B,P四点共圆，如图所示，

由(1)知，0B=0C=3,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

AZAPC=ZABC=45°,

△AOP是等腰直角三角形，

：.OP=OA=\,

：.P(0,-1).

(3)存在，理由如下：

由(1)知抛物线的解析式为：y=-，+2x+3,

：.D(1,4),

由抛物线的对称性可知，E(2,3),

VA(-1,0),

：.AD=2>/5,DE=V2,AE=3&.

：.AD1=DE1+AE2,

...△