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文档简介
2022年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每个小题只有一个选项符合题
目要求.
1.(3分)一V7的绝对值是()
A.-V7B.V7C.D.—
77
2.(3分)如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成,它的俯视图为()
/71
3.(3分)中国共产主义青年团是中国青年的先锋队,是中国共产党的忠实助手和可靠后备
军.截至2021年12月31日,全国共有共青团员7371.5万名,将7371.5万用科学记数
法表示为()
A.0.73715X108B.7.3715X108
C.7.3715X107D.73.715X106
4.(3分)下列关于等边三角形的描述不正确的是()
A.是轴对称图形
B.对称轴的交点是其重心
C.是中心对称图形
D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
5.(3分)某中学青年志愿者协会的10名志愿者,一周的社区志愿服务时间如表所示:
时间,23456
人数13231
关于志愿者服务时间的描述正确的是()
A.众数是6B.平均数是4C.中位数是3D.方差是1
6.(3分)在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大
同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边
长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中,若A3与x轴垂直,顶点A的坐
标为(2,-3),则顶点C的坐标为()
A.(2-2V3,3)B.(0,1+2V3)C.(2-V3,3)D.(2-2V3.2+V3)
7.(3分)正整数“、〃分别满足汉VzV悚、y[2<h<y[7,则/=()
A.4B.8C.9D.16
8.(3分)某校开展岗位体验劳动教育活动,设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管
理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位,每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中
随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动,则这两名同学恰好在
同一岗位体验的概率为()
1111
A•一B,—C•一D.一
46816
9.(3分)如图,锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,
中间是圆柱(单位:,7OT).电镀时,如果每平方米用锌01千克,电镀1000个这样的锚
标浮筒,需要多少千克锌?(TT的值取3.14)()
A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000
10.(3分)如图1,在菱形ABC。中,ZC=120°,M是AB的中点,N是对角线8。上一
动点,设ON长为x,线段与AN长度的和为y,图2是y关于x的函数图象,图象
右端点F的坐标为(2V3,3),则图象最低点E的坐标为()
D.(V3,2)
11.(3分)如图,二次函数y—ax^+bx+c的图象关于直线x=l对称,与x轴交于A(xi,0),
B(X2,0)两点.若则下列四个结论:①3VX2<4;②34+2b>0;③户
>a+c+4ac;®a>c>b,正确结论的个数为()
C.3个D.4个
12.(3分)如图,E、尸、G、”分别是矩形的边AB、BC、CD、AO上的点,AH=CF,AE
=CG,NEHF=60°,/GHF=45°,若AH=2,AD=5+V3,则四边形EFGH的周长
为()
A.4(2+V6)B.4(V2+V3+1)C.8(V2+V3)D.4(V2+V6+2)
二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卡相应的横线
上.
13.(4分)因式分解:3f-12孙2=
xX+1
14.(4分)方程三的解是
15.(4分)两个三角形如图摆放,其中/BAC=90°Z££)F=100°,ZB=60°,ZF=
40°,DE与AC交于点M,若BC〃EF,则/OMC的大小为
16.(4分)如图,测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量,测
量船在4处测得海岛上观测点。位于北偏东15。方向上,观测点C位于北偏东45。方
向上.航行半个小时到达B点,这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上,若
与AB平行,则C£>=海里(计算结果不取近似值).
(2x+3>x+mi
17.(4分)已知关于x的不等式组2工+5.无解,则一的取值范围是.
---3<2-xm-------
18.(4分)如图,四边形A8CD中,ZADC=90°,AC±BC,ZABC=45a,AC与3。
交于点E,若CD=2,则△ABE的面积为
DC
'E
AD
三、解答题:本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(16分)(1)计算:2tan60°+|V3-2|+(^―)“一车;
20222
(2)先化简,得求值:(口一匚2)+鸟当其中尸1,>>=100.
xx-yx-y
20.(12分)目前,全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施
居民用水定额管理前,通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查,获得了若干
个家庭去年的月均用水量数据(单位:力,整理出了频数分布表,频数分布直方图和扇
形统计图,部分信息如下:
月均用水量(f)2«3.53.5«55<x<6.56.5WxV88«9.5
频数76
对应的扇形区ABCDE
域
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图,并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数;
(2)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格
收费,若要使该市60%的家庭水费支出不受影响,你觉得家庭月均用水量应该定为多少?
并说明理由.
上频数
46%)
23.556.589.5月均用水量才
21.(12分)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价
格如下表:
水果品种梨子菠萝苹果车厘子
批发价格(元45640
网)
零售价格(元56850
kg)
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300依,当日全部售出,求这两种
水果获得的总利润?
(2)第二天,该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果,当日销售结束清点盘存时发
现进货单丢失,只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88依,这
两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润,请通过计算说明该经营
户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些?
22.(12分)如图,一次函数〉=丘什6与反比例函数),=*在第一象限交于M(2,8)、N
两点,乂4垂直x轴于点4O为坐标原点,四边形Q4NM的面积为38.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式;
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点,请简要描述使△PMN的面积最小
时点P的位置(不需证明),并求出点P的坐标和面积的最小值.
23.(12分)如图,AB为。。的直径,C为圆上的一点,。为劣弧品的中点,过点。作。。
的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点F,AD与BC交于点E.
(1)求证:BC//PF,
(2)若的半径为右,DE=\,求4E的长度;
(3)在(2)的条件下,求△OCP的面积.
p
AVO
24.(12分)如图,抛物线丫=/+公+。交x轴于A(-1,0),B两点,交y轴于点C(0,
3),顶点。的横坐标为1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使NAPB+NACB=180°,若存在,求出点P的坐
标,若不存在,请说明理由;
(3)过点C作直线/与y轴垂直,与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在
直线/下方的抛物线上是否存在一点M,过点M作MrJJ,垂足为F,使以M,F,E三
点为顶点的三角形与相似?若存在,请求出M点的坐标,若不存在,请说明理由.
25.(14分)如图,平行四边形ABC。中,DB=2®AB=4,AD=2,动点E、尸同时从A
点出发,点E沿着A-O-B的路线匀速运动,点F沿着AfBfO的路线匀速运动,当
点E,尸相遇时停止运动.
(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒,点尸的速度为4个单位每秒,当运动时间
为1秒时,设CE与DF交于点P,求线段EP与CP长度的比值;
(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒,点尸的速度为百个单位每秒,运动时间为
x秒,△AEF的面积为g求y关于x的函数解析式,并指出当x为何值时,y的值最大,
最大值为多少?
1
⑶如图3,,在线段AB上且4"=扣8,M为。尸的中点,当点E、尸分别在线段A。、
AB上运动时,探究点E、尸在什么位置能使并说明理由.
2022年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每个小题只有一个选项符合题
目要求.
1.(3分)一夕的绝对值是()
A.-V7B.V7C.-《D.—
77
【解答】解:-夜的绝对值是6,
故选:B.
2.(3分)如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成,它的俯视图为()
【解答】解:从上向下看,可得如下图形:
\
1
1
故选:D.
3.(3分)中国共产主义青年团是中国青年的先锋队,是中国共产党的忠实助手和可靠后备
军.截至2021年12月31日,全国共有共青团员7371.5万名,将7371.5万用科学记数
法表示为()
A.0.73715X108B.7.3715X108
C.7.3715X107D.73.715X106
【解答】解:7371.5万=7371.5X104=7.3715X1()7;
故选:C.
4.(3分)下列关于等边三角形的描述不正确的是()
A.是轴对称图形
B.对称轴的交点是其重心
C.是中心对称图形
D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
【解答】解:等边三角形是轴对称图形,每条边的高线所在的直线是其对称轴,
故A选项不符合题意;
三条高线的交点为等边三角形的重心,
,对称轴的交点是其重心,
故8选项不符合题意;
等边三角形不是中心对称图形,
故C选项符合题意;
等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合,
故。选项不符合题意,
故选:C.
5.(3分)某中学青年志愿者协会的10名志愿者,一周的社区志愿服务时间如表所示:
时间//?23456
人数13231
关于志愿者服务时间的描述正确的是()
A.众数是6B.平均数是4C.中位数是3D.方差是1
【解答】解:这组数据出现次数最多的是3和5,分别出现3次,所以众数是3和5,因
此选项A不符合题意;
这组数据的平均数为2X1+3X3+4X2+5X3+6X1=%因此选项台正确,符合题意;
10
4+4
将这10个数据从小到大排列,处在中间位置的两个数的平均数为-y-=4,因此选项C
不符合题意;
这组数据的方差为(2-4)2+(3-4)2x3+(4-4)2x2+(5-4)2X3+(6-4)
2]=1.4,因此选项。不符合题意;
故选:B.
6.(3分)在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大
同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边
长为4的正六边形A8CZ5EF)放在平面直角坐标系中,若AB与x轴垂直,顶点A的坐
标为(2,-3),则顶点C的坐标为()
A.(2-2V3,3)B.(0,1+2V3)C.(2-V3,3)D.(2-2V3.2+V3)
【解答】解:如图,连接8。交CF于点”,则点8(2,I),
1
在中,3c=4,ZBCM=^x120°=60°,
CM=5C=2,BM=字8C=2百,
点C的横坐标为-(2V3-2)=2-2g,纵坐标为1+2=3,
二点C的坐标为(2-2V3,3),
7.(3分)正整数“、〃分别满足画《〈悚、y[2<h<y/7,贝U6=()
A.4B.8C.9D.16
[解答]解:V2<V4<V7,
••々=4,Z?=2.
/.24=16.
故选:D.
8.(3分)某校开展岗位体验劳动教育活动,设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管
理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位,每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中
随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动,则这两名同学恰好在
同一岗位体验的概率为()
1111
A.一B.—C.一D.—
46816
【解答】解:根据题意画树状图如图所示,
开始
甲
乙
环
茎
痞S
安
环
安
安
毛
书
保
全
舍
全
保
些
全
管
一B
理
一R
由树状图可知,共有16种等可能的情况,其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况
共有4种,
41
,这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为二=
164
故选:A.
9.(3分)如图,锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,
中间是圆柱(单位:制”).电镀时,如果每平方米用锌0.1千克,电镀1000个这样的锚
标浮筒,需要多少千克锌?(TT的值取3.14)()
A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000
【解答】解:由图形可知圆锥的底面圆的半径为03”,
圆锥的高为0.4/n,
则圆锥的母线长为:V0.32+0.42=0.5/n.
,圆锥的侧面积SI=TTX0.3X0.5=0.15TT(m2),
•••圆柱的高为1m.
圆柱的侧面积S2=如X0.3X1=0.611(届),
...浮筒的表面积=2SI+S2=0.9TT(w2),
•.•每平方米用锌0.1依,
,一个浮筒需用锌:0.9nX0」kg,
二1000个这样的锚标浮筒需用锌:1000X0.9TT><0.1=90IT2282.6(kg).
故选:A.
10.(3分)如图1,在菱形ABC。中,ZC=120°,M是A3的中点,N是对角线上一
动点,设。N长为x,线段MN与AN长度的和为y,图2是y关于x的函数图象,图象
右端点尸的坐标为(2V3,3),则图象最低点E的坐标为()
D.(V3,2)
【解答】解:如图,连接AC,NC,
图1
:四边形A8C。是菱形,ZBCD=\20°,
:.AB=BC,AC垂直平分BD,NABC=60°,/ABO=NQBC=30°,
:.AN=CN,△ABC是等边三角形,
:.AN+MN=CN+MN,
二当点N在线段CM上时,AN+MN有最小值为CM的长,
,点尸的坐标为(2V3,3),
:.DB=2y[3,AB+BM=3,
•.•点M是AB的中点,
:.AM=BM,CMLAB,
:.2BM+BM=3,
;tanNA8C=tan60°=需=6,
:.CM=V3,
VcosZABD=cos300=器=字,
:屈=缉
;.£W=竽,
4>/3「
...点E的坐标为:(―,V3),
故选:C.
11.(3分)如图,二次函数y=ar2+hx+c的图象关于直线x=l对称,与无轴交于A(xi,0),
B(X2,0)两点.若则下列四个结论:①3<X2<4;②3a+2b>0;③房
>a+c+4ac;®a>c>b,正确结论的个数为()
2个C.3个D.4个
【解答】解:•・•对称轴为直线x=L-2<XI<-1,
/.3<%2<4,①正确,
..b
•一而二1,
•・~2。,
・・.3。+2b=3。-4。=-a,
Va>0,
・・.3〃+2bV0,②错误;
・・•抛物线与x轴有两个交点,
2
/.b-4ac>0f
由题意可知x=-1时,y<0,
•\a-HeVO,
a+c(b,
Va>0,
:.b=-2。<0,
a+eVO,
Atr-4ac>a+cf
/.b2>a+c+4ac,③正确;
・・,抛物线开口向上,与y轴的交点在x轴下方,
/•a>0,c<0,
•\a>c,
a-b+c〈O,b=~2m
.*.3tz+c<0,
/.c<-3a,
•*•/?=-2a9
:.b>c,
所以④错误;
故选:B.
12.(3分)如图,E、F、G、〃分别是矩形的边AB、BC、CD、A£>上的点,AH=CF,AE
=CG,NEHF=60°,NGHF=45°,若AH=2,AD=5+y/3,则四边形EfGH的周长
为()
A.4(2+V6)B.4(V2+V3+1)C.8(V2+V3)D.4(V2+V6+2)
【解答】解:如图1,
RtZSPMN中,ZP=15°,NQ=PQ,NMQN=30°,
设MN=1,则尸Q=NQ=2,MQ=V3,PN=46+^2,
作EK1FH于K,作NARH=NBFT=15°,分别交直线4B于R和T,
•••四边形ABC。是矩形,
N4=NC,
在△AEH与aCGF中,
AE=CG
Z.A=zC,
AH=CF
:•△AEgXCGF(SAS),
:,EH=GF,
同理证得则EF=G〃,
・•・四边形EFGH是平行四边形,
设HK=a,则£〃=2mEK=Wa,
EF=^2EK=瓜a,
VZEAH=ZEBF=90°,
:・/R=/T=75°,
:・/R=/T=/HEF=75°,
DpQiFS
可得:FT=-=遇,4R=A”・tanl5°=4-28,△FTEsgRH,
COS15、/6+J2
.FTEF
••,
EREH
276V6
•.=,
ER2
:・ER=4,
:.AE=ER-AR=2y/3f
・./人ru-2_再
••tan^_AEH=—产=
2733
・・・NAEH=30°,
:.HG=2AH=4f,
VZBEF=180°-ZAEHZHEF=15°,
:.ZBEF=ZTf
:.EF=FT=2巡,
・・・E”+E~=4+2乃=2(2+V6),
A2CEH+EF)=4(2+V6),
,四边形EFG”的周长为:4(2+V6),
故答案为:A.
二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卡相应的横线
上.
13.(4分)因式分解:3/-12^\?=3x(x+2y)(x-2y).
【解答】解:原式=3x(?-4y2)
=3x(x+2y)(x-2y).
故答案为:3x(x+2y)(x-2y).
x%+1
14.(4分)方程一-=---的解是x=-3.
x-3x-1--------
XV4-1
【解答】解:—;二―
X—3X—1
方程两边同乘(X-3)(X-1),得
x(x-1)=(x+1)(x-3),
解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x-3)(x-1)#0,
・,•方程的解为工=-3.
故答案为:x=-3.
15.(4分)两个三角形如图摆放,其中/8AC=90°,ZEDF=100°,ZB=60°,NF=
40°,£>E与AC交于点M,若BC〃EF,则NQMC的大小为110°
【解答】解:延长E3交CB的延长线于点G,
VZBAC=90°,NABC=60°,
/C=90°-ZABC=30°,
VZ£DF=100°,ZF=40°,
.".ZE=180°-NF-NEDF=40°,
,JEF//BC,
;./£■=/G=40°,
AZDMC=180°-ZC-ZG=U0°,
故答案为:110°.
16.(4分)如图,测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量,测
量船在A处测得海岛上观测点。位于北偏东15°方向上,观测点C位于北偏东45。方
向上.航行半个小时到达3点,这时测得海岛上观测点C位于北偏西45。方向上,若
CD与AB平行,则CD=(5V3-5)—海里(计算结果不取近似值).
【解答】解:如图:过点。作垂足为E,
由题意得:
1
AB=20x*=10(海里),ZM£>=15°,ZMC=45°,ZMB=90°,ZCBA=90°
45°=45°,
:.ZDAC=ZFAC-ZMD=30°,
ZCAB=ZFAB-ZMC=45°,
・・・NAC8=180°-ZCAB-ZCBA=90°,
在RdACB中,AC=AB-sin45°=10x与=5&(海里),
设DE=x海里,
在Rt&OE中,4上焉=岩=^(海里),
T
'JDC//AB,
・・・NOCA=NC48=45°,
在Rt/XDEC中,CE=法黑手=无(海里),
8=熹=*=缶(海里),
T
9:AE+EC=AC,
/.V3x+x=5V2,
:.DC=y[2x=(5V3-5)海里,
故答案为:(5百-5).
2%+3>%4-mi11
{2%+5一无解,则一的取值范围是0工[
【解答】解:解不等式2x+32x+/»,得:x^m-3,
解不等式^^—3<2-x,得:x<2,
•.•不等式组的无解,
"-322,
A0<^-r
故答案为:Ov'w/.
18.(4分)如图,四边形ABCZ)中,ZADC=90°,AC±BC,/ABC=45°,AC与3。
交于点E,若A8=2同,8=2,则△ABE的面积为一
7
【解答】解:过点。作。F_LAC于点F,
:AC±BC,NABC=45°,
\AC=BC=芋AB=2瓜
:ZADC=90°,C£>=2,
\AD=>JAC2-CD2=4,
11
:S^ACD=^AC-DF=^AD-CD,
,.DF=1V5,
__o
\AF=y/AD2-DF2=|V5,
,.CF=1V5,
JDF//BC,
•△DEFs丛BEC,
EFDFEF
*=靛’即=戏
;.AE=半花,
:.ShABE=^AE-BC=1x竽遍x26=孚
60
故答案为:
三、解答题:本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(16分)(1)计算:2tan60°+|V3-2|+(--]--)“一T半?;
20222
(2)先化简,得求值:(二一匚2)+汽,其中x=l,y=100.
xx-yx-y
【解答】解:(1)原式=2x^+2—8+2022—孥
=2V3+2-V3+2022-V3
=2024;
(x_y)(x_y)久(A3y)].x+y
(2)原式=[•
x(x-y)x(x-y)x~y
x2—2xy+y2-x2+3xyx-y
=------------------x—:—
x(x-y)x+y
xy+y2
x(x-y)x+y
=y(x+y)xx-y
-x(x—y)x+y
y
x
当%=1,y=100时.
原式=100.
20.(12分)目前,全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施
居民用水定额管理前,通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查,获得了若干
个家庭去年的月均用水量数据(单位:f),整理出了频数分布表,频数分布直方图和扇
形统计图,部分信息如下:
月均用水量(力2«3.53.5«55这x<6.56.5Wx<88«9.5
频数76
对应的扇形区4BCDE
域
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图,并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数;
(2)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格
收费,若要使该市60%的家庭水费支出不受影响,你觉得家庭月均用水量应该定为多少?
并说明理由.
8的频数为:50X46%=23,
C的频数为:50X24%=12,
频数分布直方图如下:
7
扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为:360°x品=14.4°;
(2)要使60%的家庭收费不受影响,家庭月均用水量应该定为5吨,理由如下:
因为月平均用水量不超过5吨的有7+23=30(户),304-50=60%.
21.(12分)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价
格如下表:
水果品种梨子菠萝苹果车厘子
批发价格(元45640
/依)
零售价格(元568
kg)
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300口,当日全部售出,求这两种
水果获得的总利润?
(2)第二天,该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果,当日销售结束清点盘存时发
现进货单丢失,只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88打,这
两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润,请通过计算说明该经营
户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些?
【解答】解:(1)设第一天,该经营户批发了菠萝Mg,苹果)伙,
pc+y=300
依题意得:
[5x+6y=1700,
(6-5)x+(8-6)y=(6-5)X100+(8-6)X200=500(元).
答:这两种水果获得的总利润为500元.
1700-5m
(2)设购进机总菠萝,则购进---------依苹果,
6
m>88
依题意得:
(6-5)m+(8-6)xJ>500'
解得:88<m<100.
二.可以为88,94,
•••该经营户第二天共有2种批发水果的方案,
方案1:购进88版菠萝,210奴苹果;
方案2:购进94版菠萝,205&g苹果.
22.(12分)如图,一次函数、=日什6与反比例函数),=*在第一象限交于M(2,8)、N
两点,垂直x轴于点A,O为坐标原点,四边形OAMW的面积为38.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式;
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点,请简要描述使的面积最小
时点P的位置(不需证明),并求出点P的坐标和面积的最小值.
【解答】解:(1)•••反比例函数产乌过点M(2,8),
"2=2X8=16,
...反比例函数的解析式为产当
16
设N(如——),
m
VM(2,8),
1
••S&OMB=x2x8—8,
・・•四边形OANM的面积为38,
・・・四边形ABMN的面积为30,
116
・・・一(8+/)・(m-2)=30,
2m
1
解得加1=8,m2=-2(舍去),
:.N(8,2),
•・,一次函数y=%ix+6的图象经过点M、N,
•嘴m解得件
,一次函数的解析式为丫=-x+10;
(2)与直线MN平行,且在第三象限与反比例函数有唯一公共点P时,4PMN
的面积最小,
设与直线政V平行的直线的关系式为、=-x+n,当与),=?在第三象限有唯一公共点时,
有方程-万+"=茎(x<0)唯一解,
即?-加+16=0有两个相等的实数根,
An2-4X1X16=0,
解得〃=-8或x=8(舍去),
...与直线MN平行的直线的关系式为y=-x-8,
方程-8=9的解为x=-4,
经检验,x=-4是原方程的解,
当x=-4时,y=-4,
.•.点p(-4,-4),
如图,过点尸作AN的垂线,交NA的延长线于点Q,交y轴于点。,延长M8交PQ于
点C,由题意得,
PO=4,。。=8,C£>=2,MC=8+4=12,NQ=2+4=6,
/•S^PMN=SA.MPC+S榜彩MCQN-S&PNQ
111
=1x6X12+1(12+6)X6-1xl2X6
=36+54-36
=54,
答:点P(-4,-4),△PMN面积的最小值为54.
23.(12分)如图,AB为。。的直径,C为圆上的一点,。为劣弧曲的中点,过点。作
的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点EA。与BC交于点E.
(1)求证:BC//PF;
(2)若的半径为遥,DE=\,求4E的长度;
(3)在(2)的条件下,求△£>(?「的面积.
p
A
【解答】(1)证明:连接。。,如图,
•・•。为劣弧曲的中点,
:.CD=BD,
:.ODLBC.
・・・尸尸是。。的切线,
:.OD1.PF,
:.BC//PF;
(2)连接。£>,BD,如图,
D
设AE=x,则A£)=l+x.
为劣弧况的中点,
:.cb=BD,
:.CD=BD,NDCB=NCAD.
,:ZCDE=ZADC,
:.^\CDE^/\ADC,
.CDAD
'''DE-'CD'
:.CD1^DE-AD^\'X.(1+x)=l+x.
:.BD2^1+X.
;AB为OO的直径,
:.ZADB=90°,
:.AD2+BD2^AB2.
;。0的半径为近,
:.AB=2y/5.
;.(l+x)2+(l+x)=(2通产,
解得:x=3或x=-6(不合题意,舍去),
;.AE=3.
(3)连接0£>,BD,设。。与BC交于点“,如图,
p
由(2)知:AE=3,AD=AE+DE=4,DB=yfl+3=2,
VZADB=9O0,
•AD42V5
..cosZDAB=^=^==-r.
\'OA=OD,
:.ZDAB=ZADOf
o/F
cosAADO=cosZDAB=
VOW1BC,
nLi
:・BH=CH,cosNAZ)O=备,
:.DH=DEx^-=^-.
:.OH=OD-DH=遥-等=等
:.BH=y/OB2-OH2=警,
:.CH=BH=^-.
':AB为。。的直径,
/.ZACB=90°,
由(1)知:OO_LP。,OHVBC,
四边形SOP为矩形,
AZP=90°,CP=DH=净,。尸=CH=等,
14
/.ADCP的面积=IxCP,DP=去
24.(12分)如图,抛物线y=o^+6x+c交x轴于A(-1,0),B两点,交y轴于点C(0,
3),顶点。的横坐标为1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使/4PB+/ACB=180°,若存在,求出点P的坐
标,若不存在,请说明理由;
(3)过点C作直线/与),轴垂直,与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在
直线/下方的抛物线上是否存在一点过点"作垂足为F,使以M,F,E三
点为顶点的三角形与AAOE相似?若存在,请求出M点的坐标,若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)•••顶点。的横坐标为1,
.♦.抛物线的对称轴为直线x=l,
VA(-1,0),
:.B(3,0),
二设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-3),
将C(0,3)代入抛物线的解析式,
贝-3a=3,
解得a=-\,
.•.抛物线的解析式为:y=-(x+1)(x-3)=-f+2x+3.
(2)存在,P(0,-1),理由如下:
VZAPB+ZACB=\SOa,
.".ZCAP+ZCBP=\SO°,
...点A,C,B,P四点共圆,如图所示,
由(1)知,0B=0C=3,
:.ZOCB=ZOBC=45°,
AZAPC=ZABC=45°,
△AOP是等腰直角三角形,
:.OP=OA=\,
:.P(0,-1).
(3)存在,理由如下:
由(1)知抛物线的解析式为:y=-,+2x+3,
:.D(1,4),
由抛物线的对称性可知,E(2,3),
VA(-1,0),
:.AD=2>/5,DE=V2,AE=3&.
:.AD1=DE1+AE2,
...△
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