高数竞赛试题答案

------吕梁学院大学生数学竞赛试卷（答案）--1--0x0x01-xk-(4)若函数()fx在0处可导，求正数的最小值.-xx-（非数学类，2016）----------_--一、计算下列各题（每小题10分，共60分）1__-x_-解：-----------------5-xxk1k2-1111-.x-(1)lim(L)x0x0--11212Lnx线n-----------------1211因为在xk0处可导，所以20,-----------8解：.-------8)12Lnn(nnn1_1即2.所以正整数的最小值为.--------------10kk=.-------------102_-所以原式2lim(1)2--n1--n-_--_-rn1_-xyz223-()xfx()()（5）设函数(,,)1uxyz，单位向量，求号证考fxf2---------（2）已知()连续，fx，.]63()fxfx((3准-u--()()()121|r的值.fxfxfx__22-解：()xfxd()_-2n--------(1,2,3)(f(x(f(x(f(x332_解：设2,3)P_--f2(x)1f(x)2f(x)_=.------8c-(x)_-2-_f(xf(xf(xf(x)-222_-uxu,xu,x--.-------------------3封x3y6z9------x()f所以原式=2---------------10c2[f(x2___-11u1uu--|,|,P|---------6P_--x3y3z3名-P--atanxb(1cosx)(3)lim=2，求a.姓---------------ln(12)(12)x_xcex01,311,，--------------933asinbxatanxb(1x)x__解：limlim2-------5_-2-ln(12)(1e)3xc-x22ux0x0_-2xr|------------10=密12xn(1,2,3)3_--_-_-a-dy_----------------------8=yfx（6）设()二阶可导，且(4y)y(0)，若()的一个拐点是yfx_--2_dx-_--系---(,3)，求的值.x在--0-所-所以.-----------104a----------------------2016年大学生数学竞赛试题答案（第15页）2016年大学生数学竞赛试题答案（第25页）--------()四、设fx是)上的连续递减函数，且()0，证明数列{}收敛，其中fxa-dydxd2y--yy(4)两边求导得(4)-----------5yyy1-n--dx2---f(x)dx.（15分）-naf(k)n---dy2n-1令0，并把(x,3)代入上式得-k1-_-02-_-n1()_-解：aaf(n1)fxdx-_--n1n-0|1|，-------------------8n--x0x0线n1fnfxdx=((1)())0--------------5-----------------n所以3.------------------------10nn1n1af(k)f(x)dxf(n)f(k)f(xdxnk1二、求lim1sinnxdx的值.（15分）exn_1kk1k1k1_-n0-----_--k1(()n1=()fnfkf(x))dx0--------------1011_-解：esinnxdxesinnx|encosnxdx---------------------5_-xx10x----------号证考kk100=esinnn(ecosnx|ensinnxdx)1a数列{}递减有界，所以收敛.----------151x10xn准-0--1_-_-1ex[--------------------10nnfx()在闭区间[0,](0,)内达到最小值，nenaa-1_-------1n20_又|()|(，证明|||()fa.(15分）ne1(1n)1ne1(1n)fxmxaf_-，所以原式0.15-[ne(sinnncosn)]_1-_-1n21n21n2-_-_-解：设f(x)在取得最小值，从而f(c)0.对f(x)在区间cc,a]上应用xc--封三、已知f(x)0在[a,b]上连续，则方程------罗尔中值定理得___-1f(c)f(0)f(0)f)c,0c.----------------5--F(x)ft)ab0在[,]上仅有一个实根.（15分）xx_--11ft)b名-a--姓-f(a)fcfaf()())(),acca.-------------10--------------_2211fxab解：()0在[,]上连续，xf(t)x可导且F(x)ft)0所ft()b()ft|f||f(a)m(ac).-----------15a__x11111_--Fxab以()在[,]上位单调增加函数.----------10()在[0,]1L的fx六-_-457密_-和.（15分）2-1_-_-由于F(x)连续且F(a)0,Fb)ft0，所以F(x)在[a,b]上仅ab1-_-解：(fx(n1,0--------------5_-f(t)ba-ba_2n-_--nn0系-有一个实根.--------------------15--1(1)在-n1--x()sinnx------------------10于是f所-2n----------------------n12016年大学生数学竞赛试题答案（第35页）2016年大学生数学竞赛试题答案（第45页）-------11111L35794--令得xI--2---111111111--1LIL---5711139---11-=------------------------------15-IL)II_--_335733-_--_-----线七、设函数f(x)在(,)内具有一阶连续导数，是上半平面y0内的有向L-----------------分段光滑曲线，起点为(,)，终点为(,)，abcd1xyf()][()yf_I22_--yy2.-L---_--_-1、证明曲线积分与路径无关；_-----------号证考2、当时，求的值（15分）I准---__-_-11x(){[--------解：因为{yf2()]}()f()yf2yyy2xy2__--所以曲线积分与路径无关.------------------------5_-_--_-_-由于积分与路径无关，所以选择(a,b)(c,b)(c,d)的折线.所以--封---1[1-c-bf(bx[yf(cy)1]cd_I-22_--by2_-ab_--名---caccca姓-==bx)(cy)=ft)ft)cd--------------_bdbdbabca().----------------