初中数学华师大版八年级下册一次函数试题

初中数学师大版八年下册一次函数题一次函数经典讲练新课指南1.知识与技能:(1)解一次函数和正比例函数的概,能根据所给条件写出简单的一次函数表达式会一次函数的图;(3)知道两个条件可确定一个一次函数,能由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式过程与方法:历探索一次函数图象的作图过程和一次函数图象的性,初步了解作函数图象的一般步骤及由函数图象探究函数性质的能力情感态度与价值观:通过一次函数的概念图象性质的探究,充分发展学生的数学应用能力,在解决实际问题的过程中广泛使用了分类讨论形结合的数学思想方法,同时,学生深刻体会数学知识来源于实际生产、生活的需,反之,又服务于生产、生活实际.4.重点与难:重点是理解次函数和正比例函数的概念初步了解作函数图象的一般步骤,熟练作出一次函数的图象掌握一次函数的图象及性质,由两个已知条件求出一次函数的表达式.难点是根据题设的条件寻找一次函数关系式,熟练作出一次函数的图象握一次函数的图象和性质求出一次函数的表达式.教材解读数学与生活一根弹簧,长度为12cm,当弹簧下面每挂质量的物体时,弹簧就伸长0.5cm,那么弹簧总长度y(原长+伸长长(单位cm)与弹簧所挂物体的质量x(单位:kg)的关系是,当x2时,y.思考讨论弹簧的总长度y弹簧原长度+弹簧伸长长度已知弹簧的原长度是12cm,每挂质量的物体簧伸长那么挂xkg的物体时,弹簧伸长长度为0.5xcm,所以y12+0.5x,当x2,y12+0.5213(cm).那,数关系式y12+0.5x是什么函数呢?它的图象情况如何其性质如何?知识详解知识点1

一次函数和正比例函数的概念若两个变量间的关系式可表示成ykx+b(k,b为常数k≠0)的形式,则称x一次函数x自变量),特别地,当,称y是的正比例函数例如:y2x+3,y-x+2,yx等都是一次函数,yx,y-x是正比例函数.【说明】(1)一次函数的自量的取值范围是一切实,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.(2)一次函数为常数,b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相,即自变量x次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.当b0,k≠0时,yb仍是一次函数.当b0,k0时,它不是一次函数.探究交流有人说:“正比例函数是一次函数,次函数也是正比例函数它们没什么区别.”点拨这种说法不完全正确.正比例函数是一次函,但一次函数不一定是正比例函数,只有当b0时,一次函数才能成为正比例函数.知识点2

确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达,实质是先列出一个方程,再用含x的代数式表示知识点3

函数的图象把一个函数的自变x与所对应y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线.知识点4

一次函数的图象由于一次函数为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数ykx+b的图象也称为直线ykx+b.由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点直线与y轴的交点(0,b),直线与的交点(-,0).但也不必一定选取这两个特殊点画正比例函数图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.知识点5

一次函数ykx+b(k,b为常数,k≠0)的性质(1)k的正负决定直线的倾斜方向k>0时,y的值随x值的增大而增大;k?O时,y的值随x值的增大而减小.(2)|k|大小决定直线的倾斜程度即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小直线缓);(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;当b0时,直线经过原点,是正比例函数.(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;①如图11-18(l)所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象(直线不经过第四象限);如图11-18(2)所示,当k>0,b?O时,直线经过第一、三、四象(直线不经过第二象限);如图11-18(3)所示,当k?O,b>0时,直线经过第一、二、四象(直线不经过第三象限);如图11-18(4)所示,当k?O,b?O时,直线经过第二、三、四象(直线不经过第一象限).(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小k相同,说明这两个锐角的大小相等且它们是同位角,因此,它们是平行的.外,从平移的角度也可以分析,例如:直线yx+1可以看作是正比例函数yx向上平移一个单位得到的.知识点6

正比例函数ykx(k≠0)的性质正比例函数的图象必经过原点;当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.知识点7

点P(x0,y0)与直线ykx+b的图象的关系如果点P(x0,y0)在直线ykx+b的图象上那么x0,y0的值必满足解析式ykx+b;如果x0,y0是满足函数解析的一对对应值,那么x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.例如:点P(1,2)满足直线yx+1,x1,y2,则点在直线yx+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式yx+1,因为当x2时y3,所以点P′(2,1)不在直线yx+l的图象上.知识点8

确定正比例函数及一次函数表达式的条件由于正比例函数ykx(k≠中有一个待定系数k,只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值由于一次函数≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对的值.知识点9

待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系),再据条件列出方程(或方程组),出未知系数,从而得到所求结果的方法叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:函数ykx+b中,k,b就是待定系数知识点10

用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤设函数表达式为将已知点的坐标代入函数表达式解方程(组);(3)求出k与b的值,得到函数表达式.例:已知一次函数的图象过点(2,1)和(-1,-3)此一次函数的关系式.解:设一次函数的关系式为≠0),由题意可知,解∴此函数的关系式为【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系,具体步骤如下:第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式其中是未知的常量,且k≠0);第二,(根据题目中的已知条,列方(或方程),解这个方(或方程组),求出待定系数k,b);第三步,求(把求得的的值代回到“设”的关系式ykx+b中);第四步,写(写出函数关系式).思想方法小结(1)函数方法.函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关,抽象、升华为函数的模,进而解决有关问的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题(2)数形结合法.数形结合法是指将数与形结合,析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.知识规律小结(1)常数k,b对直线ykx+bk≠0)位置的影响.①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;当b0时,直线经过原点;当b?0时,直线与y轴的负半轴相交.②当k,b异号时,即->0时,直线与x轴正半轴相交;当b0时,即-0时,直线经过原点;当k,b同号时,即-?0时,直线与x轴负半轴相交.③当b>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;当k>0,b0时,图象经过第一、三象限;当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限;当k?O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;当k?O,b0时,图象经过第二、四象限;当b<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.(2)直线ykx+b(k≠0)与直线ykxk≠0的位置关系.直线ykx+bk≠0平行于直线ykxk≠0当b>0时,把直线向上平移b个单位,可得直线ykx+b;当b?O时,把直线向下平移|b|个单位,可得直线ykx+b.(3)直线b1k1x+b1与直线y2k2x+b2(k1≠0,k2≠0)的位置关系.①k1≠k2y1与相交;y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);y1与y2平行;y1与y2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件例1下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?(1)y-x;(2)y-;(3)y-3-5x;(4)y-5x2;(5)y6x-(6)yxx-4-x2.[分析]本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解解:(1)(3)(5)(6)是一次函数,(l)(6)是正比例函数.例2

当m为何值时,函数y-(m-2)x+(m-4)是一次函数?[分析]某函数是一次函数,除应符合ykx+b外,还要注意条件k≠0.解:∵函数y(m-2)x+(m-4)是一次函数,∴∴m-2.∴当m-2时,函数y(m-2)x+(m-4)一次函数.小结

某函数是一次函数应满足的条件是:一次(或变)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数项为0.基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括会确定函数关系式及求函数值;(2)画一次函(正比例函)图及根据图象收集相关的信息;(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的表达式.例3

一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过并且每挂的物体,簧就伸长0.5cm,出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量xkg)之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围并判断y是否是x的一次函数.[分析](1)弹簧每挂1kg的物体后,伸长0.5cm,则挂的物体后,弹簧的长度y为(l5+0.5x)cm,即y15+0.5x.(2)自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的的值,即0≤≤18.3由y15+0.5x可知,y是x的一次函数.解:(l)y15+0.5x.自变量x的取值范围是0≤x≤18.y是x的一次函数.学生做一做:乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度千米/时,则火车离库尔勒的距s(千米)与行驶时t(时)之间的函数关系式是.老师评一评:研究本题可采用线段图示法,如图11-19所示.火车从乌鲁木齐出发,t小时所走路程为58t千,此时,距离库尔勒的距离为s千米,故有58t+s600,所以,s600-58t.例4某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃是时间t(时的函数:Mt2-5t+100(其中t0示中午12时,t1表示下午时,则上午10此物体的温度为℃.[分析]本题给出了函数关系式欲求函数值,但没有直接给出的具体值.从题中可以知道,t0表示中时,表示下1,则上午时应表示t-2,当t-2时,M(-2)3-5×(-2)+100102(℃).答案:102例5已知y-3与x成正比例,且x2时,y7.写出y与x之间的函数关系式;当x4时,求y的值;当y4时,求x的值.[分析]由y-3与x成正比例,则可设由可求出k,则可以写出关系式.解:(1)由于与x成正比例,所以设y-3kx.把x2,y7代入中,得7-3=2k,∴k=2.∴y与x之间的函数关系式为即y2x+3.当x4时,y2×4+311.当y=4时,42x+3,∴x.学生做一做:已知y与x+1正比例,当x5,y12,则y关于x函数关系式是.老师评一评:由y成正比例,可yx的函数关系式xk(x+1).再把x5,y12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.设y关于x的函数关系式为∵当x5时,y12,∴12(5+1)k,∴∴y关于x的函数关系式为【注意】y与x+1成正比例,表示ykx+1,不要误认为ykx+1.例6

求直线与x轴和y轴的交点,并画出这条直线[分析]要注意x轴和y轴上点的特征,x上所有点的纵坐标为0,y上所有点的横坐标为0,两个交点的坐标求出后利用这两点就可以画直线了.解:令x0,则令y0,则x-.∴该直线与x轴的交点为(-,0),与轴的交点为(0,-3)图象如图所示.学生做一做函数y-x+1的图象不经过()A.第四象限;B.第三象限;C.第二象限;D.第一象限老师评一评

因为k-<O,b1>O,以函数图象经过第一、二、四象,不经过第三象限,故选B项.例7若正比例函数y(1-2m)x的图象经过点和点B(x2,y2),当x1?x2时,y1>y2,则m的取值范围是()A.m?OB.m>0C.m?D.m>M[分析]本题考查正比例函数的图象和性质因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m?O,∴m>,故正确答案为项.学生做一做

某校办工厂现在的年产值是15元,计划今后每年增加2万元.写出年产值万元)与年数x(年)之间的函数关系式;画出函数的图象;求5年后的产值.老师评一评(1)年产值万)与年数)之间的函数关系式为y15+2x.(2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0,因此,函数y15+2x的图象应为一条射线.画函数y12+5x的图象如图11-21所示.(3)当x5时,y=15+2×525(万元)∴5年后的产值是万元.例8已知一次函数的图象如图11-22所示,求函数表达式[分析]从图象上可以看出,它x轴交于点(-1,0),y轴交于点(0,-3),代入关系式中,求出k为即可.解:由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点,代入到ykx+b中,得∴∴此函数的表达式为例9

求图象经过点(2,-1),且与直线y2x+1平行的一次函数的表达式.[分析]图象与y2x+1平行的数的表达式的一次项系数为则可设此表达式为y2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b即可解:由题意可设所求函数表达式为∴图象经过点(2,-1),∴-l2×2+b.∴b-5,∴所求一次函数的表达式为例10已知弹簧的长度y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg)的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时,弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式[分析]题中并没给出一次函数的表达式因应先设一次函数的表达式ykx+b,再由已知条件可知,当x0时,y6;当x4,y7.2.求出k,b即可.解:设这个一次函数的表达式为由题意可知,当x0时,y6;当x4时,y7.2.把它们代入中得∴∴这个一次函数的表达式为学生做一做已知直线y2x+1.求已知直线与y轴交点M的坐标;若直线ykx+b与已知直线关于y轴对称,求k,b的值.老师评一评(1)令x0,则y2×0+11,∴M(0,1).∴直线y2x+1与y轴交点M的坐标为0,1(2)∵直线ykx+b与y2x+l关于y轴对称,∴两直线上的点关于y轴对称.又∵直线y=2x+1与x轴、y轴的交点分别为A(-,0),B(0,1),∴A(-,0),B(0,1)关于y轴的对称点为A′(-,0),B′(0,1).∴直线ykx+b必经过点A′(-,0),B′(0,1).把A′(-,0),B′(0,1)代入ykx+b中得∴∴k=-2,b=1.小结

当两条直线关x轴(或y轴)对称时,则它们图象上的点也必关于x轴或y轴对称.例如:对于两个一次函数,若它们关于x轴对称求出已知一个一次函数和x轴y的交点,再分别求出这两个点关于x轴的对称点,利用求出的两个对称点,就可以求出另一个函数的解析式综合应用题本节知识的综合应用包括与方程知识的综合应用与不等式知识的综合应用;(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.例11

已知与x+b(a,b为是常数)成正比例.y是x的一次函数吗?请说明理由;在什么条件下,y是x的正比例函数?[分析]判断某函数是一次函数只要符合ykx+b(k,b中为常数且k≠0)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合ykxk常数,且k≠0即可.解:(1)y是x的一次函数.∵y+a与x+b是正比例函数,∴设y+akx+b(k为常数,且k≠0)整理得ykx+(kb-a).∵k≠0,k,a,b为常数,∴ykx+kb-a是一次函数.(2)当kb-a0,即akb时,y是x的正比例函数.例12某移动通讯公司开设了两种通讯业:“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分付话费0.6(均指市内通话)1个月内通话x分两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.写出y1,y2与x之间的关系;一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?某人预计一个月内使用话费元,则选择哪种通讯方式较合算[分析]这是一道实际生活中的应用题解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论解:(1)y150+0.4x(其中x≥0,且x是整数)y20.6x(其中x≥0,且x是整数)2∵两种通讯费用相同,∴y1y2,即50+0.4x0.6x.∴x=250.∴一个月内通话分时,两种通讯方式的费用相同.(3)当y1200时,有20050+0.4x,∴x375(分).∴“全球通”可通话分.当y2200时,有2000.6x,∴x333(分).∴“神州行”可通话分.∵375>333,∴选择“全球通”较合算.例13已知与x成正比例,且x-2时,y0.求y与x之间的函数关系式;画出函数的图象;观察图象,当x取何值时,y≥0?若点(m,6)在该函数的图象上,求m的值;设点P在y轴负半轴上,(2)中的图象与x轴y轴分别交于两点,且S△ABP4,求P点的坐标.[分析]由已知y+2x正比例,可设代入,可求出k,这样即可得到y与x间的函数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点(m,6)在该函数的图象上,把xm,y6代入即可求出的值.解:(1)∵y+2与x成正比例,∴设y+2kx(k是常数,且k≠0)∵当x-2时,y0.∴0+2=k?(-2),∴k=-1.∴函数关系式为即y-x-2.(2)列表;0-2-20描点、连线,图象如图11-23所示.(3)由函数图象可知,当x≤-2时,y≥0.∴当x≤-2时,y≥0.4∵点(m,6)在该函数的图象上∴6-m-2,∴m=-8.(5)函数y-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,∴A(-2,0),B(0,-2).∵S△ABP?|AP|?|OA|4,∴|BP|.∴点P与点B的距离为又∵B点坐标为且P在y轴负半轴上,∴P点坐标为0,-6.例14已知一次函数y(3-k)x-2k2+18.k为何值时,它的图象经过原点?k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?k为何值时,它的图象与y轴的交点在x轴的上方?k为何值时,它的图象平行于直线y-x?k为何值时,y随x的增大而减小?[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项两函数图象平行,明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.解:(1)图象经过原点,则它是正比例函数.∴∴k=-2.∴当k-3时,它的图象经过原点(2)该一次函数的图象经过点0,-2).∴-2-2k2+18,且≠0,∴k±∴当k±时,它的图象经过点(3)∵图象与y轴的交点在x轴上方,即b>0.∴-2k2+18>0,∴-3<k<3,∴当-3?k?3时,它的图象与y轴的交点在x轴的上方.(4)函数图象平行于直线∴3-k-1,∴k=4.∴当k=4时,它的图象平行于直线(5)∵随x的增大而减小,∴3-k?O.∴k>3.∴当k>3时,y随x的增大而减小.例15

判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)否在同一条直线上.[分析]由于两点确定一条直线故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式,若成立,明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.解:设过A,B两点的直线的表达式为ykx+b.由题意可知,∴∴过A,B两点的直线的表达式为∴当x4时,y4-22.∴点C(4,2)在直线上.∴三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)同一条直线上.学生做一做老师评一评

判断三点A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一条直线上由于两点确定一条直线因此选取其中的两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入函数表达式,若成立说明在此直线上,即这三个点在同一条直线上,反之,这三个点不在同一条直线上.设过点A(3,5),B(0,-1)的直线表达式为ykx+b.由题意可知,∴∴过A,B两点的直线表达式为∴当xl时,y1×≠3.∴点C(1,3)不在直线上,即三点A(3,5),B(0,-1),C(1,3)在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新,现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.例16

老师讲完“一次函数”这节课后让同学们讨论下列问题:(1)x从0开始逐渐增大时,y2x+8和哪一个的函数值先达到30?这说明了什么?(2)直线y-x与y-x+6的位置关系如何?甲生说:“y6x的函数值先达到30,说明y6x比y2x+8的值增长得快.”乙生说:“直线与y-x+6是互相平行的.”你认为这两个同学的说法正确吗[分析](1)可先画出这两个函数的图象,从图象中发现,当x>2时,6x>2x+8,所以,y6x的函数值先达到30.(2)直线y-x+6中的一次项系数相同都是-1,故它们是平行的,所以这两位同学的说法都是正确的.解:这两位同学的说法都正确例7某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游用旅行社说“如果老师买全票,其他人全部半价优惠.”乙旅行社说“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价为240元.设学生人数为甲旅行社的收费y甲,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费;就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.[分析]先求出甲两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式再通过比较,探究结论.解:(1)甲旅行社的收费y甲(元)与学生人数x之间的函数关系式为y甲240+×240x240+120x.乙旅行社的收费y乙(元)与学生人数x之间的函数关系式为y乙240×60%×(x+1)144x+144.(2)①当y甲y乙时,有240+120x144x+144,∴24x=96,∴x4.∴当x4时,两家旅行社的收费相同去哪家都可以.②当y甲>y乙时,240+120x>144x+144,∴24x<96,∴x<4.∴当x?4时,去乙旅行社更优惠③当y甲?y乙时,有240+120x?140x+144,∴24x>96,∴x>4.∴当x>4时,去甲旅行社更优惠小结

此题的创新之处在于先通过计算进行讨论再作出决,另外,这两个函数都是一次函数,利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法.学生做一做

某公司到果园基地购买某种优质水,慰问医务工作者.果园基地对购买量3000千克以上3000千克的有两种销售方案.甲方案:每千克,由基地送货上门乙方案:每千克元由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.分别写出该公司两种购买方案的付款元)与所购买的水果量千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少?并说明理由.老师评一评

先求出两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量千克)之间的函数关系式,再通过比较,探索出结论(1)甲方案的付款y甲元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式为y甲9x(x≥3000);乙方案的付款y乙(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式为y乙8x+500O(x≥3000).(2)有两种解法:解法1:①当y甲y乙时,有9x8x+5000,∴x5000.∴当x5000时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以.②当y甲?y乙时,有9x?8x+5000,∴x<5000.又∵x≥3000,∴当3000≤x≤时,甲方案付款少,故采用甲方案.③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,∴x>5000.∴.当x>500O时,乙方案付款少,故采用乙方案.解法2:图象法,作出y甲9x和y8x+5000的函数图象,如图11-24示,由图象可得:当购买量大于或等于3000千克且小于5000克时,y甲?y乙即选择甲方案付款少;当购买量5000千克时,y甲y乙即两种方案付款一样;当购买量大于5000千克时,y甲>y乙,即选择乙方案付款最少【说明图象法是解决问题的重要方法也是考查学生读图能力的有效途径.例18一次函数ykx+b自变量x取值范围是3≤x≤6,相应函数值的取值范围-5y≤-2,则这个函数的解析式为[析]题分两种情况讨论:①当k>0时,y随的增大而增,则有:当x-3,y-5;当时y-2,把它们代入ykx+b中可得∴∴函数解析式为②当时则随增大而减小,则有当时y-2;当x6,y-5,它们代入ykx+b中可得∴∴函数解析式为∴函数解析式为或y-x-3.答案:yx-4或【注意】本题充分体现了分类讨论思想,方程思想在一次函数中的应用,切忌考虑问题不全面.例19如图11-25示,正方形ABCD边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴的正半轴上,A坐标是(1,0).经过点C的直线y=x-与x轴的交点为E,求四边形AECD的面积;若直线l经过点且将正方形ABCD成面积相等的两部分,求直线l的表达式,并在坐标系中画出直线1.[分析]四边形ABCD是直角梯形S四边ABCD=(AE+CD)?AD.过E点的直线将正方形的面积二等分则直线l必过正方形的中心,由旋转的性质可知,AECF,由此确定F点的坐标,进一步求出直线l的解析式解:(1)由题意可知,A(l,0),B(5,0),C(5,4),D(l,4).官线yx-与x轴的交点为E(2,0).∴AE=1,CD=4,AD=4.∴S四边形ABCD(AE+CD)?AD?(1+4)?410.(2)设直线l与DC的交点为F,由几何知识可知∴F点的坐标为(4,4).设直线l的表达式为则有∴∴所求直线l的解析式为小结

用待定系数法求一次函数的表达式需两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求出k,b为即可,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.另外,(2)问中也可以利用正方形性质,求出正方形中心坐标为(3,2),运用中心坐标(3,2)和E(2,0)也可求出直线l的表达式已知直线xkx+b经过点(,0),且与坐标轴围成的三角形的面积,求此直线的解析式.易错与疑难题例20

已知直线ykx+b经过点,0),且与坐标轴围成的三角形的面积为,求此直线的解析式.错解:∵直线经过点(,0),∴0k+b,①设直线ykx+b与x轴、y轴的交点坐标分别为A(-,0),B(0,b),又S△ABO,∴S△ABO|OA|?|OB|?(-)?b.即,②由①得b-k,代入②中得k-2,∴b5.∴所求直线的解析式为[分析]上述解法出现了漏解的情,由于解题时忽略了|OA||-|,|OB||b|中的绝对值符号,因此,也就漏掉了一个解析式正解:∵直线经过点(,0),∴0k+b,①设直线ykx+b与x轴、y轴的交点坐标分别为A(-,0),B(0,b),∴|OA||-|||,|OB||b|.又∵S△AOB,∴S△AOB|OA|?|OB|?||?|b|,即,②由①得b-k,代入②中得|k|2,∴k1=2,k2=-2,∴b1=-5,b2=5.∴所求直线的解析式为或y-2x+5.例21

已知一次函数y=kx+b中自变量x取值范围是-3≤x≤8,相应函数值的取值范围是-11≤y≤9,求此函数的解析式错解:由-3≤x≤8得-3k+b≤kx+b≤8k+b,即-3k+b≤y≤8k+b.又∵-11≤y≤∴∴∴函数关系式为[分析]对于字母已知数k,因取值不,会得到不同的关系,锗解中只考虑了k>0的情况,忽略了k?O的情况.正解:分两种情况讨论:①当k>0时,由-3≤x≤8得-3k+b≤kx+b≤8k+b,好-3k+b≤y≤又∵-11≤y≤∴∴∴函数关系式为②当k?0时,由-3≤x≤8得-3k+b≤bx+b≤8k+b,即-3k+b≤y≤8k+b.又∵-11≤y≤9,∴∴∴函数关系式为中考展望中考命题总结与展望近几年来,在全国各地的中考题中涉及正比例函数次函数的知识较多,尤其是求函数的解析式的考题.利用函数的图象及性质解题等经常出现,几乎每年都有,种题型都有尤其是随着课程改革的深入本节知识仍是中考命题的热点,不乏有创新题、探究题出现,综合型大题也屡屡出现因此,平时应多加训练,重点是与几何知识、方程(组)和不等式知识的综合应用中考试题预测例1某地举办乒乓球比赛的费用y()括两部分:部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元,另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比,当x20时y160O;当x3O时,y200O.求y与x之间的函数关系式;动果有50名运动员参加比赛且全部费用由运动员分摊,那么每名运动员需要支付多少元?[分析]设举办乒乓球比赛的费用y()租用比赛场地等固定不变的费用b(元)和参加比赛的人数x(人)的函数关系式为≠0).把x20,y1600;x30,y2000代入函数关系式求k,b的,进而求出y与x之间的函数关系式,当x50时,求出y的值,再求得÷50的值即可.解:(1)设y1b,y2kx(k≠0,x>0),∴ykx+b.又∵当x20时,y1600;当x30时,y2000,∴∴∴y与x之间的函数关系式为y40x+800(x>0).(2)当x50时,y40×50+8002800(元).∴每名运动员需支付÷5056(元〕答:每名运动员需支付元.例2已知一次函数y-2x+b,当,yl,则直线y-2x+b在y轴上的截距为[分析]求直线在y上的截距,就是要求|b|,因为当x3,y1,所以有l-2×3+b,∴b7,∴|b|7,即直线在y轴上的截距为答案:7例3已知一次函数当x-4时,y的值为9;当x2时,y值为-3.(1)求这个函数的解析式。(2)在直角坐标系内画出这个函数的图象.[分析]求函数的解析式,需要两个点或两对x,y值,把它们代入ykx+b中,即可求出k在的值,也就求出这个函数的解析式进而画出这个函数的图象.解:(1)由题意可知∴∴这个函数的解析式为2列表如下:010描点、连线,如图11-26所示即为y-2x+1的图象.例4如图11-27所示大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高指距d一次函数,下表是测得的指距与身高的一组数据.指距d/cm20212223身高h/cm160178187(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)(2)某人身高为一般情况下他的指距应是多少?[分析]设h与d之间的函数关系式是hkd+b(k≠0)当d=20时,h160;当d21时,h169.把这两对d,h值代人hkd+b得∴所以得出h与d之间的函数关系式,当h196时,即可求出d.解:(1)设h与d之间的函数关系式为hkd+bk≠0由题中图表可知d2O,h16O;当时,h169

把它们代入函数关系式,得∴∴h与d之间的函数关系式是(2)当h196时,有1969d-20.∴d=24.∴当某人的身高为时,一般情况下他的指距是24cm.例5汽车由重庆驶往相距千米的成都,如果汽车的平均速度是千米/时,那么汽车距成都的路程s(千米与驶时间t(时的函数关系用图象(如图11-28所示)表示应为()[分析]本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知,由题意可知,汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式是其中自变量取值范围是0≤t≤4,所以有0≤s≤因此这个函数图象应为一条线段,故淘汰掉D.又因为在S400-100t中的k-100<0,s随t的增大而减小,所以正确答案应该是C.答案:C小结

画函数图象时,要注意自变量的取值范围,尤其是对实际问题.例6已知函数:(1)象不经过第二象限(2)图象经过点(2,-5).请你写出一个同时满足(1)和(2)的函数关系式:.[分析]这是一个开放性试题答案是不惟一的因为点(2,-5)在第四象限而图象又不经过第二象限,所以这个函数图象经过第一三四象限,只需在第一象限另外任意找到一点,就可以确定出函数的解析式设经过第一二四象限的直线解析式为ykx+b(k≠O),另外的一点为4,3),这两个点代入解析式中即可求出k,b.∴∴y4x-13.答案:y=4x-13【注意】后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析例7人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a示一个人的年龄,b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次,另么b0.8(220-a).正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少?一个50岁的人运动秒时心跳的次数为20次,他有危险吗[分析](1)只需求出当时b的值即可.(2)求出当a50时b的值,再用b和20×120(次)相比较即可.解:(1)当a16时,b0.8(220-16)=163.2(次).∴正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分