微积分上老师课件习题课

微积分习题课电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心微积分习题课电子教程主要内容介绍典型例题选讲课堂自主练习第一章函数与极限1函数概念与性质的练习2极限概念与计算的练习3函数的连续性的练习基本概念熟练掌握的内容函数、复合函数、连续、间断、无穷小的阶等。

理解的概念分段函数、函数的极限等。基本计算能力

确定函数的定义域确定函数的连续点(区间)求极限.(四则运算法则、两个重要极限、无穷小的性质、等价无穷小的替换)求函数的间断点类型初等函数在其定义区间内都是连续的

无穷小的性质定理闭区间上连续函数的介值、零点存在定理

应掌握的定理（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1、函数的定义函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)单值性与多值性:2、函数的性质(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo(3)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(4)函数的有界性:

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性:oyx3、反函数4、隐函数5、反函数与直接函数之间的关系6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1、极限的定义左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论23、极限的性质4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)6、两个重要极限定义:7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性

振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、间断点的定义(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3定理4

基本初等函数在定义域内是连续的.定理5

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例题选讲练一练与证：

>0,|x31|=|(x1)(x2+x+1)|=|x1||x2+x+1|因x1,故不妨设

0<|x1|<1,即

0<x<2故

|x2+x+1|=x2+x+1<4+2+1=7从而

|x31|<7|x1|.考虑:要使|x31|<,

只须7|x1|<,

即|x1|<

即可.例1适当放大法典型例题选讲取=min

(,1),则当

0<|x1|<

时,(有|x1|<1及

|x1|<)有

|x31|<.例2

证明

>0,>0,当0<|xx0|<时,有|f(x)a|<,不妨设证:证毕一.用极限的定义证明极限存在例1,例2为1．数列极限解题方法流程图

求可找到数列和满足应用夹逼准则验证单调有界应用单调有界准则恒等变形应用极限的四则运算法则求极限

判别的形式

为分式应用等价无穷小代换应用极限的四则运算法则求极限

恒等变形

求判别的形式

为无穷小,且

为未定式

或

为复合函数

应用连续函数的极限运算准则

应用重要极限函数极限解题方法流程图

解：【例1】*计算分析本题含，当与(－0)时，有不同的结果，需要用左右极限求之。例2解

设

xn故夹逼定理解：【例3】计算而由夹逼准则得分析本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。

设证明数列

有极限并求：

例4且

证明因为下面利用归纳法证明单调性

所以显然有

即有界由于不妨设成立，故所以单调增加.所以:有极限.

由单调有界原理知设则解得:

所以

（舍去）.【例5】设

（1）证明存在（2）计算解：(1)由于所以又有下界即在时单调下降进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知

解：(2)设则有（因，故舍去负值）

注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。所以=xn–1故xn单调递增.0n个an–1个a0<xnn个an个an–1个a

++++=aaaL故xn有界.练习1综合(1),(2),知xn单调,有界.由于n+1个a从而A2=a+A解出A.因xn>0,由保号性定理,A

0从而即

将等分成原式三.利用极限性质及四则运算求极限例6解：原式例6解:

将x=1代入分母,分母为0,不能用定理直接求极限.想办法约去使分子分母都为零的因子x–1.有练习有理化消除零因子练习练习解：从而解:注意到,若f(x)A,则f(x)=A+,为无穷小量.四.利用两个重要极限计算极限如何利用重要极限呢?例7例7原式=例8例9练习(1)(1)解:～～～～～～五.用等价无穷小代换求极限请记住一些常用的等价无穷小～～解:例10～～例11求原式重要极限与四则运算结合练习

解：分子有理化极限非零部分可先提出

计算分析由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求出极限。

练习【例11】设即所求

解：由于，极限存在故必有，于是有，即将代回原极限式有练习9由得现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(x)的极限右极限yxo1-1从右边趋于0用左右极限相等求极限左极限从左边趋于0

左右极限不相等例13例14左右极限不相等,所以极限不存在例15设求练习解答练习7练习12七.根据极限求参数例15解:左右极限相等已知求之值

解而即即例16解练习13由题设知，分子必须是x

的零次多项式解答练习14即而是常数解设求练习15解因为所以即

已知求练习16

设函数

指出间断点及类型.

解该函数的间断点为当

故

时，由于七.关于函数连续性方面的习题当

为函数的第一类间断点.例17点为函数的第二类间断点.

若

在连续，

所以求解：由于处连续，在而故由：

得解得（舍去），所以

例18试证方程

的正根.

至少有一个小于1证明：令则上连续.

又因：

在[0，1]由定理知，在[0，1]之间至少存在一点

成立，故原结论成立.

即使成立，例19显然，

讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型

练习17解答下面讨论在与处的连续性.当时，因为当时，且是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。

因为故在处连续。