集合知识点总结及习题

集合 〕元素与集合的关系：属于〕和不属于〕 〕集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素 〕集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 〕集合的表示方法：列举法、描述法〔自然语言描述、特征性质描述〕、图示法、区间法 子集：xA

1中有n2n(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即AA 注关系

3、空集是任何集合的〔真〕子集。 集合

AA〔

0 0 集合相等AAB AB 集合与集合 交集

AAAABBAB,ABABABAABx/xx 并集

AAAABBABABABABB 运算

Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)

定义：CAx/xU且xAA U 补集性质C)A

， U U

U U U U U

C(AB)(CA)(CB)U U U一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素确实定性如：世界上最高的山HAPPY{H,A,P,Y}(3)：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3．元素与集合的关系——〔不〕属于关系aAaA,记作a∈A;AaA,aA;14.集合的表示方法：列举法与描述法。的方法a,b,c,d}适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示格式：{x|x例如：{xR|x-3>2}或{x|x-3>2}留意：常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕：N={0,1,2,3，…}正整数集N*或N+={1,2,3，…}QR有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示Venn4、集合的分类：(1)有限集 限个元素的集合(2)无限集 限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 二、集合间的根本关系“包含”关系—子集ABAB〔BA〕AB有两种可能BB集合。②符号∈与的区分反之:集合AB,或集合BA,记作ABBA2“相等”关系：A=B定义：假设AB 同时BA那么A=B实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素一样则两集合相等”真子集:假设AB,且存在元素x∈B,但xA,那么就说集合AB4.性质

B(BA)①任何一个集合是它本身的子集。AA②假设AB,BCAC③假设AB 时BA那么A=B5.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φn2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算 交 集 并 集 补 集类型定 由全部属于A且属于B的元义 素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB〔读作‘A交B’〕，即AB=｛x|xA，且xB｝．

ABA,B并集．记作：AB〔读作‘AB’〕，AB={x|xA，或xB})．

SASSA合，叫做S中子集A补集〔或余集〕记作CSA，即CA={x|xS,xA}S韦恩 A B A B SA图示 图1 图2AA=A

AA=A

(CA) (CB)=C

(AB)u u u性 AΦ=ΦAB=BA质 ABAABBAB﹤＝﹥AB=A

AΦ=AAB=BAABＡABBAB﹤＝﹥AB=B

(CA) (CB)=C(AB)u u uA (CA)=U A (CA)=Φ．u u第一课时：集合集合的含义与表示

第一章：集合与函数的概念集合的含义：我们一般把争论对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大3写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。a属于集合A，记做a∈A，反之，元素aA，记做aA。集合中的元素的特征：①确定性：如世界上最高的山；②互异性：由HAPPY{H,A,P,Y}；③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。常用数集及记法有非负整数集〔即自然数集〕N常用数集及记法有非负整数集〔即自然数集〕N正整数集N+N*整数集Z有理数集Q实数集R集合的分类：①依据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。②依据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，假设这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，推断每个例子中的对象能否组成一个集合。1，100方程x2=4平面内全部的直角三角形；正方形的全体；∏的近似值的全体；平面集合中全部的难证明的题；著名的数学家；平面直角坐标系中x解：练习：考察以下各组对象能否组成一个集合，假设能组成集合，请指出集合中的元素，假设不能，请说明理由：平面直角坐标系内x轴上方的一些点；平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的全部的点；一元二次方程x2+bx-1=0的根；平面内两边之和小于第三边的三角形〔5〕x2,x2+1,x2+2；〔6〕y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；〔7〕2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；〔8〕华书店中意思的小说全体。二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性一样。例：A={y|y=x2+1}B={(x,y)|y=x2+1},(A、Bx∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的选项是〔〕A、2∈A，且2∈B B、〔1,2〕∈A，且〔1,2〕∈BC、2∈A，且〔3,10〕∈B D、〔3,10〕∈A，且2∈B解：C练习：3.1415 Q；∏ Q；0 R+； 1 {〔x,y〕|y=2x-3}； -8 Z；三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三共性质:分别是①确定性②互异性③无序性例：集合A是由元素n2-n，n-11n∈Z，求n解：n12练习:4集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0MNdqy集合A={x，

,1},B={x2,x+y,0}，假设A=B，则x2023+y2023的值为 ，A=B= .x1m3.(1)假设-3∈{a-3,2a-1,a2-4}求实数a的值；(2)假设 ∈{m},求实数m的值。1 m集合M={2，a,b},N={2a,2,b2}，且M=Na,b集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}，(1Aa的值；(2Aa四．集合的表示法：三种表示方法练习；用列举法表示以下集合。方程x2+y2=2d的解集为 ；x-y=0集合A={y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为 ；8集合B={

1x

∈Z|x∈N}用列举法表示为 ；|a| |b|集合C={x|= + ，a，b是非零实数}用列举法表示为 ；a b用描述法表示以下集合。2的整数a1使函数y=xx1x1有意义的实数x〔3〕{1、22、32、42、…}Venn〔1〕A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；〔2〕某班共30人，其中15人宠爱篮球，10人宠爱兵乓球，8人对这两项运动都不宠爱，则宠爱篮球但不宠爱乒乓球的人数为 ，用Venn图表示为： 。五．有关集合的分类：六．集合概念的综合问题：练习1. 1t

，则t的值为 ；设集合A={y|y=x2+ax+1，x∈R},B={(x,y)|y=x2+ax+1,x∈R},试求当参数a=2时的集合A和B；A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求〔1〕Aa的取值范围；〔2〕A中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；〔3〕假设集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。课后作业：1.推断以下各组对象能否组成集合：不等式3x20的整数解的全体；我班中身高较高的同学；直线y2x1上全部的点；1012.用符号或填空：2〔1〕2 N 〔2〕2

0 〔3〕0 5 〔4〕b a,, 〔0 N*〔6〕2 3 xx 1 〔7〕3 xxn21,nN*〔〕1, yyx2〔9〕1, x,yyx2写出以下集合中的元素〔并用列举法表示〕：既是素数又是偶数的整数组成的集合1020用适当的方法表示：〔1〕(x＋1)2＝0xy1 〔2〕方程组 x y 0〔3〕3x－2y＋1＝02x－1≥0奇数集；515.集合{1，a2a集合间的根本关系子集：一般地，两个集合A和B，假设集AB我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做AB〔BA〕,读作“AB”〔或“B包含A”〕A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A1、2、3B，所以，集合A为集合BAB〔或BA〕。集合相等：假设集合ABBA时，集合A中的元素与集合BA与集合B相等，记做A=BAB。真子集：假设集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B记作：AB〔或BA〕也可AB〔BA〕空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集〔固然是真子集〕本节精讲：一．集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：①假设集合ABBA时，则A=B；反之，假设A=B，则集合ABBA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B，只需要证明AB和BA②两个集合相等，则所含元素完全一样，与集合中元素的挨次无关。③要推断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全一样；假设是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：A{x|xa}B{x|2x50}AB，求实数a的取值范围.解：练习：1.A{x|x2pxq0}B{x|x23x20}AB，求实数p、q所满足的条件.2.假设{1,2}{x|x2bxc0}，则〔 〕.6A.b3,c2 B.b3,c2C.b2,c3 D.b2,c33.集合P＝｛x|x2＋x－6＝0｝Q＝｛x|ax＋1＝0｝，满足Q≠P，求a的取值组成的集合A。二．有关子集以及子集个数的问题：1：判定以下关系是否正确≠(1){a}{a} (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}≠(4)0∈{0} 〔5〕={0} 〔6〕∈{0}解依据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．2：列举集合{1，2，3}的全部子集．分析：1，2，30、1、23个．解：01个元素的子集有{1}，{2}，{3}；2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；3个元素的子集有{1，2，3}8个．例3：{a、b}A{a、b、c、d},则满足条件集合A的个数为 ．分析：A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a、b、c、d}。解：3个．例4：设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则以下关系式中正确的是 。A．A＝B

B．AB≠≠解：A≠≠

C．AB

D．AB5：集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各2后，就变为A2后，则变为B的一个子集，求集合C．分析:逆向操作：A20，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B23，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C47．答:C＝{4}或{7}或{4，7}．练习：1{0}∈{0，1，2}②{0}③{0，1，≠2}{1，2，0}④0∈⑤1∈{x|x{1，2}}写法正确的个数有A．1个 B.2个 C.3个 D.4个2．集合A={(x，

|yx

与B={(x，y)|y=x}的关系是A．A=BC．AB

B．AB≠D．AB≠3．满足条件{0，1}M{0，1，2，3，4}的不同集合M是≠7A．8个 B.7个 C.6个 D.5个4I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则:①0 A ②{0} B ③CIA CIB④1 CB⑤ CA⑥A BI I5．A={x|x=(2n＋1)π，n∈Z}，B={y|y=(4k±1)π，k∈Z}，那么A与B的关系为 ．6.集合A={1,3，a},B={1,a2-a+1},AB，求a的值。7．集合A={x∈R|x2＋3x＋3=0}，B={y∈B|y2－5y＋6=0}，APB，求满足条件的集合P．≠8．集合A={x|x=a2＋1，a∈N}，B={x|x=b2－4b＋5，b∈N}，求证：A=B。课后作业：A以下命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④假设A，则A。其中正确的有〔 〕A、0个 B、1个 C、2个 D、3个(3.设x,yR,A(x,y) y3x,Bx,y) y3，则AB的关系 ( x2 4.A2x5，Ba1x2a1，BA，求实数a的取值范围。5.A,2mB,mBA，则实数m的值。xa0，假设A是B的真子集，求实数a的取值范围。用适当的符号填空：

①a a,b,c

②0 x x20 ③

xR x210

④0,1

N ⑤0

x x2

x ⑥

x x2

3x20推断以下两个集合之间的关系：①A,,Bx x是8的约数 ②Ax3k,kN，Bx6z,zN ③Ax20m,mN

Bx是4与10的公倍数 设集合Axx2值。

4x0，Bx x2

2(a1)xa2

10xRBAa的8 以下选项中的 A、MxR x20.010，Px B、M(x,y) yx22,xR，P(x,y) xy22, C、My yx21,xR，Px x(y1)21,yR，D、My2k,kZ Px4k2,kZ，试写出满足条件

M M 的全部集合M12.写出满足条件M 的全部集合M

6x A

a,ab,a2b

,Ba,ac,ac2

，假设A=B，求c的值。15.集合A1ax2B1x1

A B a,

，求满足

的实数

的取值范围。16.A

2,8aB2a23a4,且B

A，求a的值。B组以下命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④假设 A，则A其中正确的选项是〔 〕A、0个 B、1个 C、2个 D、3个集合A,,，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有〔 〕x xk x xx xk x xk,kZ 2 ,kZ，N442设集合M

，则〔 〕A、M=N B、M

N C、MN D、N M,4.集合A3x2,

B2k1x2k1B

Ak的取值范围是 。 集合Ax ax22xa0,aR,假设集合A有且仅有2个子集，则a的取值是〔 〕A、1 B、1 C、0，1 D、1，0，1a,bR

b b ba0, ,0, ,设 ，集合

，则 〔 〕 a A、1 B、1 C、2 D、29,,

C,则,则

A ,8.U,

C,则,则

A ,9.集合ABx x22axb，假设B且,

A，求实数ab的值。中有中有2x10

3x不能取哪些值？不等式组 的解集为A，UR，试求A及C A,3x60 U,12.

集合A2x5Bm1x2m1BA，求实数m的取值范围。xZ，求A的非空真子集的个数。集合的根本运算并集：一般地,由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合AB的并集,A∪B,(读作“AB”).即A∪B={x|x∈A,x∈B}1-3-1所示。例如，设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}再比方说，设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}，求A∪B. U解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}UCA AU图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3交集：一般地,A且属于集合B的全部元素组成的集合,称为AB的交集,记作A∩B,(读作“AB”),A∩B={x|x∈A,x∈B}1-3-2所示。例如，设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B.解:A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}再比方说，华中学开运动会,设A={x|x是华中学高一年级参与百米赛跑的同学}B={x|x是华中学高一年级参与跳高竞赛的同学},A∩B.解:A∩B={x|x是华中学高一年级既参与百米赛跑又参与跳高竞赛的同学}.补集：一般地,假设一个集合含有我们所争论问题中所涉的全部元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.对于一个集合A,由全集U中不属于A的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补. 记作，-|3,且x}U例如，设U={x|x9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},CuA,CuB解:依据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CuA={4,5,6,7,8}；CuB={1,2,7,8}.集合中，一些常用的运算性质：10(1) AAA;(2)A;(3)ABBA;(4)ABA,ABB;AB则ABA;(6)AAA;(7)AA;(8)ABBA;(9)ACu(A)U;(10)(AB)CA(BC);(11)A(AB);(12)Cu(AB)(CuA)CuB;(13)Cu(AB)(CuA)CuB本节精讲一． 有关两个集合的并集、交集的问题集合M＝{直线}，N＝{圆}，则M∩N的元素个数为( )个．( )B．1 C．2 D．不确定2．(2023·江西理，2)假设集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅3．(09·山东文)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．假设A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．44．(2023·福建文，1)假设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于( A．{x|2<x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x<3} D．{x|x>2}5．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，假设A∩B≠∅，则a的取值范围是( A．a＜2 B．a＞－2 C．a＞－1 D．－1＜a≤21 2 3 4 1 2 3 1 6．(08·山东文)满足M⊆{a，a，a，a}，且M∩{a，a，a}＝{a，a}的集合M的个数是1 2 3 4 1 2 3 1 B．2 C．3－1

D．47．(09·全国Ⅱ理)设集合A＝{x|x>3}，B＝xx－<0 ，则A∩B＝( ) 4 A．∅ B．(3,4) C．(－2,1) D．(4，＋∞)1,1,6}，则P＋Q中全部元素的和是( )A．9 B．8 C．27 D．269．集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，B＝{x|x＝k＋3，k∈N}，则A∩B等于( )A．B B．A C．N D．R10．当x∈A时，假设x－1∉A，且x＋1∉A，则称xA的一个“孤立元素”，由A的全部孤立元素组成的集合称为AM＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}N′，则M′∪N′＝()A．{0,1,3,4}二、填空题

B．{1,4} C．{1,3} D．{0,3}11．假设集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝ .12．A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，集合B＝ .13胶州三中20232023设A＝2－p＋10B＝2q＋＝0且AB＝{2,3,5，A∩B＝{3}，则p＝ ；q＝ ；r＝ .11三、解答题14A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1x＞5}(1)A∩B＝∅a的取值范围．A∪B＝B，a的取值范围又如何？1