高等代数习题解答(第一章)

高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当取何值时，多项式与相等？提示：比较系数得.补充题2．设，，证明：．证明假设不成立．若，则为偶数，又等于0或次数为偶数，由于，首项系数（如果有的话）为正数，从而等于0或次数为奇数，矛盾．若或则为奇数，而或为偶数，矛盾．综上所证，．1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x)=x3-3x2-x-1，g(x)=3x2-2x1；2）f(x)=x4-2x5，g(x)=x2-x2．1）解法一待定系数法．由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于2．于是可设q(x)=xa,r(x)=bxc根据f(x)=q(x)g(x)r(x)，即x3-3x2-x-1=(xa)(3x2-2x1)bxc右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得,

,

解得,,，故得解法二带余除法．

3

-2

1

1

-3

-1

-11

-1得2）2．适合什么条件时，有1）2）1）解除得余式为：，令，即故的充要条件是2）解除得余式为：，令，即解得的充要条件是或3．求除的商与余式：1）2）1）解法一用带余除法（略）．解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：-3

2

0

-5

0

-8

0

-6

18

-39

117

-3272

-6

13

-39

109

-327所以2）解法一用带余除法（略）．解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：1-2i

1

-1

-1

0

1-2i

-4-2i

-98i1

-2i

-5-2i

-98i所以4．把表成的方幂和，即表成的形式：1）2）3）注设表成的形式，则就是被除所得的余数，就是被除所得的商式再被除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到

1）解用综合除法进行计算1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

11

1

1

1

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1

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2

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41

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51

1

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6

1

3

6

101

1

4

1

4

101

115所以2）3）略5．求与的最大公因式：1）2）3）1）解用辗转相除法

1

1

-1

-1

1

1

-3

-4

-1

1

01

1

1

-1

-1-1

-2

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-1-2

-2-1

-1-1

-10所以2）3）6．求使1）；2）；3）．1）解用辗转相除法

1

1

1

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-1

-2

-2

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-4

-211

0

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01

01

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0

-2

0由以上计算得因此，且所以．2），．3），．7．设的最大公因式是一个二次多项式，求的值．解略．8．证明：如果且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式．证明由于，所以为与的一个公因式．任取与的一个公因式，由已知为与的一个组合，所以．因此，是与的一个最大公因式．9．证明：，（的首项系数为1）．证明因为存在多项式和使，所以，这表明是与的一个组合，又因为，从而，故由第8题结论，是与的一个最大公因式．注意到的首项系数为1，于是．10．如果不全为零，证明：．证明存在多项式和使，因为不全为零，所以，故由消去律得，所以．11．证明：如果不全为零，且，那么．证明因为不全为零，故，从而由消去律得，所以．12．证明：如果，，那么．证法一用反证法．假设，则，从而有不可约因式，于是，但因为，所以不整除，所以，这与矛盾．因此．证法二由题设知，存在多项式，使得，，两式相乘得，所以．13．设都是多项式，而且求证：证法一反复应用第12题的结果证法二反证法14．证明：如果，那么．证明由于，所以存在多项式和使，由此可得即于是，，应用第12题的结论可得．注也可以用反证法．15．求下列多项式的公共根：提示用辗转相除法求出于是得两多项式的公共根为16．判别下列多项式有无重因式：1）；2）1）解由于，用辗转相除法可求得，故有重因式，且是它的一个3重因式．2）解由于，用辗转相除法可求得，故无重因式．17．求值使有重根．解．先用除得余式．当时，．此时，所以，所以1是的3重根．当时，．再用除得余式．故当时，．此时，，所以是的2重根．当且时，，则，此时无重根．综上，当时，有3重根1；当时，有2重根．18．求多项式有重根的条件．解略．19．如果，求．解法一设，则．因为，所以1是的重根，从而1也是的根．于是且，即解得．解法二用除得余式为，因为，所以，故解得．20．证明：没有重根．证法一设，则．因为，所以．于是没有重根．证法二设，则．假设有重根，则且，从而，得，但不是的根，矛盾．所以没有重根．21．略．22．证明：是的重根的充分必要条件是，而．证明（必要性）设是的重根，从而是的重根，是的重根，…，是的单根，不是的根，于是，而．（充分性）设，而，则是的单根，是的2重根，…，是的重根．23．举例说明断语“如果是的m重根，那么是的m1重根”是不对的．解取，则．是的m重根，但不是的m1重根．注：也可以取具体的，如．24．证明：如果，那么．证明略．25．证明：如果，那么．证明，其中．由于，故存在多项式使得，因此解得，从而．26．求多项式在复数范围内和实数范围内的因式分解．解多项式的n个复根为，所以在复数范围内的分解式为．在实数范围内，当n为奇数时：，当n为偶数时：．27．求下列多项式的有理根：1）；2）；3）．1）解多项式可能的有理根是．，．由于都不是整数，所以多项式可能的有理根只有2．用综合除法判别：2

1

-6

15

-14

2

-8

14

2

1

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7

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2

-4

1

-2

3≠0所以2是多项式的有理根（单根）．注：一般要求指出有理根的重数．计算量较小的话，也可以直接计算，如本题可直接算得，说明2是的有理根，再由知．2是单根．用综合除法一般比较简单．2）答（2重根）．3）答（4重根），3（单根）．28