模型构建专题解直角三角形应用中的模型

模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题eq\a\vs4\al(◆)类型一叠合式1．(2022·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，eq\r(2)≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2022·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2022·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2eq\r(3)，无人机的飞行高度AH为500eq\r(,3)米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.eq\a\vs4\al(◆)类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为()A．300米B．150eq\r(2)米C．900米D．(300eq\r(3)＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．9．(2022·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈eq\f(12,13)，cos67°≈eq\f(5,13)，tan67°≈eq\f(12,5)，eq\r(3)≈1.73)．【方法10】10．(2022·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2eq\r(3)米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶eq\r(3)的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB的高度(参考数据：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4).计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C2.eq\f(\r(3),2)解析：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝60海里，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴BC＝eq\f(CD,sin∠CBD)＝20eq\r(3)(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为20eq\r(3)÷40＝eq\f(\r(3),2)(小时)．3．解：如图，作AE⊥CD.∵CD＝BD·tan60°＝eq\r(3)BD，CE＝BD·tan30°＝eq\f(\r(3),3)BD，∴AB＝CD－CE＝eq\f(2\r(3),3)BD＝42米，∴BD＝21eq\r(3)米，CD＝eq\r(3)BD＝63米．答：⑪号楼的高度CD为63米．4．解：如图，过C作CD⊥AB于D，交海面于点E.设BD＝x米．∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)＝eq\r(3)，∴CD＝eq\r(3)x米．∵AB＝2000米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝1，∴eq\r(3)x＝x＋2000，解得x＝1000eq\r(3)＋1000，∴CD＝eq\r(3)(1000eq\r(3)＋1000)＝(3000＋1000eq\r(3))(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000eq\r(3)＋500＝(3500＋1000eq\r(3))(米)．答：黑匣子C点距离海面的深度为(3500＋1000eq\r(3))米．5．解：(1)在Rt△AHP中，∵AH＝500eq\r(3)米，由tan∠APH＝tanα＝eq\f(AH,HP)＝eq\f(500\r(3),PH)＝2eq\r(3)，可得PH＝250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．(2)设BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500eq\r(3)米，∠BQC＝30°，∴CQ＝eq\f(BC,tan30°)＝1500米．∵PQ＝1255米，∴CP＝245米．∵HP＝250米，∴AB＝HC＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB为5米．6．D7．2eq\r(2)解析：作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8×eq\f(1,2)＝4(海里)．∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)(海里)，∴乙货船航行的速度为4eq\r(2)÷2＝2eq\r(2)(海里/时)．8．解：在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，CD＝9米，∴AD＝CD·tan∠ACD＝9×eq\f(\r(3),3)＝3eq\r(3)(米)．在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)，∴BD＝CD＝9米，∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋9≈14(米)．答：对面楼房AB的高度约为14米．9．解：过点B作BD⊥AC于点D.∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×eq\f(12,13)＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×eq\f(5,13)＝200(km)．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(200\r(3),3)(km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋eq\f(200\r(3),3)≈480＋115＝595(km)．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED交BC的延长线于点F，则∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4米，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝2米，CF＝CD·cos∠DCF＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(米)，∴BF＝BC＋CF＝2eq\r(