中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)

第页中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)一、综合题1．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．2．已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝12（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．3．如图，一条抛物线经过原点和点C(8，0)，A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，点A坐标为(3，4)，点E在线段OC上，点F在线段BC上，且满足∠BEF=∠AOC.（1）求抛物线的解析式；（2）若四边形OABE的面积为14，求S△ECF（3）是否存在点E，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.4．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”．（1）二次函数y=2（x+2）2+1的“关于y轴对称二次函数”解析式为；二次函数y=a（x-h）2+k的“关于y轴对称二次函数”解析式为；（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形.若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.5．如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．（1）在旋转过程中，当α为度时，A'B'∥OC，当α为度时，A'B'⊥CD；（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．6．如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D。（1）求∠CBD的度数。（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律。7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．8．如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）请判断△PFA与△ABE是否相似，并说明理由；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．9．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30∘，过点E作EM // BD，交BA的延长线于点M（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45∘10．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，点D为优弧BC上一点（不与B，C重合），连接AD，CD，AD交BC于点E，△ACD的内心F恰好落在BC上．（1）求证：AB∥CD；（2）连接AF，求证：AB＝BF；（3）若BE＝4，CE＝5，求CF的长．11．在Rt△ABC中，AB=35，BC=45，过点C作CG（1）求CF的长.（2）当△ACE是等腰三角形时，求CD的长.（3）当B关于AD的对称点B'落在CF上时，求DEAE12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若EFBF＝2，求AN（3）若MN∥BE，求ANND13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D为弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.（1）如图1，求证：△ADC∽△DEC；（2）若⊙O的半径为3，求CA⋅CE的最大值；（3）如图2，连接AE，设tan∠ABC=x，tan∠AEC=y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE14．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H.（1）求证：AF⊥BE；（2）若AB＝23，AE＝2，试求线段PH的长；（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CPPQ15．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM//OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR//MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．16．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，①求DFDE②求DE的长.参考答案与解析1．【答案】（1）解：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD．∴∠ABD=∠CBD．∴BD平分∠ABC；（2）解：解：过点O作OE⊥BC于E，∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∵BD平分∠ABC，∴OE=OA=1．在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，∴OC=2．2．【答案】（1）解：如图1，过点B作BT⊥DA交DA延长线于T，∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠ABC=45°，∴DT∥BC，∴∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30°，∵∠T=90°，AB=6，∴BT=AT=32∴BD=2BT=62（2）证明：如图2，延长ED到R，使DR=DE，连接AR、BR，延长RB交CF的延长线于J，∵∠ADE=90°，∴AD⊥ER，∵DR=DE，∴AD垂直平分RE，∴AR=AE，∵AD=DR=DE，∴∠RAE=∠BAC=90°，∴∠RAB=∠EAC，∵AR=AE，AB=AC，∴△RAB≌△EAC（SAS），∴∠ABR=∠ACE，∵∠ABR+∠ABJ=180°，∴∠ACJ+∠ABJ=180°，∴∠J+∠BAC=180°，∵∠BAC=90°，∴∠J=90°，∵DF⊥CF，∴∠DFC=∠J=90°，∴DF∥RJ，∴DERD∵DE=DR，∴EM=BM，∴BM=12（3）解：SΔANK3．【答案】（1）解：∵抛物线经过原点和点（8，0），

∴设抛物线解析式为y=ax（x-8），∵点A（3，4）在抛物线上，

∴4=a·3·（3-8），∴a=-415∴抛物线解析式为y=-415x（x-8）=-415x2+（2）解：∵AB∥x轴，∴四边形OABC关于抛物线对称轴对称，∴AOC=∠BCO，

∴B（5，4），

∵A（3，4），∴AB=2，BC=OA=5，∵四边形OABE的面积为14，

∴12∴OE=5，即E（5，0）

∴BE⊥OC，

∵C（8，0）∴CE=3，BE=4，∴S△BCE=12∵∠BEF=∠AOC=∠BCO，∠EBF=∠CBE，∴△BEF∽△BCE，∴S△BCF即6−S△∴S△ECF=5425（3）解：存在点E使得△BEF为等腰三角形，理由如下：①当BE=BF时，则∠BEF=∠BFE，∵∠BEF=∠AOC=∠BCO，∴∠BFE=∠BCE，∴EF与EC重合，∴∠BEC=∠BEF=∠AOC，∴OA∥BE，∵AB∥x轴，∴OE=AB=2，∴E（2，0）②当EB=EF时，则∠EBF=∠EFB，∵△BEF∽△BCE，∴∠BEC=∠BFE，∴∠BEC=∠EBF，∴EC=BC=5，∴OE=OC-EC=8-5=3，∴E（3，0）；

③当FB=FE时，则∠FBE=∠FEB，∴∠BCO=∠AOC=∠FEB=∠FBE，∴BE=EC，即点E在BC的中垂线上，

如图，过E作EM⊥BC，垂足为M，过A作AN⊥OC，垂足为N，∴CM=12BC=5∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠EMC=90°，∴△AON∽△ECM，∴OAEC=ON∴EC=256∴OE=OC-EC=8-256=23∴E（236∴综上所述，存在点E，使得△BEF为等腰三角形，且点E的坐标为（2，0）或（3，0）或（2364．【答案】（1）y=2（x-2）2+1；y=a（x+h）2+k（2）解：由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，由菱形面积公式得OA=8，∴A点坐标为（0，8），∵菱形ABOC∴-xB=xCyB=12y∴B点的坐标为（-3，4），设一个抛物线的解析式为y=a（x+3）2+4，将A点坐标代入，得9a+4=8，解得a=49∴y=49（x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y=49（x-3）（3）解：①若AO∥CM，则xM=xC=3，把xM=3代入上述两个抛物线解析式，解得y1=20，y2=4∵C（3,4），∴y2=4舍去，∴M1（3,20）②若AC∥OM，∵lAC：y=−43x+8，∴lOM：y=−43x与抛物线联立方程y=−43xy=49(x+3)2+4∴M2（-6,8）③若OC∥AM∵lOC：y=43x，∴lAM：y=43x+8∴M3（9,20）综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）5．【答案】（1）30；90（2）解：∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，∴∠DOB'＝30°，∴∠AOA'＝180°﹣∠DOB′﹣∠A'OB′＝180°﹣30°﹣45°＝105°，即当α为105°时，OB'平分∠COD；拓展应用：（3）解：不变，理由如下：∵∠AOA′＝α，∴∠B′OD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∴∠B′OC＝60°﹣（135°﹣α）＝α﹣75°，设∠A′DC＝β，∴∠A′DO＝90°﹣β，∴∠B′OD+∠A′DO＝∠B'A'D+∠B′，即135°﹣α+90°﹣β＝∠B'A'D+45°，解得∠B'A'D＝180°﹣α﹣β，∴∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC＝180°﹣α﹣β+α﹣75°+β＝105°．6．【答案】（1）解：∵AM∥BN∴∠A+∠ABN=180°又∵BC、BD分别平分∠ABP，∠PBN∴∠CBP=12∠ABP，∠PBD=1又∵∠ABP+∠PBN=∠ABN=180°-∠A=120°∴2∠CBP+2∠PBD=120°∴∠CBP+∠PBD=60°∴∠CBD=∠CBP+∠PBD=60°∴∠CBD的度数为60°（2）当点P运动时，∠APB=2∠ADB不变，理由：AM∥BN∠APB=∠PBN又∵∠ADB=∠DBN=12∴∠APB=2∠DBN=2∠PDB，∴∠APB=2∠ADB7．【答案】（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝203∴当t＝203（2）解：①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝12又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．8．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE，DE，∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=4，即x=4.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F，连接PE，若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=AB∴EF=12AE=2∵PEAE∴PE=20，即x=20.∴满足条件的x的值为4或20.9．【答案】（1）解：连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30∘∴CE=12DE＝3∴∠AOE＝2∠B＝60∘∴∠CEO＝30∘，OC=由勾股定理得OE＝23；即圆O的半径为2（2）证明：∵EM // BD，∴∠M＝∠B＝30∘，∠M+∠AOE＝90∴∠OEM＝90∘，即OE⊥ME∴EM是⊙O的切线（3）解：再连结OF，当∠APD＝45∘时，∠EDF＝45∴∠EOF＝90∘S阴影=110．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，点F为△ACD的内心，∴∠B＝∠ACB，∠ACB＝∠DCB，∴∠B＝∠DCB，∴AB∥CD（2）证明：∵点F为△ACD的内心，∴∠DAF＝∠CAF，∵BD=∴∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BCA，∴∠BAD+∠DAF＝∠BCA+∠CAF，即∠BAF＝∠BFA，∴AB＝BF（3）解：∵∠BAD＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA，∴BABC∴BA∵BE＝4，CE＝5，∴BC＝BE+CE＝4+5=9，∴BA∴BA=6，（负值舍去）由（2）知AB＝BF，∴BF=6，∴CF=BC−BF=9−6=3．11．【答案】（1）解：∵Rt△ABC，AB=35，BC=4∴AC=A∵CG∥AB，∴∠GCF=∠AFC，∵CF平分∠ACD，∴∠GCF=∠ACF，∴∠ACF=∠AFC，∴AF=AC=55∴BF=55∴在Rt△BCF，CF=BC（2）解：①如图，当CE=AE时，可得∠ACF=∠CAE，∴∠CAE=∠CFA，∵∠ACE=∠FCA，∴△ACE∽△FCA∴CE∴CE∴CE=∴CF=∵CD∥AB∴△CDE∽△FAE∴CD即CD∴CD=②如图，当AC=CE时CE=AC=5∴EF=20−5∵CD∴CD∴CD=100+25综上所述，CD=25511或（3）解：如图，过点B’作B’M⊥AB于M，DN⊥BF于N，交BB'于点H，连接AB’由（1）可知tan∠F=1设B’M=x，则FM=2x∴AM=5在Rt△AB’M中，AB∴(解得：x∴BM=4∴tan由垂直可得∠BNH=∠DNA，∵∠BHN=∠DHB'，∴∠ADN=∠B’BM∴tan∴AN∴AN=3∴CD=5由①DE12．【答案】（1）证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵点E为CD的中点，∴CE＝12∵AB＝CD，∴BM=CE=1∴AM=BM，∴AM＝CE（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴BFEF∵CE＝3，∴BM＝32∴AM＝92∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴ANBM∴AN3∴AN=27∴DN＝AD﹣AN＝4﹣2716＝37∴AN（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴CEBC∴34∴BM=16∴AM=AB−BM=6−16由（2）同理得，ANBM∴AN16解得：AN＝89∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝28∴ANND13．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，

∴∠ABC=∠DEC，∵∠ADC=∠ABC，

∴∠ADC=∠DEC，∵点D为弧AB的中点，

∴BD=∴∠ACD=∠DCE，

∴△ADC∽△DEC；（2）解：∵△ADC∽△DEC，

∴ACCD=CD又∵⊙O的半径为3，

∴CA·CE=CD2≤62=36.即CA·CE的最大值为36；（3）解：①∵△ADC∽△DEC，∴AC∴y=tan∠AEC=AC过点D作DF⊥CE，不妨设EF=a，

∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°，∴CF=DF=ax，∴CD=2ax，∴y=(CDCE)2②∵CBBE=35∴将y=38x代入y=238x==2x2x当x=13时，y=当x=时，y=2×∴y=98或14．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝23，AE＝2，∴BE＝=A∵S△ABE＝12AB•AE＝1∴AP＝AB⋅AE在Rt△ABP中，BP＝=A∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝3，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣3.（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴CPPQ15．【答案】（1）解：∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A（4，0），∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B（1，3），∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），∴16a+4b=0a+b=3，解得：a=−1∴a=﹣1，b=4；（2）解：方法一：如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，∴NF=PF=t，∵∠PFM=∠ECM=90°，∴PF//EC，∴∠MPF=∠MEC，∵ME//OB，∴∠MEC=∠BOD，∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴BDOD=MF∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；方法二：延长MP交x轴于点M′，作M′N′//MN交AB于N′，延长FP交M′N′于F′，∵M′N′//MN，∴△PMN∽△PM′N′，∴PFMN=PF'∴KOB=3，∵PM//OB，∴KPM=KOB=3，则lPM：y=3x+b，设P（p，﹣p+4），则b=4﹣4p，∴lPM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x=4p−43∴M′（4p−43∵N′x=M′x，把x=4p−43∴y=16−4p3∴N′（4p−43，16−4p3），∴M′N′=∵PF′⊥M′N′，∴PF′=p﹣4p−43=4−p∴td（3）解：方法一：如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，∴S△PMN=12MN×PF=12×4t×t=2t∵∠CAN=∠ANC，∴CN=AC，∴S△ACN=12AC2∵S△ACN=S△PMN，∴12AC2=2t2∴AC=2t，∴CN=2t，∴MC=MN+CN=6t，∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，∴M（4﹣2t，6t），由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，解得：t1=0（舍），t2=12∴PF=NF=12，AC=CN=1，OC=3，MF=32，PN=22，PM=10∵AB=32，∴BN=22，作NH⊥RQ于点H，∵QR//MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，∴NH//