高一数学人教A版学案

1.2.1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】已知函数f(x)＝3x2－5x＋2．(1)求f(3)，，f(a)，f(a＋1)；(2)若f(x)＝0，求x．【例1－2】已知函数，g(x)＝x2＋2，则f(g(2))＝______，g(f(2))＝_______．2．区间区间是数学中表示“连续”数集的一种形式．设a，b是两个实数，且a＜b．我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．其中a叫做左端点，b叫做右端点．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}；(2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求3．函数相等:如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．【例3－1】下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2)相等的是()A．f(m)＝2m－1(m＞2)B．f(x)＝2x－1(xR)C．f(x)＝2x＋1(x＞2)D．f(x)＝x－2(x＜－1)【例3－2】判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(2)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1；(3)f(x)＝x，g(x)＝；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．辨误区求函数定义域时两点需注意(1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y＝eq\f(x2,x)的定义域时，不能将y＝eq\f(x2,x)化简为y＝x，而求得定义域为R的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)的定义域(－∞，0)(0，＋∞)，值域(－∞，0)(0，＋∞)．③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．当a＞0时，值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，＋∞))；当a＜0时，值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))))．(2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求函数的值域；如求函数y＝eq\r(4－x2)的值域时，由x2≥0及4－x2≥0知eq\r(4－x2)[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y＝ax＋b±eq\r(cx＋d)的函数，我们可令eq\r(cx＋d)＝t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0)的函数，分离常数，变形过程为eq\f(cx＋d,ax＋b)＝eq\f(\f(c,a)(ax＋b)＋d－\f(bc,a),ax＋b)＝eq\f(c,a)＋eq\f(d－\f(bc,a),ax＋b)，再结合x的范围确定eq\f(d－\f(bc,a),ax＋b)的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y＝2x＋1，x(－1,1]的值域．【例6】求下列函数的值域．(1)y＝2x＋1，x{1,2,3,4,5}；(2)y＝－1；(3)y＝x2－4x＋6，x[1,5)；(4)；(5)；(6)y＝x＋．7．函数与集合的综合应用(1)能够正确求出函数的定义域(2)能正确解决有关集合问题【例7－1】已知函数f(x)＝的定义域是集合A，函数g(x)