高中数学基本不等式的证明

基本不等式的证明(1)教课目的1）认识两个正数的算术均匀数与几何均匀数的观点，能推导并掌握基本不等式；2）理解定理的几何意义，可以简单应用定理证明不等式。教课要点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。教课过程一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天均匀衡，称得物体的质量为a，假如天平制造得不精准，天平的两臂长略有不一样（其余要素不计），那么a并不是物体的重量。可是，我们可作第二次丈量：把物体调动到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。2．问题：怎样合理地表示物体的质量呢？二．学生活动指引学生作以下思虑：1）把两次称得的物体的质量“均匀”一下：（2）依据力学原理：设天平的两臂长分别为l1,l2，物体的质量为M，则l1Ml2a，①l2Ml1b，②，①，②相乘在除以l1l2，得Mab（3）ab与ab哪个大？2三．建构数学1．算术均匀数与几何均匀数：设a,b为正数，则ab称为a,b的算术均匀数，ab称为a,b的几何均匀数。22．用详细数据考证得：ab基本不等式：ab(a0,b0)2即两个正数的几何均匀数不大于它们的算术均匀数，当两数相等时二者相等。下边给出证明：证法1：abab1[(a)2(b)22ab]1(ab)20222当且仅当ab即ab时，取“”。证法2：要证abab，只需证2abab2只需证0a2abb，只需证0(ab)2由于最后一个不等式建立，因此abab建立，当且仅当ab即ab时，2取“”。证法3：关于正数a,b有(ab)20，ab2ab03．说明：1）基本不等式建立的条件是：a0,b02）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、剖析法（证法2）、综合法（证法3）（3）abab的几何解说：（如图1）以ab为直径作圆，在直径AB上取一2AB，则CD2CACBab，点C，过C作弦DDDab，而半径ab进而CDCDab2AaB（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当aCbb时取等号，即ababab；另一方面是仅当ab时取等号，即（图1）Dab2abab。2R，那么a2b2（5）假如a,b2ab（当且仅当ab时取“”）．四．数学运用1．例题：例1．设a,b为正数，证明以下不等式建立：（1）ba2（）1ab；2a2a证明：（1）∵a,b为正数，∴b,a也为正数，由基本不等式得ba2ba2ababab∴原不等式建立。（2）∵a,1均为正数，由基本不等式得a12a12，∴原不等式建立。aaa例2．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca证明：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca因此，a2b2c2abbcca．例3．已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd．证明：由a,b,c,d都是正数，得：abcdabcd0，2acbdacbd0，∴(abcd)(acbd)abcd，24即(abcd)(acbd)4abcd．例4．求证：x242．x231证明：∵x230，又x231，∴x23，x23∴x24(x23)1x2312x212，x2x2x23333x23即x24．x2232．练习：给出以下结论：（1）若x0,y0,则lgxlgy2lgxlgy（2）若x0,则1cosx21cosx2cosxcosx（3）若x0，则x42x44xx（4）若x0，则2x2x22x2x2此中正确的有2．课本P901,2五．回首小结：1．算术均匀数与几何均匀数的观点；2．基本不等式及其应用条件；3．不等式证明的三种常用方法。六．课外作业：P903P931