八年级数学培优专题讲解勾股定理

2八级学培优专题讲解《勾股2【培优图解】【技法透析】勾股定理是几何重要的定理之一它是直角三角形“形与三关系这“数”结合起来，是数结合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的应用主要用于计算和明等．2．勾股数的推算公式①若任取两个正数m，那么m－n，2mn，m＋n是一组勾股数．k②如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾数．22③如果k是大于2的偶数，那么k，，是组勾股数，④如果a，b，c是勾数，那么na，nb，nc(n是正整数也是勾股数．3．创设勾股定理运用条件当勾股定理不能接运用时，常需要通过等线段换、作辅助线段等途径，为勾股理的运用创造必的条件，有时又需要由线段的量关系去判断线段的位置关系．在有等边三角形正方形的条件下，可将图形旋60°或，旋转程中角度、线段的长度保持变，在新的位置上分散条件相集中，以便挖掘隐含条件，探求题思路．【名题精讲】

考1运用股理有关折＂问例1如图，折叠长方ABCD一边，D落在BC边的F处，AB＝8cm，BC＝10cm，求EC长．【切题技巧】由图形易知△ADFAFE从AD＝AF，DE．先在eq\o\ac(△,Rt)ABF用勾股定理求出，再在eq\o\ac(△,Rt)EFC中由勾骰定理列方程可求EC的长．【规范解答】【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形“等腰三形”等对称图形问题，勾股定理是常常到的计算方法体现了勾定理作为主要计算工具在解决直角三角形相关图形变换的合题中的具体应用．【同类拓展】．把一张长方形(长方形ABCD)按图－2所示的式折叠，使顶点B和D合为EFAB＝3cm叠部eq\o\ac(△,分)DEF的面积_______cm．考2运用股理逆定求度例2如图，在正方形ABCD中PA＝1，PB＝2＝3在方形内部，试求APB的度数．【切题技巧】【规范解答】

【借题发挥】旋转换后再运用勾股定理及逆定理求三角形角的度数的常见方法，即用恰当的转变换方式来构建直角三角形能够使用旋转法的条件是旋转后图形与原图形有边相能够重合．2．如图，等边△ABC内一点P，若点P到顶、B、C的离分别为3、4、5求∠APB度数．考3求立图中两点间最短离例3如图所示，一只蚂如果沿长方体的表面从A点爬到B'点，那么哪条路线最短最短路程是少已知长方体的长为2cm宽为1cm、高为．【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行故需把长方体展开成平面图形，据两点之间线段最和“勾股定理”可求解．【规范解答】【借题发挥】“短路线”是勾股定理在实生活中的具体应用，一般地，求最短路线”要“立问题”转化为“平面问题这类问题涉及到的几体主要有长方体、正方体柱锥等将几何体的表展开时注意定展开图中两点的相应位置时，由于将几何的表面展开时可能有几种不同情况，因此，有些问题可能会求几个

不同的结果，这需要通过分析比较后才能确定合题意的答案．【同类拓展】3如是一个三级台阶它每一级的长宽和高分别于5cm、3cm和lcm和B是这个台阶的个相对的端点A点有一只蚂蚁它想到B点吃可口的食物．请你想一，这只蚂蚁从A点出发，沿台阶面爬到点，最短路线的是多少考4勾股理其定理综运用例4如图所示，正方形中，是AD中点，点F上，且DF＝DC，试判断BE和EF的位关系并说明你的理由．【切题技巧】观察图，会给我们BE与EF直的直观印象．若直接证明BE与垂直，则十分困难若连接BF，设DF，利用勾股定理及其逆定理证eq\o\ac(△,明)BEF直角三角形，得到BE⊥EF．【规范解答】BF和EF的位置关系是BE⊥EF【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决些实际问题或具体的几何问题时密不可分的，通常既通过勾股定理求出三角形边长又要通过逆定理判断一个三角形直角三角形，两者相相成．4．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝30°，，AD＝CD求证：BD＝AB＋BC．考5勾股理实问题应例5如，护城河在CC'处角转弯，宽度保持4米，从处往B，经过两座桥DD'、EE'设护城河是东西——南北方的A在东西向相距64，南北方向相距84米，恰当地架河可使AD、D'E'、EB的路程短，这个最短距离是______米．

【切题技巧】要断最短路程，需先确定两桥的位置，确定桥的位置后，再据护城河的直角转形成的直角三角形利用勾股定求解．【规范解答】如(2)AA'⊥CDAA'＝DD'BB'⊥CE＝EE'折线ADD'E'EB的长度等于折线，D'E'B'B的度，即等于折线A'D'E'B'的长度＋AA'＋BB'．折线A'D'E'B'以线段最，故题目所求最短路程＝A'B'＋8，A'在东西方向上相距为米南北方向上相距－8（米）由勾股定理可知＝2＝100(米，S＝108（米）【借题发挥】实问题中，最短路程问题等常在构造直角三角形后，利用勾定理计算求解．5．如图所示的长方体是某种饮料纸质包装盒，规格为5×6×10(位cm)在上盖中开有一孔便于插吸管吸管长为13cm，小孔到图边AB距离为，到上盖中与相邻的的两边距离相等，设入吸管后露在盒外面的长为hcm则h的最小值大约为______cm．（精确到个位，考数据：＝＝，5＝考6勾股理函的综问例6如图①在平面直角坐标系中，双曲线y＝与线y＝交于点A．(1)x4求的长(2)点P第一象限双曲线上一点，如图②所示BC⊥AP于点，交x于点F交y轴点E，试判断

2BF2

2

的值是否为定值加以证明．

【切题技巧】(1)因为为双曲线与直线的交点，所以只需将两个已知数的解AEBF2析式成方程组们的解即交点AB的坐标(2)从结论入联想勾股定理，2通过作辅助线将AE、BF这条线段转移到同一直角三角形．【规范解答】【借题发挥】(1)当题目中涉及段平方时应联想到勾股定理，若些线段不在直角三角形中则应加辅助线，将分散的线段集中同一直角三角形中，本题还可以点作BN∥AE交y轴于点N三条线段收集在eq\o\ac(△,Rt)BNF中如图17－11③所示利中点”能构成多种助线，要根据题目的需要进行造．【同类拓展】6已知△OMN中OM＝ON∠MON＝90°点B为的延长线上一点，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于，交MN于点A．(1)图①所示，①求证：∠CMB＝90°；②求AM＋BN＝AB；(2)图②，在条件1)，过A作AE于E，过B作BF⊥ON于F，EA、BF的延线交于点，则PA、AE、BF之间的数量关系_