优选课件：高中数学人教A版 必修 第二册 事件的相互独立性

10.2事件的相互独立性学习目标：1、结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2、结合古典概型，利用独立性计算概率，并能解决一些简单问题.重点：1、两个事件相互独立的直观意义及定义.2、利用事件的独立性解决实际问题.难点：1、在实际问题中判断事件的独立性.一、温故知新事件的关系和运算概率关系A、B互斥A、B对立我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系.那么这种关系会是怎样的呢?下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率探究新知探究新知思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=½,P(AB)=¼.于是P(AB)=P(A)P(B).思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.一、概念解析相互独立事件的定义:

设A,B两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立.简称独立.（事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响）①、事件A与事件B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率.说明：注意：①、互斥事件：两个事件不能同时发生.②、相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响.判断两个事件相互独立的方法：①、定义法：P(AB)=P(A)P(B)②、直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。②、公式变形:③、相互独立的定义，即可以用来判断两个事件是否独立，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生.思考3：必然事件与任意事件是否相互独立？不可能事件与任意事件是否相互独立？所以，必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立思考4：若事件A与B相互独立,则也相互独立吗？∵事件A与B相互独立∴P(AB)=P(A)P(B)也相互独立吗？提示：(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.

二、相互独立事件的性质(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:注意：当三个事件A、B、C两两独立时，

等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立三、

典例解析例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？此时P(AB)≠P(A)P(B),∴解：∵样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点，

即n(Ω)=12A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},n(A)=6B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},n(B)=6AB={(1,2),(2,1)},n(AB)=2因此，事件A与事件B不独立.练习.判断下列事件是否为相互独立事件.①

篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.

事件B：第二次罚球，球进了.②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”，=“乙脱靶”，A与,与B,与都相互独立,由已知可得，P(A)=0.8,P(B)=0.9,P()=0.2,P()=0.1(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72(2)“恰好有一人中靶”=A∪B,且A与B互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(A∪B)=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26(3)事件“两人都脱靶”=,所以P()=P()P()=0.2×0.1=0.02例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.(4)①事件“至少有一人中靶,②法2∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”∴事件“至少有一人中把”的概率为“大化小”“正难则反”例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率设A=两轮活动“星队”猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1,解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，

根据独立性假定，得且A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立，所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是四、课堂练习1、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，事件B=“第2枚正面朝上”，事件C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？解：即A、B、C两两相互独立2、天气预报元旦假期甲地降雨概率为0.2，乙地降雨概率为0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算这段时间内：(1)甲乙两地都降雨的概率；(2)甲乙两地都