2023年湖南省湘潭市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省湘潭市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.

B.0

C.

D.1

3.

4.A.A.1/4B.1/2C.1D.2

5.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

6.函数等于()．

A.0B.1C.2D.不存在

7.（）。A.

B.

C.

D.

8.A.

B.0

C.

D.

9.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

10.

11.则f(x)间断点是x=（）。A.2B.1C.0D.-1

12.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

13.

14.微分方程(y)2=x的阶数为()A.1B.2C.3D.4

15.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

16.

17.

18.

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.设，其中f(x)为连续函数，则f(x)=______．26.27.28.

29.

30.

31.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

32.

33.

34.设f(x，y)=sin(xy2)，则df(x，y)=______.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.

43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

44.

45.46.47.48.求微分方程的通解．49.证明：

50.

51.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.

56.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．59.求曲线在点(1，3)处的切线方程．60.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．四、解答题(10题)61.

62.

63.设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y'．

64.

65.66.设区域D为：67.用铁皮做一个容积为V的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小。68.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．69.设y=ln(1+x2)，求dy。70.五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B

2.D本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

可知应选D．

3.C

4.C

5.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

6.C解析：

7.D

8.A

9.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

10.C

11.Df(x)为分式，当X=-l时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点x=-1为f(x)的间断点，故选D。

12.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。

13.A

14.A

15.C

16.D

17.B

18.D解析：

19.A

20.A

21.

22.本题考查了改变积分顺序的知识点。

23.2/32/3解析：

24.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．25.2e2x本题考查的知识点为可变上限积分求导．

由于f(x)为连续函数，因此可对所给表达式两端关于x求导．

26.本题考查的知识点为定积分的换元法．

27.1．

本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．28.

29.y=lnx+Cy=lnx+C解析：

30.

解析：31.

32.ee解析：

33.

34.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出，而得出df(x，y).

35.00解析：

36.

37.

38.y

39.

40.

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.

则

43.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％44.由一阶线性微分方程通解公式有

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.由等价无穷小量的定义可知53.由二重积分物理意义知

54.

55.

56.

57.

列表：

说明

58.函数的定义域为

注意

59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

60.

61.

62.63.解法1将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则本题考查的知识点为隐函数求导法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y'通常有两种方法：

一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y'的方程，从中解出y'．

二是利用隐函数求导公式其中F'x，F'y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．

对于一些特殊情形，可以从F(x，y)=0中较易地解出y=y(x)时，也可以先求出y=y(x)，再直接求导．

64.解所给问题为参数方程求导问题．由于

65.(11/3)(1,1/3)解析：66.利用极坐标，区域D可以表示为0≤θ≤π,0≤r≤2本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意．

67.

于是由实际问题得，S存在最小值，即当圆柱的高等于地面的直径时，所使用的铁皮面积最小。于是由实际问题得，S存在最小值，即当圆柱的高等于地面的直径时，所使用的铁皮面积最小。68.相应的齐次微分方程为y"-y'-2y=0．其特征方程为r2-r-2=0．其特征根为r1=-1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)