二次函数学案(全章)

22学习必备第课时

欢迎下载二次函的概念【学习目标1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；．探索并归纳二次函数的定义；．能够表示简单变量之间的二次函数关系。【学习重点掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。【课时类型概念课【学习过程一、学习备1．函数的定义：在个变化过程中，有两个变x和y如果给定一x值，相应地就确定了一个y，那么我们称

是

的函数，其中

是自变量，

是因变量。2．一次函数的关系为y=(其中k、b是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y＝

(其中是

的常数)；反比例函数的关系式y=(k是

的常数)。二、解读材—数学知识源于生活3．某果园有100棵子树，每一棵树平均结个橙子。准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少5橙子。假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有如果果园橙子的总产量为个，那么y=

棵橙子树，这时平均每棵树结。

个橙子，4．如果你到银行存100元，设人币一年定期储蓄的年利率是，一年期后,行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和元)的表达(考虑利息税)？。5．能否根据刚才推出的式子y=-5x和y=100x猜想出二次数的定义及一般形式吗？一般地，如+bx+c(a，b，c是常数，a的函数叫做x二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。例下列函数中，哪些是二次函数？

注：(1)关x的代式一是

1x2

1yx

式其a，b，c为常且a≠0；(2)等式右最次为，以

x

s

t

yx

2

2

r

即时练习下列函数中，哪些是二次函数？学习必备

欢迎下载

x

2

1x2

x(

三、挖掘材6．对二次函数定义的深刻理解及运用例若函数

kk

是二次函数，求k的值。分析：x的最高次数等2，即k解：

求出k的值即可。即时练习若函数

kx

k

k

是二次函数，则的为。四、反思结1．我们通过观察、考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2．定义：一般地，如y=ax²+bx+c(a，b，是常数，的函数叫做x二次函数。3．二次函数，b是常数，a≠0)的几种不同表示形式：(1)y=ax²(a≠0)；

(2)y=ax²+c(a≠0c≠0)；

(3)y=ax²+bx(a≠0)。4二次函数定义的核是关键字二”，即必须足自变量最高次项的数为_____，且______项系数不为_____的整式。【达标测】1．下列函数不属于次函数的是（）A．y=(－+2)B．=

(+1)

．=2(+3)－x

D．－

．在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm(x<6)的小方形，剩下的四方框形的面积为，则y与之间的函数关系是。．用总长为的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)矩形一边长之间的关系式是，它是

函数。4．正方形的边长是5若边长增加，面积增加，则y与之间的函数表式为。5．当m=

时，

ymx

m2

是二次函数；若函数

m

是二次函数，则m=

。6．已知函数＋bx＋c（其中，都是常数a

时，它是二次函数；当

，b

时，它是一次函数；当

，b

，

时，它是正比例函数。7．若函数y

－

+(+2)x二次函数，则

。最小最小学习必备

欢迎下载第课时

二次函yax的图象与性【学习目】1．能够利用描点做出函数y

的图象，能根据图象认识和理解二次函数＝ax

的性质；2．理解二次函数y＝

中a对函数图象的影响。【学习重】经历索二次函数y

的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。【学习难】能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y的性质。【学习过】一、学习备．正比例函数y=kx(k≠0)图像是。．一次函数y=kx+b(k≠0)图像是。3反比列函数y=

kx

(k≠0)的图像是。4当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，，。二、解读材5．试作出二次函数＝x

的图象。

y（1）画出图象：①列表注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）＝x

…………

…………

O

x描点在右图坐标系中描点）连线应注意用光滑的曲线连接各点）（2）根据图像，行小结：①＝x的图像是，且开口方向是。②它是

对称图像称轴是

轴在对称轴的左x>0x的增大而在对轴的右（y随x增大而。③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，从图中可以看出也是图像的最低点，此时，坐标为（，

这回答y④因为图像有最低点，所以函数有最

值，当x=0时，y=

。6．变式训练作出二次函数y＝-x

的图象。＝-x

…………

…………

O

x小结：①＝-x

的图像是，且开口向。②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，随x增大，在对称轴的右侧，y随x增大。③顶点坐标是，从图像看出它有最

点，所以函数有最

值。当x=0，。学习必备

欢迎下载y7变式训练2作出y＝2x，y0.5x的图像。xy＝

O

xy=0.5x三、挖掘材8．根据上面的图象从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。增减性表达式

草图

开口

对称轴

顶点

最值x>0

x<0y=axy=ax

(a>0)(a<0)同时，决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，越小图象开口。9．例知：抛物线

m

，当时，y随x的增大而增大，求的值。分析：①函数

m

的图象是抛物线，则它是二次函数，所以m+m-10=2，且≠0；②当时，y随x的增大而增大，所以m>0。或m解：由题意得：解得：又∵当x>0时y随x的增大而增大，所以m>0。∴m=310．已知抛物线

经过点A（-2，求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B，）是否在此抛物线上求出此抛物线上纵坐标为-的点的坐标。四、反思结二次函数的＝（a≠0）的图象与性质：五个方面理解：，，，，。【达标测】1．抛物y=2x增大；在

的顶点坐标是，对称轴是，在侧,y随着x的增大而减小。当x=

侧y随着x的增大而时，函数y的值最,最小值是。抛物线的图象在

方（除顶点外2．函数yx的顶点坐标为，若点（，）在其图象，则的值是。3．函数yx

与＝-x

的图象关于

对称，也可以认为y＝-x

是函数y＝

的图象绕

旋转得到的。4．求出函数y=x+2函数y

的图象的交点坐标。5若a>1（yy都在函数y＝的图象上判断yy的大小关系是。学习必备

欢迎下载第3课

二次函yax+k图象与质【学习目】1．会用描点法作函数y+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数＝ax+k的性质；2．理解二次函数y＝+k中a和k函数图象的影响；3．理解二次函数y＝

与y＝

+k的关系。【学习重】理解次函数＝

+k的性质。【学习难】理解次函数＝与y+k的关系。【学习过】一、学习准备1．画出两条抛物线草图并填空。抛物线

y＝x

y＝-x

y开口方向对称轴O

x增减性顶点坐标最值

在对称轴左侧，y随x的增大而。在对称轴右侧，y随x的增大而。当x=0时y=。二、解读材．用描点法作出二次函数y2x

图像。

y＝2x+1

…………

0…………小结：①y2x+1的图像是，且开口向。

O

x②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x增大而；在对称轴的右侧，随x的增大而。③顶点是(，)，且从图像看它有最

点，则函y有最

值，即x=

时有最

值是。3在同一直角坐标系中，作出二次函数y-x，＝-x+2，y＝-x的像。

y＝-x＝-x＝-x-2

……

……

O

x小结：①抛物线＝

+k的开口方向由

决定，当

时，开口向上；当

时，开口向下。②对称轴是，当时，在对称左侧，随x增大而，在对称轴的右侧，随x增大而。22222222222222222222222222222222222222222222222222学习必备

欢迎下载且函数yx=0时y=。a<时，在对称轴左侧yx的增而，在对称轴的右侧yx的min增大而。且函数当x=0时y=。max③顶点坐标是（，＝-x

的顶点坐标是（，

+2的点坐标是（，）所＝-x

向

平移

个单位便可以得到的顶点坐标是（，）所以+2向5

平移

个单位便可以得到。4变式训练二次函数y=

4

x+3

的图像是

线，开口向，顶点坐标是，对称轴是；当时，y随x增大而。当x=

时，y有最

值为。三、挖掘材---物线＝ax

+k以由抛物线＝ax

经过向上（）向下(平移|位得到。3

35＝-2x的图像向

的图像向下平移个单到函数y=-4+平移个单位而得到。

2

x

的图像可以看作函数y=x6已知：二次函数＝ax的图与反比列函数y=

kx

的图像有一个公共点是（求二次函数及反比例函数解析式；在同一坐标系中画出它们的图形，说明取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。四、反思结：填表回忆函数

草图

开口方向

对称轴

增减性

顶点坐标

最值y=axy=ax

(a<0)y=ax(a>0)y=ax

+k(a<0)2.抛物y=ax

+k可以由抛物线y=ax

经过向）或向平移

个单位得到。【达标测】1抛物线y=-x

可以看作是抛物线

经过向

平移

个单位得到。2抛物y=x的开口向，对称轴是，在对称轴左侧yx的大而，在对称轴的右侧，yx的增大而；顶点坐标是，当

时，y最

值为。3抛物线y=-3x

上有两点A（x，yx=，y=。4抛物线y=3x与直线y=kx+3的交点为（2，b，b=。222222学习必备

欢迎下载第课时

二次函y=a(x-h)和＝a(x-h)+k图象性质【学习目标1．能够作出函y=a(x-h)

和y＝

+k的图象，并能理解它与＝ax

的图象的关系，理解，hk对二次函数图象的影响；2．能够正确说出二函数的顶点式y＝a(x-h)

+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。【学习重点能够作出函数和＝a(x-h)+k的图象，正确说出y象的开口方向、对称轴和顶点坐标。你画出这物线的【学习过程一、学习备1．说出下列函数图的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。（1）y=2x²（2）

yO

x．请说出二次函数y=ax²+c与的关系。．我们已知y=ax²y=ax²+c的图像及性质，现在同学们可能想探究²图像，那我们就动手画图像。=x

…………

…………列表、描、连线。二、解读材4由学习准备可知，我们如果知道一条抛物线的顶点坐标，那么画图像就比较简单，所以我们可以先配成完全平方式结构。现在我们画二次函数+2图象．在同一直角坐标系中作y=3x²，y=3(x-1)2，y=3(x-1)+2的图像，并结合图像完成下表。

y函数

开口方向

对称轴

顶点坐标

最值y

2O

xyy

观察后得到：二次函数＝3x

，y=3(x-1)

，y=3(x-1)

的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y＝

的图象向右平移1个单位，就得到函y=3(x-1)

的图象；再向上平移2个单位，就得函数三、挖掘材5．抛物线的点式y＝a(x-h)+k

的图象．在前面的学习中你发现二次函数a(x-h)+k的ah，k决定了图形什么？用自己的语言整理得：同桌交流看是否有遗漏！然后填写下表。==学习必备

欢迎下载+k

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值＞＜即时练习直接说出抛物线y=-0.5x²y=-0.5x²-1，（x+1，（x+1的开口方向、对称轴、顶点坐标。y=a(x-横

2

+纵6．例知：抛物线

+k的形状及开口方向与y=-2x

相同，当x=2，函数有最大3，hk值。即时练习已知抛物线的顶点坐标是（35）经过点A（-5你求出此抛物线的解析式。7.例二次函数

的顶点坐标是它的图像向右平移单位再向下平移2单位此时得到的抛物线顶点坐标为，它的解析式为。四、反思结1．一般地，平移二函数的图象便可得到二次函数为y=ax，＝a(x-h)，y=a(x-h)+k的图象律为：上正下负，右正左负）左右平移

(x–h)+

上下平移=

+k

=a–h)

上下平移

左右平移2二次函数的顶式y＝a(x-h)2+k的图象是轴对称图形对称轴为x=h,点坐标为h,k),a决开口方向和大小，a0，开口向上，有最小值a＜0时，开口向下，最大值k。【达标测】1．指出下面函数的口方向，对称轴，顶点坐标，最值。y=2(x-3)-5(2)

-1y=2(x-2)

(5)

(6)2数x

图象向平移个单位得到y=x+3的图象向平移个单位得到y(x-1)+3的图象。学习必备

欢迎下载第5时

二次函ybx的图象与性质【学习目】1．理解用配方法导二次函数

y

2

的顶点坐标，对称轴公式的过程；2．会用公式求二次数

y

2

的顶点坐标，对称轴；3．会画二次函数

ybxc

的图象，理解二次函数的性质。【学习重】会用式求二次函数

yaxbxc

的顶点坐标，对称轴。【学习难】理解配方法推导公式的过程。【课时类】公式则学习一、学习备1．理解记忆：ya(h)

2

开口方向

对称轴

顶点坐标0

向上向下

直线

（h，）2．二次函数

yx

的顶点坐标是，对称轴是。二、解读材3．公式推导二次函数

yax

2

图象的顶坐标，对称轴公式。由上一节课我们看到一个二次函数通过配方化成顶点式

ya(h)

2

来研究了二次函数中的ak对二次函数图象的影响。但我觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。那么这节课，我们就研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。例求二次函数

y

2

图象的顶点坐标，对称轴。解：

yax

2

=

ax

2

bcx)aa

横=

b2

=h纵=

4ac4

2

=k=

[x

2

bbcx))2]2a2a=

a(

b4ac)224

2二次函数

yax

2

c

的顶点坐是（

bac2a4

2

，对轴是直线

x

b2

。4．公式应用—用公式求函数

y

2

的顶点坐标，对称轴。别用配方法，公式法确定下列二次函数的顶点坐标，对称轴并比较其解值。①

y

②

yx2x5．实际操作—画二次函数

学习必备ybxc的图象

欢迎下载（2）已知：二次数

yx

2

①指出函数图象的顶点坐标，对称轴。②画出所给函数的草图，并研究它的性质。三、挖掘材—二次函

y

2

的性质6．抛物线

y

2

bx

）通过配方可变形为y=

a(

bac)2

2口方向：当

时，开口向；当

时，开口向。称轴是直线；顶点坐标是。大（小）值：当

a

，

b2a

时，y=

4ac4

2

；当

，x

b2

时，=

。减性：当a时，对轴左侧（

x

b随x增大而；对称轴右侧随x增大而；2a2a当

时，对称轴左侧（

x

b随x增大而；对称轴右侧2a2a

y随x增大而；【达标测】根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。①

y

2

x

②

y

2

③

y

2

④

yx

2

学习必备

欢迎下载第6课

二次函y(x)与一元二次程12【学习目】1．体会二次函数

(x)(x)2

与一元二次方程之间的联系；2解二次函数

yax(a0)

的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。【学习重】把握次函数图象与x轴（或y=h）交点的个与一元二次方程的根的关系。【学习难】应用一元二次方程根的别式、求根公式对二次函数及其图象进行进一步的理解，并结合二次函数的图象加以分析以解决一些问题。【学习过】一、学习备1．已学二次函数的两种表达式？

2．分解因式：x-2x-3；

3．解程：x

-2x-3=0二、解读教材4．一元二次方程的两根x，x在哪里？1在坐标系中画出二次函数y=

-2x-3图象，研究抛物线与轴的交点，你发现了什么？

yO

x再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧!5．二次函数的两根式（交点式）二次函数

yax(a0)

的另一种表式y=a(x-x（≠）叫做二次函数的两根式又称交点式。12练习：将下列二次函数化为两根式：（1）y=x

+2x-15；（2y=x

3）y=2x

+2x-12；（4）

（5）y=4x

+8x+4（6）y=-2(x-3)

+8x三、挖掘教材6．抛物线

yax

2

(a0)

与x轴是否有交点？例你能利用b之间的某种关系判断二次函数

yax

2

(a0)

的图象与x轴何时有两个交点，何时一个交点，何时没有交点吗？即时训练1）已知二次函数y=mx-2x+1的图象与轴有两个交点，则k的取值范围为。（2）抛物线y=x与x的两个交点y轴对称，则其顶点坐标为。（3）抛物线y=x与轴相切，则

。学习必备

欢迎下载7．弦长公式抛物线与x的两个交点的距离叫弦长（如下图中AB。例求抛物线x

-2x-3x轴两个交点间的距离。

y总结：已知抛物线

yax(a0)

Ax与x轴的交点坐标是A（x，和B（x，

O

x

对

x那么抛物线的对称轴x=

，

x1

2

=

(x)

=

。即时训练：抛物线y=2(x-2)(x＋5)的称轴为，与x轴两个交点的距离为

。四、反思小结——二次函数与一元二次方程的关系知识点1次函数y=ax＋bx＋c图象与轴交点有三种情况，，，交点横坐标就是一元二次方程＋bx的。知识点2二次函y=ax＋bx的图象与x轴的弦长公式：。【达标测评．抛物线y=-9(x-4)(x＋与x的交点坐标为．抛物线＋＋与轴只一个交点，则．二次函数y=kx＋3x－4图象与轴有个交点，则的取值范围

。。

。4．抛物线y=3x

＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3

B2

．个

D0个5．与x轴不相交的抛线是（）A．y=3x

B．

Cy=-x

．y=-

13

、(x+2)6．已知二次函数y=x

＋＋m－2求证：无论m取何实数，抛物线总与轴有两个交点。7．抛物线y=mx

＋－＋m－2（）与x轴有两个不同的交点。（1）求m的取值范围；（2）判点P(1，是在此抛物线上？8二次函数y=x

－－3)x－的图象如图所示。（1）试求m为何值时，抛物线与的两个交点间的距离是3（2）当m为何值时，方

－－3)x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的点为M与x轴的交点Q求当PQ最短时△MPQ的面积。、oooooooo学习必备第7课

欢迎下载刷图训【学习目】据二次函数系数bc画出抛物线的必要条件：开口方向、对称轴、顶点坐标与坐标轴的交点坐标。【学习重】二次数一般式与顶点式、交点式的互化；找特殊点的坐标。【候课朗】【学习过】一、学习备1．二次函数的一般为：y=

（其中

a

，、c为常数点式为：y=

，它的顶点坐标是，对称轴是；交点式为：（其中x，是1

y

时得到的一元二次方程

2

的根2函数

y2bx(0)中，a定抛物线的开口方向当＞0时当a＜0时；

a确定抛物线的对称的位置当、同号时对称轴在y轴的

侧a、异号时对称轴在x轴的

侧；负半轴。（可记为“左同右异c确定抛物线与y轴的

的交点位置：当＞时于轴的

半轴；c＜时交于二、阅读解．定义：物线的草图能大致体现抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与y轴的交点、x轴上的两根为整根的抛物线叫抛物线的草图。．在抛物的三种解析式的图象息：一般式能接体现开口方向、与轴的交点；顶点式能直接体现开口方向、对称轴顶点坐标两根式能直接体现开口向、与轴的两个交点。因此，它们各优劣，其中以顶点式为最佳。5．灵活转化三种形式并画出草图

①

a

（用配方法）

4

4例作出函数

y2x

的大致图象。

32

32解：

yxx

2x

1-4-3-2-1

1234

1-4-3-2-1

1234

-2-3

-2-3-4

-4则大致图象是（画在上左图中即时练习在上右图中作出函数

y

2

x

的大致图象。②

（对称轴公式+代值）

例作出函数

yx

2

x

的大致图象。

4

4b5解：22513当x时，y-42min

321-3-2-1

1234

321-4-3-2-1

1234

则大致图象是在左图中）

-2-3

-2-3即时练习在右图中作出函数

y2x

-4的大致图象。

-4oo学习必备

欢迎下载③

a

（公式法例

作出函数

y

2

的大致图象。解：∵

b42a

，484a

，∴则大致图象是空白处画图）即时练习在右边空白处作出函数

y

2

的大致图象。④两根式（先转化为一般式，再转换成顶点式）

例作出函数

y

的大致图象。

4解：

29244

321-4-3-2-1-2-3-4

1234

x

92

则大致图象是：

6．含有参数的抛物线中的图象信息

43例作出函数

y

2

的大致图象。

21解：a=1>0，则开口向上，b1而对称轴x2

。

则大致图象是：

-4-3-2o-1-2-3

1234

-4即时练习在右边空白处画出函y=－大致图象。变式训练画出函数y=－x+mx+3的大致图象。三、巩固练：出下列函数的大致图象①

y

2

x

②

y

2

x③

yx

2

④

y

x

x

学习必备

欢迎下载第8课根据物得二次数数息【学习目】根据象得到

、b、

及它们之间的关系。【学习重】读图找出特殊点的坐标。【学习过】一、学习准备二次函数

y

中，它的顶点坐标式可写为__________________对称轴是，顶点坐标是，还可以写为：，其中对称轴是__________顶点坐标是。二、典例范例已知函数

y

2

的图象如图所示，

x

13

为该图象的对称轴，根据图象信息，你能得到关于系数a、

的一些什么结论？

解：由图可得：⑴

a

＞0；

对称轴在轴的左边

、b

0；同号，称轴在y轴的右边，b1，a，由⑴可b＜0；23a、b又＜1＞0则＜2，；2

-1

-1

1/3

⑷由⑴⑵⑶abc＞0；⑸考虑

时＜0，以有

a

＜0；⑹考虑

x

时y0，所以有

＞0；⑺考虑

x

时＞0，所有

ab

＞0，同理

xb

＞0；⑻图象与x轴有两个交点，所以

＞0例如图是二次函数

y2bx

图像的一部分，图像过点A

，对称轴

x

，给出四个结论：①，②2

，，5a其中正确的结论是（）

yA②④

B①④

、③

D、①③分析：由图象可以知道a＜；抛物线与x轴有两个交点，∴

b＞0，b＞4；

A

x又对称轴

x

b2

a0∴∴

2，a、b均为负数ab当x＞0；综上，正确的①④，故选。

时，抛物线有最高点，

y例如图所示的抛物线是二次函数

yax

22

的图象，那么的值是____

1分析：由图象可知：a＜；当x

时即

a

2

∴a但是a0，

。

ox学习必备

欢迎下载三、巩固练1．抛物线

y

2

如图所示，则（）A、a＞0b＞＞0B、a＜c＜0C＞0＞c＜0Da＞00＞2．已知二次函数

y2bx

的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（）①

＜0＞0，＞，baA、4

B3

、2个

D、3．已知函数第题

yy

2

的部分图像如图所示，则0，x_____时，的增大而减小。yyx=-1第题第题o

o

1

x

o

1

x4知一次函数

yax

的图像过点

关于抛物线

y2

的三条叙述过定②对称轴可以是

③＜时，其顶点的坐标的最小值为其中正确叙述的个数是（）A、0B、1C、2D、35．已知二次函数

的图象如图所示，当y＜0时，x的值范围是（）A－＜x3B、x＞3C、xD、x3x＜-16．抛物线

y

ax2

的图象与x轴的一个交点是

，下列说法中不正确的是（）A抛物线的对称轴是

x

B、抛物线开口向下、抛物线与x轴的另一个交点是

D、当

时，y有最大值是37．已知二次函数的象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A

y

B、

y2xCyx2

D、

yxy

第5题

y32

y3x

1-11

第题x

3x第7题8．在直角坐标系中一个二次函y=ax+bx+c的图象，且满足b<0c<0。。9．已知y=x

的图象如图所示，则a的取值范围是。10据图抛物线y=ax

+bx+c定式子符号00④b

0a+b+c⑥。11若函数y=ax+bx+c的对称轴x=1图所示，则下列关系成立的是）A、abc>0B、C、a>ab-acD>012．若二次函数+bx+c的图象如图所示则直线y=abx+c不经过yyy

象限。

y第9题

第

第题

第12Ox

1x

Ox

Ox学习必备

欢迎下载第9课

求二次数的解析式一）【学习目标1．握已知三点，会用一般式求函数的表达式；．掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。．掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。【学习重点用一般式、顶点式求函数的表达式。【学习难点用顶点式和两根式求函数的表达式。【学习过程一、学习备：．已知一次函数经过点（2，0一次函数的解析式为。．二次函数的一般式为，二次函数的顶点式，二次函数的两根式（或交点式）为。二、方法究（一）——已知点，用一般式求函数的表式。3．例二次函数的图象经过（0，21）三点求二次函数的解析式。4．即时练习已知抛物线经过A（0（10（，1三点，求二次函数的解析式。三、方法究（二）——已知点及一点或对称轴或函数最值，用顶点式求函数的解式。5．例已知抛物线的顶点坐标为（-2，3经过点（-17函数的解析式。解：设抛物线的解析式为

y(

2

。把顶点（－2，3）,即h=-2k=3代入表达式为y(2再把（－1，7）代上式为7(1

2)解得

a

所以函数解析式为

yx即

yx

2

6．即时练习（）抛物线经过点－

时，函数有最小值为－9，抛物线的解析式。学习必备

欢迎下载（2已知二次函数

ya(x当时函数有最大值其过点(2)求这个二次函数的解析式。四、方法究（三）——已知两及一点或对称轴或数的最值，用两根式求出数的解析式。7．例已知抛物线经过（－，00过（，6三点，求二次函数的表达式。解：设抛物线的解析式为

y(x)(x)12把抛物线经过的（－10两点代入上式为：y(x再把（2，6）带上式为

6

a(2解得

所以函数的解析式为

yx即

y8．即时练习已知抛物线经过A（0（40C(0，，求二函数的解析式。五、反思结——求二次函数解式的方法．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。．用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。【达标测】求下二次函数的解析式：1．图象过点（，）2，2．当x=2时，

=3，且过点（1，-3最大值3．图象与x轴点的横坐标分别为和-4且过点，-10)学习必备

欢迎下载第课时

求二次数的解析式二）【学习目标1．解二次函数的三种表示方式；2．会灵活地运用适的方法求二次函数的解析式。【学习重点灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。【学习过程一、学习准备1．函数的表示方式三种：

法，

法，

法。2．二次函数的表达有：、，。二、典型题——用适当的方法出二次函数的表达3．例1已知抛物线

yax

2

bx(

与x轴的两个交点的横坐标是－3，点坐标是（1，－2函数的解析式（用三种方法）4．即时练习用适当的方法求出二次函数的解析式。一条抛物线的形状与

y

2

相同，且对称轴是直线

x

，与轴交于点（1抛物线的解析式。5例2已知如图，抛物线

ax

与轴的一个交点为A(-1,0)与y轴的正半轴交于点。⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点坐标；⑵当点CO=

3

时，求抛物线的解析式。CC学习必备

欢迎下载6即时练习已知直线y=2x-4与抛物线y=ax+bx+c的图象相交于A，mB(n点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。三、反思结——求二次函数解式的方法1．已知三点或三对x、y的对应值，通常用

y2(a

。2．已知图象的顶点对称轴，通常用

ya(x)

2

0)

。3．已知图象与x轴的点坐标，通常用

ya(a1

。四、巩固练1．已知二次函数图的顶点坐标为，该二次函数的图与x轴交于A、B点，其中A点的坐标为(4,0)。（1）求B点的坐标（2）求这个二次函数的关系式；2．线

y3与

点

A与y

点线yax

233

(a

经过

，，C

三点。（1）求过

，，C

三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。

A

O

B

x（2）在抛物线上否存在点P直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由。

F=4=4学习必备

欢迎下载第课

利用二函数求最大润【学习目】1能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；2．并能运用公式当x=－

b2a

时，y

4ac最大（小）值

解决实际问题。【学习重】用“形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。【学习难】分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系。【学习过】一、学习准备1．二次函数

+bx+c的图像是一条___________，它的对称是直线x=－

b2

，顶点是______________2．二次函数y=-2x

+3x-1的图象口_，所以函数有最______值即当x=

时，y=_________。二、解读材3．例某商经营T恤，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是件，而单价每降低元，就可以多售200件。问销售价是多少时，可以获利最多？分析：若设销售单价为x(x≤元，所获利润为y，则：售量可以表示为______________________________(2)销额可以表示为___________________________；售成本可以表示为____________________________；(4)获利润可表示为解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿根据题意得关系式：y=____________________即y=

。∵a=<0，∴有最

值。即当x=_______________=______________时y。答：方法小结解决此类问题的一般步骤是：设—设出问题中的两个变量（即设未知数列—用含变量的代数式表示出等量关系，列出函数解析式；自—找出自变量的取范围；图—作出函数图像（注意自变的取值范围最—在自变量的取值范围内，取函数的最值答—根据要求作答4．即时练习某商店购买一批单价为元的日用品，如果以单价元销售，那么半月内可以售出400件。据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减20件。如何提高销售价，才能在半学习必备

欢迎下载月内获得最大利润？三、挖掘材5．例某商经营T恤，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降1，就可以多售件。如果售价不高于，问销售价是多少时，可以获利最多？注意自变范围哟！6．即时练习求二次函数y=x-x≤0的最大、最小值。四、反思结．二次函数是解决实际问题中“最值”问题较好的数学模型；．注意解决此类问题的一般步骤——“设【达标测】1．某商店购买一批价为8元的商品如果以单价10元销售，那么每天可以售出件。据销售经验，售单价每提高元，销售量相应减少10件将销售价定为多少，才能使每天获得最大利润？最大利润是多少？2．某旅行社组团旅，30人起组团，每人单价800元，每团乘坐一辆准载50人的大客车。旅行社对超过人的团给予优惠，即每增加一人，每人的单价降低10元。你能帮助计算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？条条学习必备欢迎下载利用二函数求最大积第课时【学习目】．经历探索最大面积问的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验；2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系并能够运用公式当x=

b2a时,

=

4ac4

解决实际问题中的最大（小）值问题。【学习重】利用二次函数的有关知识解决实际问题。【学习过】一、学习准备1函数y=axa若a>0则当x=-

b2

时y()

=

若a<0则当x=

时y()

=

。2．在二次函数y=2x-8x+9中当x=

时，函数y最

值等于。3．如图，在BC长为，AM16cm△ABC内接矩形EFGH并且它的一FG在△ABC的边BC上，、分在AB、上，若设EF为xcm，请用代数式表示EH。

这是一个级图形哟！解：∵矩形EFGH∴EHBC∴AEH∽___________。又∵BC上的高AM交EH于T。

公式：

上底上高下底全高AT∴AM∴EH=

，

1616。

。

C二、解读材4．在上题图中，若使矩形EFGH获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？解：设矩形面积为，而，

，则y=

=

。

利用相似角形性质和矩形面积∵a=-

54

则y有最_值。∴当x=______，则y。此时

。答：

。．想一想：活4过设EHxcm能解决问题吗？（试一试吧．即时练习在eq\o\ac(△,)的内部作内接矩形ABCD其中AB分别在两直角边上，点C斜边上。①设矩形ABCD的AB＝那么AD边的长度如何表示？②设矩形的面积为ym，x取何值时，y的值最大？最大值是多少？解：学习必备

欢迎下载（2）将（）题变式：其它条件和图形都不变，设AD边的长为x，则问题又怎样解决呢？解：三、挖掘材：7．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)QMN的内部作内接矩形ABCD，AD别在两直角边上，BC在边MN上。M①设矩形的边BC=xm，则AB边长度如何表示？

B②设矩形的面积为

，当取何值时，的最大值是多少?30m

A

COD40m

N8．即时练习如图，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角∠C=120°，腰与下底AD的和为。当水渠深（）为何值时，横断面积（S）最大？最大值多少？

E

解：

四、反思结：过学习上节和本节解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？

我认为解决此类问题的基本思路是：

。【训练提】1．用48m长的竹篱笆围建一矩形养鸡场鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2m宽的门(不用篱笆)，问养鸡场的边长为多少时，养鸡场占地面积最大最大面积是多少2．正方形边长5cm等腰三角形，PQ=PR=5cm，QR=8cm，B、C、同一直线l上，当CQ两点重合时，等eq\o\ac(△,)以的速度沿直线l向左方向开始匀运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm，解答下列问题：A

B当t=3s时，求的值；当t=3s时，求的值；当5s≤t≤时求与t函数关系式，并求的最值。

M

DCRl学习必备

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专题复——次函数与几【学习目】1．能由几何图形立二次函数模型解决有关几何问题。2．能从抛物线中找几何图形解决有关几何问题。【学习重点】用二次函数图象性质解决几何问题。一、学习备1．写出二次函数+bx+c(a≠0)的对称轴，顶点坐标。2．谈一谈二次函数

+bx+c(a≠0)与的交点个数的情况：。3．二次函数+bx+c(a≠0)与y轴的交点是。二、专题练例如图，等腰直角三角ABC以2米/秒的速度沿直线向正方向移动，直AB和CD重合，x秒时三角形与正方形重叠部分的面积为平方米，中正方形的边长等于AB且为米。出y与x的关系表达式。当，3，4时，y分别是多少？当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？分析：在运动变化过程中，两个变量的关系可用函数表达式来描述，最终用函数知识来解决。

例．抛物线y=x与x轴交于A、两点，顶点坐标为。明△ABP一定是等腰三角形。当b何值时,△ABP是直角三角形？当b何值时,△ABP是等边三角形？学习必备

欢迎下载例．如图，已知二次函y＝的顶点坐标为(0，，形ABCD的顶点B在轴上，A、两点在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成图形内。求二次函数的解析式。设A标为(x，y)，求矩形ABCD的周长于自变量x的函数解析式，并求出自变量的取值范围。yDAOB

x【达标测】1．如图所示，二次数y=x-4x+3图象交x轴于AB点，交轴于点，则△ABC面积为）

yO

AB

xA、6B、、D、12．如图所示，抛物y＝

+bx+c与轴有一个公共点P，y轴的交点为，过的直线y＝与轴交于点A，与这条抛线交于另一点B，S＝3S，求这个二次函数解析式。学习必备

欢迎下载3．已知eq\o\ac(△,在)中，BC=20，AD=16内接矩形EFGH顶点、上，GH分别在AC、AB上，求A内接矩形EFGH的最大面积。H

GB

DF4．某学校的围墙上由一段段相同的拱形栅栏组面，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的路径A、B间，按相同的间0.2m根立柱加固,拱高为0.6m，以Ｏ为原,所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,根以上的数据，则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到。

yB

AOx学习必备

欢迎下载5．如图，二次函y+bx+c的图象与轴与点A和B，与y轴于点，若AC=20∠ACB=90，求这个二次函数的解析式。AOBx6．已知二次函数图的顶点坐标C（1，0线y＝x+m该二次函数的图象交于A，点，其中A的坐标为（，4B在y轴上。求m值及这个二次函数的关系式。线段AB上的一个动点（点A，B重合P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E，设线段的长h，横坐标为x，求hx之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。D为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线AB上是否存在一点，使得四边形是行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标，若不在，请说明理由。

y

ADB

OC

x学习必备

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复习与结—知识梳理【学习目标1．确梳理本章重要知识之间的区别和联系；2．熟练掌握二次函的图象与性质，并会利用二次函数的图象与性质解决问题。【学习重点掌握二次函数的图象与性质。【学习难点运用二次函数的图象与性质解决问题。【学习过程一、知识构相关概念

二次函数图象与性质

注意知识架哟!解析式的确定二次函数

抛物线

对称轴

顶点

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

极值

一般式

顶点式

两根式二、回顾思考1．二次函数

yax

2

(a0)

的图象是一条，它的顶点坐标是，对称轴是直线。2．二次函数

yax(a

中，的作用：（1）a值决定抛物线的开口，

a

值决定抛物线的开口：①当a＞0时，开口向；②当a0时，开口向；③

a

越大，抛物线的开口越，

a

越小，抛物线的开口越，

a

相同的抛物线，通过平移（或旋转、折叠）一定能够互相。

可记为“左同右异”（2和b值共同决定抛物线的对称轴极值和增减性等①当时对称轴为②当a号时，对称轴在轴

侧；③当ab号时，对称轴在y轴的

侧；④当，且x=

时，函数有最

值是，此时x＞

bb时，y随的增大，当2

时，随x的增大而⑤当且x=

函数有最

值是此时当＞

b2

时，y随x增大而，当x

b2

时，y随x增大而在旁边画草图分析（3）值决定抛物线与

的交点的位置：①当c=0时，抛物线经过，②当c>0，与y轴交于

半轴，③当c<0时，与y轴交于

半轴，抛物线与y轴的交点坐标是。（4

b

决定抛物线与x轴的交点的个数当△>0元二次方程

2

bxa有两个有两个

的实数根物线与轴有的实数根物线与轴有

个交点当△=0元二次方程个交点当△<0元二次方程

22

bxabxa实数根，抛物线与x轴有

个交点。=(x–h)+平平=(x–h)+平平学习必备

欢迎下载（5函数解析式的三种形式般式y

2(0)

点式a((0)③交点式：ya()(x)(，抛物线与x轴的交点坐标是（x，和（,0根