2022年中考总复习数学第四章三角形

第四章三角形

第11节几何图形初步

1中考课标导航

目录2，必备知识梳理

^

、3中考真题回顾

刁｀中考考点透视

匹

中考课标导航

课标考点考情

©会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线

段中点的意义．

l．直线、射线、

©掌握九个基本事实（本节涉及五个）．线段、角

＠理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，

会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、

差．理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对

2．相交线与平行

5年2考

顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）线

的补角相等的性质

匹

续表

课标考点考情

令理解平行线概念；掌握平行线的性质定理．探索并证明平

行线的判定定理．了解平行千同一条直线的两条直线平行．

令探索并证明角平分线的性质定理．

令理解垂线、垂线段等概念．理解线段垂直平分线的概念，

3．多边形

探索并证明线段垂直平分线的性质定理．5年5考

与三角形

令结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题

及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成

立其逆命题不一定成立．了解反例的作用．通过实例体会反

证法的含义．

匹

续表

课标考点考情

令探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．理解

三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概

念了解三角形的稳定性．了解三角形重心、内心、垂

心的概念．4．定义、命题15年1考

定理及证明

令了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、

对角线等概念探索并掌握多边形内角和与外角和公

式探索并证明三角形的中位线定理

本节复习目标：

1.能运用直线、线段、垂线、平行线相关的基本事实解释生活中的现象；

2.能用相交线形成的各种角的数量关系进行推理和计算，能运用平行线的判定和

性质、三角形内角和定理及推理进行推理和计算；

3.能结合三角形的重要线段进行证明与计算；

4.熟悉基本图形及其特征，能准确分析题目的条件，识别或构造基本图形

匹

必备知识梳理

一、直线、射线、线段、角

1.直线基本事实：两点确定一条直线

基本事实：两点之间线段最短

2.线段十线段中点：如图1,点C是线段AB的中点，则有AC=BC=½AB

线段的和差：如图2,在线段AB上取一点M,则有

AM+BM=AB,AM=AB-BM,BM=AB-AM

AB

C

BAM

图l

图2

匹

余角｛定义：若4A+4B=90°，则乙A与乙B互余

性质：同角或等角的余角相等

｛定义：若4A＋乙B=180°，则LA与乙B互补

3.角的基础知识补角

性质：同角或等角的补角＝枑翌＿

角的换算：1=_§Q_',1'＝巠L"（角的度、分、秒是60进制）

理：角平分线上的点到角两边的距离相等

4．角平分线

产逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平

分线上

匹

二、相交线与平行线

1．相交线

类型相交垂线（垂线段）

/c.

图示

A于B

(1)对顶角相等

(1)基本事实：过一点有且只有一条

乙1＝乙3,乙2＝乙4.

直线与已知直线垂直

结论(2)互为补角的两个角之和等180°.

(2)直线外一点与直线上各点连接

乙1＋乌＝乙l＋乙2=

的所有线段中，线段最短垂

乙2+乙3=乙3+乙4=180°

匹

续表

类型垂直平分线三线八角

嚷``

l乡-夕夕

图示A、、-lB

(1)性质（定理）：线段垂直平

(1)同位角：乙l与乙5，乙2与三立，

分线上的点到这条线段两个

乙3与乙7,乙4与乙8

端点的距离相等

结论(2)内错角：4生与乙8，乙3与4立

(2)逆定理：到一条线段两个端

(3)同旁内角：乙2与乙5,

点距离相等的点，在这条线

乙3与乙8

段的垂直平分线上

匹

2.平行线

基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线

平行

基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，

(1)基本事实及推论1那么这两条直线平行

推论：平行千同一直线的两直线平行．例如，allb,bl/c,

则a/le

补充：＠两条平行线之间的距离处处相等

＠）在同一平面内，垂直千同一直线的两条直线平行

（解答题不能直接使用）

匹

性质

两直线平行仁＝二同位角相等

判定

性质

(2)性质及判定］两直线平行==-内错角相等

判定

两直线平行号卢-同旁内角互补

_匹

＿、三角形的概念及性质

稳定性：三角形具有稳定性

：边分类可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形，其中等腰三角形

1．三角形分类又可分为底边与腰不相等的等腰三角形和等边三角形

角分类分为三类：（1)锐角三角形；（2)直角三角形；（3)钝角三角形

内角和定理：三角形的内角和等千~CLl+L2+L3=180°)

角的1外角和定理：三角形的三个外角和等千360°(L4+L5＋乙6=360°)

关系内外角［一个外角等千和它不相邻的两个内角的和（例如，乙~6=f¾3)

关系一个外角太士＿任何一个和它不相邻的内角（例如，乙6>乙2)

_匹

＿、-三角形的概念及性质

三角形任意两边之和大于第三边（两点之间线段最短）

边的1（例如，AB+BC>AC)

1．三角形

关系三角形任意两边之差少土＿第三边（如IBC-ABI<AC)

注意：判断三条线段能否构成三角形，应将两条短线段的

和与最长线段作比较

边角关系：同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角

匹

2.三角形中的重要线段

中线高线

AA

图示

BrII、

B~CDC

点O为各边中线的交点点O为各边高线的交点

(1)点O是6.ABC的重心

(2)AO=20D(1)乙AOE=乙BOD＝乙ACB

结论(3)S丛AOF=SLBOF=(2)乙DAC＝乙EBC

s凶BOD=S凶COD=(3)~AEOU')~BDOU')~BECU')~ADC

s凶COE=S心AOE

匹

2．三角形中的重要线段

中垂线角平分线中位线

AA

图

BC

,-

n6BC

，B~C:

刀

点0是角平分线的交

点O是各边中垂线的点D,E分别是“1,AC的中点

点

(1)OD=OF

(1)乙BOC=2乙BAC1

(2)三角形三条角平DEi/BC且DE=-BC

(2)乙AOB=2乙ACB2

结分线的交点是三角形

(3)乙AOC=2乙ABC（遇到中点时，常构造三角

论的内心形的中位线，利用中位线的

(4)点O是fu!BC的外心，

(3)内心到三条边的性质解题）

外心到三个顶点的距离相等

距离相等

匹

四、多边形的性质

(1)内角和定理：n(n~-3)边形的内角和等千(n-2)•180°

1.多边形1(2)外角和定理：n（n>3)边形的外角和等千360°

的性质(3)对角线规律：过n(n~3)边形的一个顶点可引(n-3)条

n(n-3)

对角线，n边形共有2对角线』l]A

彝

180沪'-

,\1A

，夕，＇夕180°_4

A{`I

;..----

夕＇---－-------I

nI

、..、........180°`

/且5

8、00..、..、

7

匹

(n-2)·180°

(1)各边相等，各内角相等，每一个内角为n；各外角相

360°

等，每一个外角为n

2．正多边

形的性质(2)正n边形有旦条对称轴（例如，正五边形有5条对称轴，正六边形

有6条对称轴）

(3)当n为奇数时，正n边形是轴对称图形，不是中心对称图形

当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

匹

2.正多边形的性质

(4)正多边形绕中心旋转一定角度可以与自身重合，边数越多，绕中心旋转

与自身重合的角度越小，总结如下：

图示

□。。

绕中心旋转与

自身重合的最120°^goo72°60°

小角度

图示。勹•••正n边形

绕中心旋转与

360°45°•••360°

自身重合的最

7n

小角度

匹

五、命题

命题：判断一件事情的语句，叫做命题

真命题：条件成立，结论一定成立（例如，两直线平行，内错角相等）

命题1假命题：条件成立，结论不一定成立（例如，两直线平行，同旁内角相等）

逆命题：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第

二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做

另一个的逆命题

匹

中考真题回顾

一、平行线的性质与判定

1.(2019山西5题）如图，在6.ABC中，AB=AC,乙A=30°,直线a/lb，顶点

C在直线b上，直线a交AB千点D,交AC于点E,若乙1=145°'则乙2

的度数是(C)

A.30°

B.35°

Ba

C.40°

D.45°cb

匹

2.(2017山西2题）如图，直线a,b被直线c所截，下列条件不能判定直线a

与b平行的是(D)

A.乙1＝乙3

a

B.乙2+乙4=180°

C.14b

乙=乙4

D.乙3＝乙4

3.(2015山西6题）如图，直线a/lb,一块含60°角的直角三角板ABC（乙A=

60°)按如图所示放置．若乙1=55°'则乙2的度数为(C)

A.105°

B.110°

C.115°

b

D.120°

B

匹

4.(2014山西2题）如图，直线AB,CD被直线EF所截，ABIICD,

乙1=.110°，则乙2的度数等千(B)AC

A..65°E---lr----/:l:.F

B..70°

C.75°

B

D.80°D

匹

二、多边形的性质

5.(2018山西12题）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征

着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2

是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则乙l＋乙2+乙3

＋乙4+乙5=360°.

图1图2

匹

中考考点透视

考点一直线、射线、线段、角

1.将下列生活、生产现象所运用的数学知识写在相应的横线上．

B

平板弹墨线沿CD铺设管道弯河道改直

图1图2图3

如图1,基本事实是两点确定一条直线；

如图2,数学原理是垂线段最短;

如图3，基本事实是两点之间线段最短．

匹

2．如图，6.AOB和6.COD中，乙AOB＝乙COD=90°，若点E在边DO的延长

线上，CD与OB交千点F.

(1)LAOE的补角是三杜少，乙AOE的余角是乙AOC或乙BOD，与乙AOE

相等的角是乙COB，其依据是同角的余角相等．

(2)若乙AOE=20°，请你直接写出图中可以求出的角的度数（至少写出

4个）

解：乙COB=20°，乙AOC＝乙BOD=.70°,

乙EOB=110°,乙AOD=160°.A

。D

E

匹

.--随堂笔记--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

两角互余（互补）是角的基本等量关系，常用千角的计算和推理，

余角和补角的性质是证明两角相等的重要依据，要善千利用图形中互

余、互补关系解决问题．

匹

考点二相交线与平行线

3．如图，直线AB,CD被直线EF,HG所截．

(1)若乙1＝乙2,则EF//HG，依据：同位角相等，两直线平行．

(2)若乙4＝乙6,则，AB/／CD依据：内错角相等，两直线平行．

(3)若ABIICD，则乙3与乙5的数量关系是乙3＋乙5=180°'

依据：两直线平行，同旁内角互补

ACBD

FG

匹

4．如图，直线allb,6.ABC中，乙A=30°，乙ACB=90°.

(3)如图:B,6.ABC的顶点B冶切劣刹在直缄1B,在直线若和b之闻)0'

刺乙2＝双》。．则乙3=_j虹二，乙1=40°.

A

aab

bc

C

图3图4

(I)如图I,~ABC的顶点B准切钱别秘直搁a，戌川生查殿压白下苏lo'

姐必笠直线褂凡上汜3三1~oO,则乙2=l60°，乙3=100°.

匹

随堂笔记

利用平行线的性质获得角的等量关系是求角度的重要方法．计算角

·的度数时，若已知平行线，则要识别图中的“同位角、内错角、同旁

内角”；若无平行线，则通过作平行线构造“三线八角“基本图形，

然后运用平行线性质解决问题；若图中有三角形，则要综合运用三角

形内角和定理及其推论进行计算．

------一一----一-----------------------一-----一··一一一一一一一一一---------------一一---一--一-----一--一一---一一一一一一一一一··一--------一------一---------一一一一一--一-----一-----一一一一一一一一一一一··--------------------------------------

匹

平行线相关角度计算中构造基本图形的常用方法如下（已知ABIICD):

1．作平行线构造基本图形2.延长相关线段构造基本图形

ABAB

ABAB

\

E

E,

、,

、,

、,

、,

`,

一一一一一一·

DCDCDCFDFC

EABEABF

B','----、,

AB/_/1i'A

,,

DII

IC',',,IDI/IC

,,

•-----------署·--.

DCFEDFCE

匹

考点三多边形与三角形

A

5.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是今＿，

能引五条对角线FB

6．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为6．连接AE,EC,CA,BE.

Ec

(1)乙AFE=~'乙AEF＝血，乙AEC＝骂·

(2)正六边形ABCDEF的内角和为卫垃0'外角和为泌贮D

(3)凶EC的形状为等边三角形，AE的长为丘压

(4)BE与AC的位置关系为BE=2AF,BE与AF的位置关系为BE//AF,

BE与AF的数量关系为BEj_AC.

(5)正六边形ABCDEF有立条对称轴

(6)将该正六边形绕中心旋转，顺时针旋转矿后仍与原图形重合，若oo<

a0~360°，则a的值为60或120或180或240或300或360.

匹

随堂笔记

11.多边形内角和随边数的变化而变化，外角和固定为360°．若已知多边形的边数，

}则运用多边形内角和定理求内角和；若已知多边形的内角和求边数，则利用多

}边形内角和定理列方程．

；2．根据正多边形的边数，可以求出其每个内角与外角的度数．正多边形的对角

}线常构成特殊三角形，要结合相关三角形的性质推理和计算．

L-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－--－－－－－－－－－』

匹

7．如图，在6.ABC中，乙BAC=70°,点D在BC的延长线上，

乙ACD=130°.

(1)乙ABC=60°.

(2)若AB=3,AC=5,BC=a，则a的取值范围为2<a<8.

(3)如图2,在图1的基础上作AE上BC千E,AF平分乙BAC交BC

千点F，则乙BAE=』釭，乙EAF＝且二，乙AFC=95°.

AA

BD

DB

EFC

图l

c图2

匹

随堂笔记

与三角形有关的求角度问题，常用到：

l．三角形内角和定理及其推论；

L2．三角形相邻的内外角互补．

-------－---啊．一··-－--啊．一一一一··••一一一··一啊．------·畸一一一一一一··--

匹

8.已知6ABC中，乙BAC=70°.

(1)如图1，乙ABC的平分线与乙ACB的平分线交千点D,则

乙BDC的度数为125°·

(2)如图2，乙ABC的平分线与乙ACE的平分线交千点D,则

乙BDC=35°.

(3)如图3，乙CBF的平分线与乙BCE的平分线交千点D,则

乙BDC=55°.A

A

Bc

二D

B/3

图l图

匹

随堂笔记

三角形内角或外角的平分线组成的角与三角形的第三个角的度数

有特定的等量关系计算角平分线组成的角的度数时，通常要利用三角

形内角和定理及其推论，结合代数运算的手段解决．例如，

1．基本图形刁B

DBc

凶＋LB=LC+LD.点D是~ABC内部一点．

11

则LBDC=LA+—LB+—LC.

22

匹

2.双角平分线组成的基本图形

AI

乙ABC与乙ACB的平分线交千点P.

1

则乙BPC=90°+－乙A

Bc2

p

乙ABC与乙ACD的平分线交千点P.

1

则乙BPC=－乙A

B2

CD

A

乙CBD与乙BCE的平分线交千点P.

1

DVpE则乙BPC=90°-－乙A

2

匹

9．如图，在~ABC中，CD,BE分别为AB,AC边上的中线，且

交千点O，连接DE.

(1)若BC=6，则DE=3.

(2)若~ABC的面积为12，则~ADC的面积为丘，~ADE的面

积为立，丛DOE的面积为上，丛DOB的面积为生

A

Bc

匹

10.如图，在锐角三角形ABC中，三角形的两条高AD,BE交千点H.

(1)图中相等的锐角有乙CAD＝乙CBE,乙AHE＝乙BHD＝乙c.

(2)连接CH并延长CH交4B千点F,则乙AFC＝旦E

(3)图中与LAEH相似的三角形有.

(4)若乙ABC=45°,写出图中的全等三角形，并说明理由．BDc

解：LADC竺LBDH．理由如下：

·:AD是BC边上的高，乙ABC=45°,:.LADB=乙ADC=90°.

：．乙BAD=45°,．．．乙ABC＝乙BAD,:.AD=BD.

·:BE是AC边上的高，．．．乙AEB=90°.．．．乙AHE＋乙HAE=90°.

．：乙ADB=90°,．．．乙BHD+乙HBD=90°,

．：乙AHE=乙BHD,．．．乙HBD=乙HAE.

在丛ADC与~BDH中，乙ADC=乙BDH,AD=BD,乙CAD=乙HBD.

.•.~ADC竺~BDH(ASA).

匹

11.如图，在L.ABC中，直线OE,OF分别是L.ABC中AB,AC边的中垂线

（即垂直平分线），乙OBC,乙OCB的平分线相交于点I,连接OJ,试判断

直线OJ与BC的位置关系，并给出证明

A^

解：OJJ_BC.证明如下：

,

连接OA，过点I作JMJ_OB于点M，过点I作

JNj_OC于点N，过点I作JGJ_BC于点G,

？直线OE,OF分别是AB,AC边的中垂线，

:.oA=OB,OA=oc,:.oB=oc,Br

立OBC,乙OCB的平分线相交于点I,G图

:.IM=JG,IN=JG,:.IM=IN.

:．点I在乙BOC的平分线上．

·:oB=OC,．．．直线01J_BC.

匹

考点四定义、命题、定理及证明

12.命题”等腰三角形的两底角相等”的逆命题为有两个角相等的三角形是等

腰三角形.

13.说明命题“若a>b,则a2>b2”是假命题，符合要求的反例是(B)

A.a=2,b=-1B.a=-I,b=-2

C.a=2,b=l...D..a=-I,b=0

14．用反证法证明命题“已知L,.ABC,AB=AC．求证：乙B<90°”时，第一

步应先假设CA)

A.乙B~90°B.乙B>90°

C.乙B>90°D.AB=/:-AC

匹

15.(2021河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，乙ACD是6.ABC的外角．求证：乙ACD=乙A+乙B.

证法1:如图，．．立A＋乙B+乙ACB=180°（三角形内角和定理），

又．．立ACD＋乙ACB=180°（平角定义），

:．乙ACD＋乙ACB=乙A+乙B＋乙ACB（等量代换）．

:．乙ACD＝乙A＋乙B（等式性质）．A

证法2:如图，．．.LA=76°，乙B=59°,

且乙ACD=135°（量角器测量所得），

又...135°=76°+59°（计算所得），

:．乙ACD=乙A+乙B（等量代换）．BCD

下列说法正确的是(B)

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理

匹

随堂笔记

1.任何一个命题都有逆命题，交换原命题的条件和结论可以得到其逆

:命题

2.判断一个命题是假命题，举一个反例即可；判断一个命题是真命题，

则要用演绎推理的方法证明．，

-------－－－－－～一一一一一一一一血．一一一一一一一～一一一一一一--一一一一一一一一嘈．一一一一一一一一一一一一一一一一

第12节全等三角形

1中考课标导航

目录2，必备知识梳理

^

、3中考真题回顾

刁｀中考考点透视

匹

中考课标导航

课标考点考情

©理解全等三角形的概念，能识别全等三角

1.全等三角形的性质与

形中的对应边、对应角5年5考

判定

＠掌握判定三角形全等的三个基本事实

©证明定理：两角分别相等且其中一组等角

的对边相等的两个三角形全等

55

©探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、|2．全等三角形的应用年考

直角边“定理

本节复习目标：能用“SAS""ASA""SSS""AAS""HL"证明三角形全等，并

能利用三角形全等解决问题．

匹

必备知识梳理

全等三角形的性质与判定

1.概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

2.性质：（1)全等三角形的对应边相等、对应角相等．

(2)全等三角形的对应线段（角平分线、高、中线、中位

线）相等

(3)全等三角形的对应周长相等、对应面积相等．

匹

3.判定

SAS（边角ASA（角边SSS（边边AAS（角角HL（斜边直

边）角）边）边）角边）

仁仁22己已巳巳

两边及其夹角分

``两角及其夹边分三边分别相等的两角分别相等且斜边和一条直

别相等的两个三

别相等的两个三两个三角形全等其中一组等角的角边分别相等

角形全等角形全等对边相等的两个的两个直角三

（基本事实）

（基本事实）（基本事实）三角形全等角形全等

匹

中考真题回顾

全等三角形的判定

1.{2019山西17题.7分））已知：如图，点B,D在线段AE上，

AD=BE,AC/IEF,乙C＝乙F．求证：BC=DF.

C

A

证明：?AD=BE,:.AD-BD=BE-BD.

:.AB=ED.

·:ACIIEF,:.乙A＝乙E.

在丛ABC和丛EDF中，乙C＝乙F,乙A=乙E,AB=_ED.

:．公ABC竺6.EDF(AAS).

:.BC=DF.

匹

中考考点透视

考点一全等三角形的性质与判定

l．如图，点A,D,C,F在同一条直线上，且AD=CF.

(1)若AB=.DE,BC=EF,乙B=70°，则乙E=.~.

(2)若AB=DE,添加一个条件：BC=EF（或乙BAC=乙EDF),

则LABC竺LDEF，依据为SAS（或AAS或ASA).

(3)若乙EDF＝乙BAC，添加一个条件：DE=AB（或乙FED＝乙CBA,

或乙EFD=乙BCA!则LDEF竺丛ABC,依据为SAS（或AAS或ASA).

ADcF

匹

2．如图，已知AD,AF分别是丛