高考数学专题复习精-导数的应用(2)(理)

导数的应用精选ppt导数的应用举例1解:(1)由已知

f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于

f(x)

在

[-1,2]

上的最大值小于

m.单调递增区间是

(-∞,-

)

和

(1,+∞).

23设

f(x)=x3-

x2-2x+5.(1)求函数

f(x)

的单调递增、递减区间;(2)当

x[-1,2]

时,f(x)<m

恒成立,求实数

m

的取值范围.12令

f(x)<0

得

-

<x<1;23令

f(x)>0

得

x<-或

x>1.23∴y=f(x)

的单调递减区间是

(-

,1);2323令

f(x)=0

得

x=-

或

1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5

,12f(-

)=5,232722∴f(x)

在

[-1,2]

上的最大值为

7.∴7<m.故实数

m

的取值范围是

(7,+∞).

精选ppt导数的应用举例2解:(1)函数

f(x)

的定义域为

(-1,+∞).

∴当

a<0

时,f(x)>0,f(x)

在

(-1,+∞)

上为增函数;设

f(x)=x+1

-aln(x+1),aR,且

a0,取e=2.7.(1)求

f(x)

的单调区间;(2)比较

x+1

与

ln(x+1)

的大小,并加以证明.2(x+1)x+1

-2a=

.又

f(x)=-2

x+11

x+1a当

a>0

时,令

f(x)<0

得

-1<x<4a2-1;令

f(x)>0

得

x>4a2-1.∴当

a>0

时,f(x)

在

(-1,4a2-1)

上为减函数,在

(4a2-1,+∞)

上为增函数.综上所述,当

a<0

时,f(x)

的单调递增区间为

(-1,+∞);当

a>0

时,f(x)

的单调递减区间为

(-1,4a2-1),单调递增区间为

(4a2-1,+∞).精选ppt导数的应用举例2由(1)知

g(x)

在

(-1,3)

上为减函数,设

f(x)=x+1

-aln(x+1),aR,且

a0,取e=2.7.(1)求

f(x)

的单调区间;(2)比较

x+1

与

ln(x+1)

的大小,并加以证明.解:(2)

x+1

>ln(x+1),证明如下:

=2-ln4>0.∴g(x)≥g(3)>0.即

x+1

>ln(x+1).设

g(x)=

x+1

-ln(x+1),又

g(3)=

3+1

-ln(3+1)在

(3,+∞)

上为增函数,精选ppt导数的应用举例3设函数

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数

f(x)

的单调区间、极值;(2)若当

x[a+1,a+2]

时,恒有

|f(x)|≤a,试确定

a的取值范围.13解:(1)由已知

f(x)=-x2+4ax-3a2,

∵0<a<1,∴a<3a.令

f(x)=0

得

x=a

或

x=3a.当

x

变化时,f(x),f(x)

的变化情况如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f(x)-0+0-f(x)

极小值极大值由上表可知,

f(x)

的单调递增区间是

(a,3a),单调递减区间是(-∞,a)

和

(3a,+∞).当

x=a

时,

f(x)

取极小值

f(a)=-

a3+b;43当

x=3a

时,

f(x)

取极大值

f(3a)=b.精选ppt导数的应用举例3设函数

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数

f(x)

的单调区间、极值;(2)若当

x[a+1,a+2]

时,恒有

|f(x)|≤a,试确定

a的取值范围.13解:(2)∵0<a<1,∴2a<a+1.∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,

∴f(x)=-x2+4ax-3a2在

[a+1,a+2]

上为减函数.f(x)min=f(a+2)=4a-4.

∵当

x[a+1,a+2]

时,恒有

|f(x)|≤a,即-a≤f(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a

且

2a-1≤a.

解得

≤a≤1.

45又

0<a<1,故

a

的取值范围是[

,1).45精选ppt已知函数

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在

x=0

处取得极值,曲线

y=f(x)过原点和点

P(-1,2).若曲线

f(x)

在点

P

处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求

f(x)

的解析式;(2)若

f(x)

在区间

[2m-1,m+1]

递增,求

m

的取值范围.导数的应用举例4解:(1)∵曲线

y=f(x)=ax3+bx2+cx+d

过原点,∴

f(0)=0d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.∵函数

f(x)=ax3+bx2+cx

在

x=0

处取得极值,∴f(0)=0c=0.∵过点

P(-1,2)

的切线斜率为

f(-1)=3a-2b,而曲线

f(x)在点

P

的切线与直线y=2x

的夹角为45,且倾角为钝角,解得

f(-1)=-3.又

f(-1)=2,∴||=1

且

f(-1)<0.2-f(-1)1+2f(-1)∴3a-2b=-3

且

-a+b=2.解得

a=1,b=3.∴f(x)=x3+3x2.精选ppt已知函数

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在

x=0

处取得极值,曲线

y=f(x)过原点和点

P(-1,2).若曲线

f(x)

在点

P

处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求

f(x)

的解析式;(2)若

f(x)

在区间

[2m-1,m+1]

递增,求

m

的取值范围.导数的应用举例4解:(2)由(1)知

f(x)=3x2+6x.又由

f(x)>0x<-2

或

x>0,∴f(x)

的单调递增区间为

(-∞,-2]

和

[0,+∞).∵函数

f(x)

在区间

[2m-1,m+1]

递增,

∴2m-1<m+1≤-2

或

m+1>2m-1≥0.∴[2m-1,m+1]

(-∞,-2]

或

[2m-1,m+1][0,+∞).解得

m≤-3

或

≤m<2.12即

m

的取值范围是(-∞,-3]∪[,2).12精选ppt导数的应用举例5已知函数

f(x)=x3-ax2-3x.(1)若

f(x)

在区间

[1,+∞)

上是增函数,求实数

a

的取值范围;(2)若

x=-是

f(x)

的极值点,求

f(x)

在

[1,

a]

上的最大值;(3)在(2)的条件下,

是否存在实数

b,

使得函数

g(x)=bx

的图象与函数

f(x)

的图象恰有三个交点,若存在,求出实数

b

的取值范围;若不存在,请说明理由.13解:(1)由已知

f(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)

在区间

[1,+∞)

上是增函数,∴在

[1,+∞)

上恒有

f(x)≥0,即

3x2-2ax-3≥0

在

[1,+∞)

上恒成立.则必有

≤1

且

f(1)=-2a≥0.a3解得

a≤0.故实数

a

的取值范围是

(-∞,0].由于

f(0)=-3<0,精选ppt∴f(x)=3x2-8x-3.在

[1,4]

上,当

x

变化时,f(x),f(x)

的变化情况如下表:∴f(x)

在

[1,4]

上的最大值是

f(1)=-6.(3)函数g(x)

与f(x)

的图象恰有三个交点,即方程

x3-4x2-3x=bx

恰有三个不等实根.(2)由题设

f(-)=0,即+a-3=0.131323解得

a=4.令

f(x)=0

得

x=-或

3.13x1(1,3)3(3,4)4f(x)-0+f(x)

-6-18-12∵x=0

是方程一个的根,∴方程

x2-4x-3=b

即

x2-4x-(3+b)=0

有两个非零不等实根.∴△=16+4(3+b)>0

且

3+b0.解得

b>-7

且

b-3.故实数

b

的取值范围是

(-7,-3)∪(-3,+∞).精选ppt已知函数

f(x)=x2eax,其中

a≤0,e

为自然对数的底数.(1)讨论函数

f(x)

的单调性;(2)求函数

f(x)

在区间

[0,1]

上的最大值.导数的应用举例6解:(1)∵f(x)=x2eax,

∴f(x)=2xeax+x2eaxa=(ax2+2x)eax.∵a≤0,∴对函数

f(x)

的单调性可讨论如下:①当

a=0

时,由

f(x)<0

得

x<0;由

f(x)>0

得

x>0.∴f(x)

在

(-∞,0)

上单调递减,在

(0,+∞)

上单调递增;②当

a<0

时,由

f(x)<0

得

x<0

或

x>-;2a由

f(x)>0

得

0<x<-

.2a在

(-

,+∞)

上也单调递减.2a∴f(x)

在

(0,-)

上单调递增,在

(-∞,0)

上单调递减,2a精选ppt已知函数

f(x)=x2eax,其中

a≤0,e

为自然对数的底数.(1)讨论函数

f(x)

的单调性;(2)求函数

f(x)

在区间

[0,1]

上的最大值.导数的应用举例6解:(2)由(1)知当

a=0

时,f(x)

在区间

[0,1]

上为增函数;∴当

a=0

时,f(x)

在区间

[0,1]

上的最大值为

f(1)=1;当

-2≤a<0

时,f(x)

在区间

[0,1]

上为增函数;∴当

a<-2

时,f(x)

在区间

[0,1]

上的最大值为:

当

a<-2

时,f(x)

在区间

[0,1]

上先增后减,∴当

-2≤a<0

时,f(x)

在区间

[0,1]

上的最大值为

f(1)=ea;且在

x=-时取最大值.2af(-)=

.2aa2e24精选ppt导数的应用举例7证:(1)∵x<e2,∵当

x>1时,

g(x)>0,

∴g(x)

在

(1,+∞)

上为增函数.又

g(x)

在

x=1

处连续,∴f(x)=lnx<2.

已知函数

f(x)=lnx.(1)求证:当

1<x<e2时,有

x<;(2)求证:当

x>a>0

时,恒有

ax

<

<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a22-f(x)2+f(x)∴要证

x<成立,即

lnx>

成立.

x+12(x-1)记

g(x)=lnx-

.x+12(x-1)则

g(x)=-

(x+1)2

4

1x只要证明

x(2-lnx)<2+lnx,x(x+1)2

(x-1)2

=

.∴g(x)>g(1)=0.∴

lnx>

成立.

x+12(x-1)∴当

1<x<e2时,有

x<成立.

2-f(x)2+f(x)精选ppt导数的应用举例7证:(2)由(1)知对任意的

x(1,+∞),∴h(x)

在

(1,+∞)

上为减函数.已知函数

f(x)=lnx.(1)求证:当

1<x<e2时,有

x<;(2)求证:当

x>a>0

时,恒有

ax

<

<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a2都有

lnx>

成立.

x+12(x-1)∵当

x>a>0

时,

>1,

ax∴ln>.axax+12(-1)ax∴

lnx-lna>

.x+a2(x-a)lnx-lnax-a∴

<,x+a2记

h(x)=lnx-,x

x-1则

h(x)=

x

x

-(

x

-1)2

12<0,

x-af(x)-f(a)即

<.x+a2∴h(x)<h(1)=0.∴对任意的

x(1,+∞),都有lnx<

.x

x-1x-af(x)-f(a)同理可证

ax

<.x+a2∴

ax

<

<.x-af(x)-f(a)精选ppt导数的应用举例8已知函数

f(x)=(

-1)2+(-1)2

的定义域为

[m,n),且

1≤m<n≤2.(1)讨论

f(x)

的单调性;(2)证明:对任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.xmnx(1)解:∵f(x)=(

-1)2+(-1)2xmnx=

+--

+2,m2x2x2n22xm2nx∴f(x)=-

-+

m22xx32n22m2nx2m2x32=(x4-m2n2-mx3+m2nx)m2x32=(x2-mx+mn)(x+

mn)(x-

mn

)∵1≤m≤x<n≤2,

∴>0,

m2x32x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+

mn>0.∴由

f(x)<0

得

m≤x<mn;由

f(x)>0

得

mn

<x<n.∴f(x)

在

[m,

mn

)

上是减函数,在

[

mn,n)

上是增函数.精选ppt导数的应用举例8已知函数

f(x)=(

-1)2+(-1)2

的定义域为

[m,n),且

1≤m<n≤2.(1)讨论

f(x)

的单调性;(2)证明:对任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.xmnx另解:由题设

f(x)=(+

-1)2-

+1.xmnx2nm令

t=+,xmnx∵1≤m<n≤2,

x[m,n),nm则

t≥2

=2xmnx>2,t=-

.

1mx2n∴由

t<0

得

m≤x<mn;由

t>0

得

mn

<x<n.∴t(x)

在

[m,

mn

)

上是减函数,在

[

mn,n)

上是增函数.∵函数

y=(t-1)2-

+1

在

[1,+∞)

上是增函数,2nm∴f(x)

在

[m,

mn

)

上是减函数,在

[

mn,n)

上是增函数.精选ppt导数的应用举例8已知函数

f(x)=(

-1)2+(-1)2

的定义域为

[m,n),且

1≤m<n≤2.(1)讨论

f(x)

的单调性;(2)证明:对任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.xmnx∴对任意的

x1,x2[m,n),有(2)证:由(1)知

f(x)

在

[m,n)

上的最小值为

f(mn

)=2(-1)2,nm最大值为

f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|≤(-1)2-2(-1)2nmnm=()2-4

+4

-1.nmnmnm令

u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm∵1≤m<n≤2,

∴1<≤2.nm∴1<u≤

2

.∵h(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u+

)(u-

)>0,5+125-12∴h(u)

在

(1,

2

]

上是增函数.=42

-5.故对任意

x1,x2[m,n),|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.∴h(u)≤h(

2

)=4-8+42-1

精选ppt导数的应用举例9已知某厂生产

x

件产品的成本为

C=25000+200x+

x2(元),问:(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件

500

元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?401解:(1)设平均成本为

y(元),则

y=25000+200x+x2x401当且仅当

x=1000

时取等号.

(2)利润函数为

L=500x-(25000+200x+

x2)401=++20040xx25000x2500040x≥2+200=250.故要使平均成本最低,应生产

1000

件产品.

401=300x-

x2-2500.L=300-

x.201令

L=0得

x=6000,

∵当

x<6000

时,L>0;当

x>6000

时,L<0,∴当

x=6000

时,L

取得最大值.

故要使利润最大,应生产

6000

件产品.

精选ppt导数的应用举例10某厂生产某种产品,已知该产品的月产量

x(吨)与每吨产品的价格

p(元/吨)之间的关系式为

p=24200-

x2,且生产

x

吨的成本为

R=50000+200x

元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)15解:

设每月生产

x

吨的利润为

y

元,则

x≥0,且y=(24200-

x2)x-(50000+200x)15=-

x3+24000x-50000.15由

y=-

x2+24000=0

得35x=200(-200舍去).∵在

[0,+∞)

上只有一个点

x=200

使

y=0,∴它就是最大值点,且最大值为-

2003+24000200-5000015=3150000(元).故每月生产

200

吨产品时利润最大,最大利润是

315

万元.精选ppt导数的应用举例11若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方

s

元(以下称

s

为赔付价格):(1)将乙方的年利润

w(元)表示为年产量

t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额

y=0.002t2(元),在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格最大是多少?甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润

x(元)与年产量

t(吨)满足函数关系

x=2000

t

.解:

(1)∵赔付价格为

s

元/吨,∴乙方实际年利润

w=2000

t

-st.∵w=2000

t

-s(t

)2

=-s(

t

-

)2+.

s1000s10002

∴当

t=时,w

取得最大值.s210002

s210002

∴乙方获得最大利润的年产量为

吨.

精选ppt另解:

∵赔付价格为

s

元/吨,∴乙方实际年利润

w=2000

t

-st.由

w=-s=

,t1000t1000-st令

w=0

得

t=t0=.s210002

∵当

t<t0时,w>0;当

t>t0时,w<0,∴当

t=t0时,w

取得最大值.

s210002

∴乙方获得最大利润的年产量为

吨.

(2设甲方净收入为

v

元,则

v=st-0.002t2,将

t=

代入上式得:s210002

又

v=-+

s210002

s5810003

v=-.s10002

s4210003

s510002(8000-s