《高等数学(工本)》自学考试辅导与典型例题

《高等数学(工本)》自学考试辅导与典型例题《高等数学工本》自学考试辅导与典型例题课程代码00023目录第一部分自学考试导航一快速入门1二试卷结构答题技巧及题型示例4第二部分函综合练习第一章数6考核要点6

例题解析7同步强化训练18一单项选择题18二填空题21参考答案22第二章极限与连续24考核要点24例题解析24同步强化训练42一单项选择题42二填空题46三计算与证明题48参考答案50

第三章导数与微分57考核要点57例题解析57同步强化训练73一单项选择题73二填空题78三计算与证明题79·1·参考答案82第四章导数的应用93考核要点93例题解析93

同步强化训练122一单项选择题122二填空题126三计算与证明题128参考答案131第五章不定积分法146考核要点146例题解析146同步强化训练164一单项选择题164二填空题167三计算与证明题168

参考答案171第六章定积分及其应用185考核要点185例题解析185同步强化训练222一单项选择题222二填空题227三计算与证明题228参考答案233第七章向量代数与空间解析几何253考核要点253例题解析254同步强化训练275

一单项选择题275二填空题281·2·三计算与证明题283参考答案285第八章多元函数微分学295考核要点295例题解析295同步强化训练325一单项选择题325二填空题329三计算与证明题331

参考答案334第九章多元函数积分学353考核要点353例题解析354同步强化训练395一单项选择题395二填空题401三计算与证明题403参考答案408第十章常微分方程429考核要点429例题解析429同步强化训练442

一单项选择题442二填空题444三计算与证明题445参考答案445第十一章无穷级数452考核要点452例题解析453同步强化训练469一单项选择题469·3·二填空题473三计算与证明题474

参考答案476第三部分模拟自测题及参考答案模拟自测题一490模拟自测题一参考答案496模拟自测题二501模拟自测题二参考答案506第四部分近年考试试题选编及答案全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题16510全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题16答案517全国高等教育自学考试《高等数学工本》

试题28520全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题28答案528全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题38531全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题38答案538全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题91541全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题91答案549全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题41552

全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题41答案559·4·全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题23564全国高等教育自学考试《高等数学工本》试题23答案571·5·第一部分自学考试导航一快速入门一本书特点和自学方法1本书的特点

本书是我们长期学习辅导和研究的成果主要是让学生在全面掌握书本知识的基础上对学习和考试中的重点和难点进行理解和把握本书具有以下特点1全面性全面性是指综合练习题覆盖考试大纲所要求的各个考核知识点这包括所有需要识记领会和运用部分2技巧性本辅导书的技巧性主要表现为同一内容可采用几种不同的出题方法这些方法主要包括正面与反面顺向与逆向因前果后与果前因后直接与间接单一与综合等3综合性本辅导书的综合性是指理论知识内容的综合理论与实际的综合4侧重性本辅导书主要侧重于基本知识基本运算方法是为了让考生多见题型使学生提高运算能力和做题技巧

5典型性本辅导书的典型性是每个试题都包含一个或几个知识点也可通过试题了解每一个知识点可能以何种题型出现2自学方法1在开始阅读某一章之前先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点自学要求重点难点以及对各知识点的能力层次要求和具体要求以便在阅读教材时能做到心中有数避免平均使用力量2每一章节要逐段细读逐句推敲集中精力吃透每一个知识点对基本概念必须深刻理解对基本理论必须彻底弄清对基本方法必须牢固掌握3在自学过程中既要思考问题也要进行演算把定理证明公式推导例题计算等再演算一遍这样可以加深和巩固对定理公·1·

式的印象也有利于了解推理和计算中的关键所在训练解题能力从而不断提高自学能力4定理是由条件与结论两部分构成的定理的条件在证明结论的过程中必然用到因此在学习时要注意在证明的哪些地方用到了这些条件应用定理时必须要求定理中的条件得到满足不顾条件任意滥用定理必定会导致错误的结果教材中有些定理的证明没有给出因为它超出了本课程的要求但对这些定理的含义与作用必须理解透彻不要轻易放过5做作业是帮助理解消化和巩固所学知识培养分析问题解决问题以及提高运算能力的重要环节在做作业之前必须认真阅读教材内容切勿误认为会做题就是掌握了教材内容做题要步骤清楚运算准确书写整洁要演算出最后结果切勿草率了事急于求成否则效果往往会适得其反教材中的自我检查题是用来检查

各阶段的学习效果衡量经过自学是否已经达到了大纲要求具有阶段测验性质要在做完一般作业的基础上再做这些题并要在规定的时间内独立闭卷完成二自学和应试时应注意的问题1自学时应注意的问题1要紧扣课本和考纲学习由于自学考试自身具有的特点要求考生在自学时必须紧扣课本把考试大纲的考核知识点研究好研究透对考纲规定的识记部分要加强记忆对领会部分要加深理解和把握对运用部分要做到灵活运用2要学会运用练习题练习题一般有两个方面的作用一是巩固以前学过的知识二是发现学习中没有注意到的问题学生在自学的过程中应学会把握练习题的这两个方面的作用达到事半功倍的

效果3要正确区分易混淆的知识点对于易混淆的知识点学生在自学过程中应特别注意其联系与区别因为这部分往往是考试中出现频率较高的知识点4要正确处理重点和一般的关系课程的内容有重点与一般之分但考试内容是全面的而且重点与一般是相互联系的不是截·2·然分开的考生在全面系统地学习教材掌握全面考核内容和考核知识点的基础上应重点突出2应试时应注意的问题很多考生在平日学习中能够很好地理解领会掌握书本的知识但是在考场上受时间心理等各种因素的影响制约往往不能发挥应有的水平为了克服不利因素的影响考生在考试中就要注意

一些问题这些问题克服了就能起到事半功倍的效果1头脑清醒情绪平稳考试是一种高强度高难度的脑力劳动因此一定要在考试过程中保持健康的身体清醒的头脑考前要休息好考试是一种静思沉思而紧张的思维活动不宜太紧张太惧怕需要保持一种平稳的心态使答题过程达到并保持最佳的思维状态才有可能考出自己水平甚至超水平的成绩切忌进考场前说说笑笑打打闹闹和答题过程中注意力分散2按序做题先易后难一般重要的正规考试试题有难有易难易兼顾既有理论知识的理解记忆又有理论知识的分析综合推理等运用整个试题的排列顺序是先易后难由低分到高分考生不必把试题通读一遍既浪费时间又会遇到一些难题而引起不必要的惊恐假如在本该容易答的前面试题中遇到一些不会答的试题时

也不要紧张把不会答的试题留下继续往后做对自己来说容易的试题当返回来再做时也许就会答了3审题仔细务求准确审题是答题的前提审题不准不全就会答错答偏审题差之毫厘答题就会谬之千里自考试题有一部分不是简单明了一目了然的选择题的一个问题有四个备选答案看错或理解错一句话甚至一个字就会全错了因此在考试中一定要仔细审题切忌马马虎虎看一眼就马上做题4胸中有数对号入座所谓胸中有数就是考生在考前对基本理论基本知识的重点内容有一个全面的系统的理解和记忆审题时把试题输入大脑并同已储存的知识信息相联系进而判断试题所考的范围与要求最后给出正确的答案只有胸中有数才能实现对号入座5稍息后查不急交卷试卷答完后为了防止思维定势不要

·3·立即就查待稍息一会再复查也许能查出不妥之处有的考生为了显示能耐考试时间未到就急于交卷这是不必要的二试卷结构答题技巧及题型示例1试卷结构本课程的命题考试以大纲规定的考试内容和考试目标为根据考试命题覆盖到各章并突出重点章节加大重点内容的覆盖密度试卷中不同能力层次的试题所占分数的比例大致是识记占15领会占30简单应用占35综合应用占20试题的难易程度比较合理试题的难度可分为五档易较易一般较难难每份试卷中五档试题所占的分数比例依次约为1∶2∶4∶2∶1

2答题技巧及题型示例根据教学大纲的有关要求和历年来的考试实际本课程的题型有填空题选择题计算题证明题和应用题等几种常见题型现分别说明如下1填空题填空题也属于客观性试题考查考生对重要概念定理等的掌握情况并适当地灵活运用已掌握的知识如函数fxtan4πx3的最小正周期是2选择题单项选择题属于客观性试题其特点是难度较小在四个备选答案中只有一个正确答案题量大一般在15道以上覆盖面广教材中每一章节都会涉及因此选择题的得分情况常常关系到考生能否及格这类题主要考查考生的记忆判断和理解能力在答题时应注意首先认真审题弄清题干的内容要求这是选择题

选准正确答案的关键如直线xyz与平面2xyz1的位置关系是A互相平行C相交B互相垂直D直线在平面内3计算题计算题是一种主观性试题也是较难的一类题它考查考生运用所学知识综合解决问题的能力做这类试题首先要认真分析然后写出公式必要的解答过程最后写出结果即可·4·1-x如求xedx∫

4证明题证明题也是一种主观性试题它主要考查考生综合运用知识的能力做此类试题首先要认真分析理清证明的思路然后再把必要的证明步骤写出来否则就会出现证明到中途而此路不通的情况浪费考试时间进而影响成绩1如证明当x1时不等式2x3-成立x5应用题应用题属主观性很强的试题重在考查考生综合分析问题和解决实际问题的能力一般题目不多且均为各章重点内容但单题分值较高往往一道题就可直接影响考生能否及格因此应倍加重视在解答应用题时要做到观点正确思路清晰条理明确一目了然

如求曲线yx与直线y12xy10所围成的图形的面积·5·第二部分综合练习第一章函数考核要点1正确理解函数的定义要弄清楚定义中的两个要素定义域和对应法则要能区分fx包括分段函与fa要会计算函数值数2要牢记基本初等函数的定义域会求比较简单的函数的定义域

3要弄清楚反函数的概念以及它与原函数在表示式上几何图形上的关系要牢记反三角函数的主值范围4要弄清复合函数的概念并能将几个函数正确地复合成一个函数更为重要的是把一个函数分解成几个简单函数的复合5能判定一些比较简单函数的单调性有界性奇偶性周期性如果函数存在这些性质6要熟悉基本初等函数的图形与形态重点函数概念初等函数难点复合函数·6·例题解析一填空题

1-x21函数y解-111-xln1x1-x的定义域为2由01-x≥0x≠-1得-1x1即定义域为1x-11x1x22设fx则fx1的定义域为12≤x≤3解-32]

因为fx的定义域为-23]故-2x1≤3即-3x≤2所以fx1的定义域为-32]3设yfx-2的定义域为[14则fx的定义域为解[-12因为fx-2的定义域为[14故-1≤x-22即fx的定义域为[-124设fx2x21则fx-12解x-6x10因为fx2x2-221故fx-

1x-1-22221x-31x-6x10π5如果fxsinx则f-sin42解-sin2·7·ππ2f-sinsin-sinsin-

4422-sin26函数fxtan4πx3的最小正周期是1解41因为tan4πx3πtan4πx3tan4πx341

x2且f[x]x≠-1则x15f25解-3x2-5因为fx2f[x]x2-1x-5所以fxx-15555故f-5-1-22238函数yπarcsinx的反函数为2π3π解y2sinx-π22的反函数xx所以x-1y-2x-2x23则4-xx0解-22因为当x≤0时yx所以y≥0x-y33即x-23故4-4-xx0二单项选择题x2x≤-21设fxx9-2x2则下列各式中不成立的x2x≥2是Af-2f2Bf1f4Cf-1f3Df0f-3解选B因为f-3-329f-2-224f-1-1233928f08f49f110f224f4216显然f1≠f42已知函数fx的定义域为[-12]则函数Fxfx2f2x的定义域为

A[-30]B[-31]·9·1102C-1D-2解选D因为fx的定义域为[-12]故有-3≤x≤0-1≤x2≤2即1-1≤2x≤2-≤x≤12

1[f-1]11-10故选A224函数fxlnxax-lna是A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D奇偶言取决于a值解选B22因为f-xln-xax-lna2a22ln22-lna2lna-lnxax-lnaxax

22-[lnxax-lna]-fx5使等式arcsinsinxx成立的所有x为A-∞∞B[-11]ππC-D-ππ22解选Cππ因为-≤arcsiny≤令xarcsiny则ysinx于是得22·10·

ππ到-≤x≤时有22xarcsinyarcsinsinx6函数fxx2-∞x∞是1xA有界函数B无界函数C上无界下有界D上有界下无界解选A222x因为x-1≥0即x1≥2x

2≤1所以1xxx2x22≤2≤1故fx-∞x∞是有1x1x1x界函数11-x7函数ye-∞x∞是2A单调增函数C非单调函数解选BB单调减函数D有界函数

11-xe-x因为y2e2e显然由图形可知为单调减函数8函数fx在-∞∞有定义则对任意的xy有fxyfxfyf12则f2A-2B-1C-4D4解选D由fxyfxfy得f11f1f1224即f249下列各对函数中为相同函数的是32

Afxxx-1fxx-x12Bfxarcsinsinxfxx122Cfx1-cos2xfx2sinx122Dfxlnxfx2lnx12·11·解选C

因AD中两函数的定义域不同B中两函数的对应规律不同例x在-∞∞上有定义且fxx为偶函数则[fx]为A奇函数故[fx]为偶函数11已知偶函数fx在[04]上是单调增函数则f-π与flog18的大小关系是2Af-πflog18Bf-πflog1822Cf-πflog18D不能确定2解选C因为fx为偶函数且在[04]上是单调增函数故fx在[--31

40]上是单调减函数又log18log1-3-π故f-π222flog18212下列函数中为周期函数的是2AysinxByarcsin2xCyxsinxDytan3x-2解选Dπ因为tan3x-2tan3xπ-2

3tan[3x-2π]tan3x-2π故ytan3x-2是以为周期的周期函数313设fx-1则f7是以3为周期的奇函数且f-1·12·A1B-1C2D-2解选A因为f7f12×3f1-f

-1114下列函数中为基本初等函数的是32Ay2xtanxByx2Cy1xDyln1x解选B由定义可得三计算与证明题1求下列函数的定义域2

4x-x21y2y16-xlnsinx1-x-124x-x≥0解1由1-0≤x≤4解得x-1≠0x≠0且x≠2所以函数的定义域为02∪24]216-x≥0由-4≤x≤42解得其中k取整

sinx02kπx2k1π数借助于数轴解此不等式组得函数的定义域为[-4-π∪0π2设函数yf3x-2的定义域是[14]求函数yf3x1的定义域解由1≤x≤4得的定义域1≤3x-2≤10故函数fx是[110]由1≤3x1≤10解得0≤x≤3故函数yf3x1的定义域为[03]x2x≤13设fx

11x≤22且gxfxfx-1求gx的定义域·13·解因fx的定义域为[-22]所以20≤x≤2-2≤x≤2解得-2≤x-1≤2-1≤x≤312]所以函数gx的定义域为[-1x1

4设fx[gx]0x1gxlnx求f-1x11lnx1lnx1lnx1解f[gx]flnx0-111xee1即f[gx]0xee1

-10xex∞e115设f121求fxxx1111解f12-121-12xxxx1111-22xx2

111-212xx故fxx2-2x26设ftanxtanxsin2x其π中0x求fcotx2解令tanx由ftanx11得·14·ttanx2sinxcosx及图

t1ftt2221t1t2tt21t2cotx因此fcotxcotx21cotx2cotx2cotxsincotxsin2xx2

27设单值函数f-2xflnxxlnxx满足关系式flnx00x≤e且f00求fx解令lnxt则xet故由原式得2t2tft-2eftte0t2t2t2e±4e-4tetfte1±1-t2t由f00得fte1-1-t

故fxex1-1-x8判断下列函数的奇偶性21fxln1x-xx2-12fxxx212-x10x∞3fx2x-1-∞x0

1-x4fx1x1x解1fx的定义域是-∞∞且22f-x1xxln1-xxln12ln2-ln1x-x1x-x-fx故fx为奇函数

2fx的定义域是-∞∞且·15·-xx2-11-2f-x-x-x-xx2112x2-1xxfx21故fx为偶函数3解法1

任取x0则-x0于是222f-x-fx-x-1x-1--x1再任取x0则-x0于是2221xf-x-fx--x1-x1-x-故对任意的x∈-∞0∪0∞都有f--fx因此fx为奇函数解法21

将fx变形fxx-xx≠0x1于是f-x-x--x-x1-x-x-fxx所以fx为奇函数4因函数的定义域为-11]由于此区间关于原点不对称所以此函数为非奇非偶函数9求下列函数的反函数

21y1-lnx1-1-x-1≤x≤02yx2-1x≥114x3y114x2解1由-1≤x≤0得0≤x≤1于是0≤1-x2≤1因此0≤y≤122由y1-1-x解得x-2y-y所以所求函数的反函数为

·16·2y-2x-x0≤x≤12由已知xx2-1ey-y12所以ex-x-12xx-11y-y故xee2因为x≥1有x2-1≥0于是x

x2-1≥1有y≥0因此所求函数的反函数为1x-xy2eex≥03令t14x则y1-t所以t1-y1t1y2即14xy21-y故x11-y-1-1y41y1y由于t≥0故-x1y≤1因此所求函数的反函数为

y-2-1x≤11x1110设f试证明f-xx满足方程2f-xfxxfx11证令x得2ff