2022年山东省济宁市中考数学真题卷（含答案与解析）

2022年山东省济宁市初中学业水平考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，

答在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再

将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位

置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分；共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）

1.用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（）

A.0.015B.0.016C.0.01D,0.02

2.如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（）

3.下列各式运算正确的是（）

A.-3（x-y）=-3x+yB.x3-x2=x6

C.（万一3.14）°=1D.X3

4.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.x"x—\=­x(^x—1)—1B.x2-l=(x-l)2

C.—x-6=(x—3)(x+2)D.x(x-l)=x-x

5.某班级开展“共建书香校园”读书活动.统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出

如图所示的折线统计图.则下列说法正确的是（）

本数本

1234567月份

A.从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降

B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45

C.每月阅读课外书本数的众数是45

D.每月阅读课外书本数的中位数是58

6.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km,则提前1小时到达目

的地.设这辆汽车原计划的速度是xkm/h,根据题意所列方程是（）

420420,420,420

xx-10xx+10

-420420,420,420

xx+10xx-10

7.已知圆锥的母线长8cm,底面圆的直径6cm,则这个圆锥的侧面积是（）

A.967tcm2B.48兀cm2C.33;tcm2D.247tcm2

x-a〉0,

8.若关于x的不等式组《仅有3个整数解，则«的取值范围是（

7-2x>5

A.—4<a<—2B.—3<a<一2

C.-3<a<-2

9.如图，三角形纸片ABC中，N54C=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点8落在

边8c上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是（）

A.—B.一

66

10.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10

个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）

第一副图第二幅图第四幅图

A.297B.301C.303D.400

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.若二次根式J工与有意义，则x的取值范围是.

12.如图，直线/”h,b被直线4所截，若h//h,/1=126"321则/2的度数是.

13.已知直线力=x—1与竺="+人相交于点（2,1）.请写出〃值（写出一个即可），使x>2时，力

>>2.

Q

14.如图，A是双曲线y=］（x>0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为。，交

双曲线于点8,则△A3。的面积是

15.如图，点A,C,D,8在。。上，AC=BC,ZACB=90a.若CZ)=a,tanZCB£>=-,则AO长是

3

三、解答题（本大题共7个小题，共55分）

16.已知〃=2+石，b=2-后,求代数式cJ/j+a/??的值.

17.6月5日是世界环境日.某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了“名学生的成绩进行分

析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）.

学生成绩分布统计表

成绩/分组中值频率

755«80.5780.05

80.5Wx<85.583a

85.5WxV90.5880.375

90.5WxV95.5930.275

95.5WxV100.5980.05

请根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)填空：n=,a=；

(2)请补全频数分布宜方图；

(3)求这〃名学生成绩的平均分；

(4)从成绩在75.5Wx<80.5和95.5WxV100.5的学生中任选两名学生.请用列表法或画树状图的方法,

求选取的学生成绩在75.5Wx<80.5和95.5^x<100.5中各一名的概率.

18.如图，在矩形ABCD中，以43的中点。为圆心，以OA为半径作半圆，连接。。交半圆于点E,在

BE上取点凡使BE=4/，连接B尸，DF.

(1)求证：。尸与半圆相切；

(2)如果48=10,BF=6,求矩形ABC。面积.

19.某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A,8两地，两种货车载重量及

到A,B两地的运输成本如下表：

货车类型载重量(吨/辆)运往4地的成本(元/辆)运往8地的成本(元/辆)

甲种161200900

乙种121000750

(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；

(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B

地.设甲、乙两种货车到4,8两地的总运输成本为卬元，前往A地的甲种货车为f辆.

①写出w与f之间的函数解析式；

②当，为何值时，w最小？最小值是多少？

20.知识再现：如图1,在中，NC=90°,NA,ZB,NC的对边分别为“，b,c.

VsinA=—,sinB=—

cc

ab

・・c=------,c=-------

sinAsinB

.ab

••—

sinAsinB

囱，圆a

图1图，图J

(1)拓展探究：如图2,在锐角ABC中，ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c.请探究一匕，

sinA

I)「c一之间的关系，并写出探究过程.

sinBsinC

(2)解决问题：如图3,为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=

60/77,乙4=75°,/C=60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离.

21.已知抛物线£：丁=-3(*+1卜2-(加+1口一1与犬轴有公共点.

（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

（2）将抛物线G先向上平移4个单位长度，再向右平移”个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物

线G与X轴交于点A,B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.当OC=OA时，求〃的值；

（3）。为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线G的对称轴/的垂线，垂足为G,交抛物线G于点E，连

接8E交/于点F.求证：四边形8所是正方形.

22.如图，△AOB是等边三角形，过点4作y轴的垂线，垂足为C,点C的坐标为（0,⑶.P是直线

AB上在第一象限内的一动点，过点尸作y轴的垂线，垂足为。，交4。于点E,连接A。，作。交

（1）填空：若△AO。是等腰三角形，则点。坐标为；

（2）当点尸在线段48上运动时（点P不与点A,8重合），设点M的横坐标为，

①求加值最大时点。坐标；

②是否存在这样的〃，值，使8E=8F?若存在，求出此时的〃?值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题

1.用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（）

A.0.015B.0.016C.0.01D.0.02

【答案】B

【解析】

【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可.

【详解】解:0.0158^0.016.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键.

2.如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到从正面看所得的图形即可.

【详解】解：从正面看，底层有3个正方形,第二层有2个正方形，第三层有1个正方形，

故选：A.

【点睛】本题考查简单组合体三视图的识别,主视图是指从物体的正面看物体所得到的图形

3.下列各式运算正确的是（）

A.-3（x-y）=-3x+yB.x3-x2=xb

C.（万一3.14）°=1D.（1）-=彳5

【答案】C

【解析】

【分析】利用去括号法则，事的运算法则和零指数塞的意义对每个选项进行判断即可.

【详解】A：—3（x—y）=-3x+3y,故选项A不正确；

B：%3?%2%5,故选项B不正确；

C：(开—3.14)°=1,故选项C正确；

D：卜3『=》6,故选项D不正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了去括号法则，幕的运算法则和零指数幕的意义，正确利用上述法则对每个选项做出判

断是解题的关键.

4.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-l=x(x-l)-lB.x2-l=(x-l)2

C.x~-x—6=(x—3)(x+2)D.—1)-x~—x

【答案】C

【解析】

【分析】根据因式分解定义对选项逐一分析即可.

【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解.

A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；

B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；

C、符合因式分解的形式，符合题意；

D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义.

5.某班级开展“共建书香校园”读书活动.统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出

B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45

C.每月阅读课外书本数的众数是45

D.每月阅读课外书本数的中位数是58

【答案】D

【解析】

【分析】根据折线统计图的变化趋势即可判断A,根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定

义即可判断B,C,D选项.

【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有降，故该选项不正确，不符合题意；

B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50,故该选项不正确，不符合题意；

C.每月阅读课外书本数的众数是58,故该选项不正确，不符合题意；

D.这组数据为：28,33,45,58,58,72,78,则每月阅读课外书本数的中位数是58,故该选项正确，

符合题意；

故选D

【点睛】本题考查了折线统计图，求极差，求中位数，从统计图获取信息是解题的关键.

6.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km,则提前1小时到达目

的地.设这辆汽车原计划的速度是xkm/h,根据题意所列方程是（）

420420,420,420

A.-------+1B.——+1=

Xx-10Xx+10

420420,420,420

C.1).——+1=

Xx+10Xx-10

【答案】C

【解析】

【分析】设这辆汽车原计划的速度是xkm/h,,则实际速度为（x+10）km/h,根据题意“提前1小时到达目

的地”，列分式方程即可求解.

【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是xkm/h,则实际速度为（x+l（））km/h,

根据题意所列方程是乂=二之+1

xx+10

故选C

【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意列出方程是解题的关键.

7.已知圆锥的母线长8cm,底面圆的直径6cm,则这个圆锥的侧面积是（）

A.9671cm2B.487tcm2C.337tcm2D.24;tcm2

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积=/x底面周长x母线长计算即可求解.

【详解】解：底面直径为6cm,则底面周长=6万，

侧面面积=Jx67rx8=24?rcm2.

故选D.

【点睛】本题考查圆锥计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积x底面周长x母线长.

x-a>0,

8.若关于x的不等式组I-°=仅有3个整数解，则〃的取值范围是（）

7-2x>5

A.-4<a<-2B.-3<a<-2

C.-3<a<-2D.-3<a<-2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答.

x-a>0①

【详解】解:

7-2x>5②

由①得，x>a

由②得，x<l

因不等式组有3个整数解

/.a<x<l

-4-3a-2-1

一3Wa<-2

故选：D.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键.

9.如图，三角形纸片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点8落在

边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得40=AB=2,NB=NADB,CE=DE,NC=NC£>E,可得NA。E=90。，继而设

AE=x,«1]CE=DE^3-x,根据勾股定理即可求解.

【详解】解：•••沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点。处,

：.AD=AB=2,NB=NADB,

•.•折叠纸片，使点C与点。重合,

；.CE=DE,NC=NCDE,

,：ZBAC=90°,

：.ZB+ZC=90°,

ZADB+NCOE=90°,

ZADE=90°,

：.AD2+DE2=AE2,

设AE=x,则CE=DE=3-x,

/.22+(3-x)2=x2,

13

解得冗=”

6

即—

6

故选A

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键.

10.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10

个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()

第一副图第二幅图第三幅图第四幅图

A.297B.301C.303D.400

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数.

【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4+3X0,

第2幅图7个圆点，即4+3=4+3xl；

第3幅图10个圆点，即4+3+3=4+3X2；

第4幅图13个圆点，即4+3+3+3=4+3X3；

第〃幅图中，圆点的个数为：4+3(〃-1)=3"+1,

第100幅图，圆中点的个数为:3x100+1=301.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律.

二、填空题

11.若二次根式/三有意义，则x的取值范围是.

【答案】x>3

【解析】

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可.

【详解】根据题意，得X-320,

解得：x>3；

故答案为：x>3.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

H

12.如图，直线12,/3被直线/4所截，若h//h,Z1=12632',则N2的度数是

【答案】53°28'

【解析】

【分析】根据平行线的性质得N2=N3,N3=N4,根据等量等量代换得N3=N4,进而根据邻补角性质

即可求解.

【详解】解：如图

v1\//11//fa,

N2=N3,N3=N4,

.\Z2=Z4,

•••Nl=126°32',

N2=N4=180°—126°32'=179°60'—126°32'=53°28',

故答案为：53。28'.

【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

13.已知直线》=x-1与以=履+/?相交于点（2,1）.请写出方值__（写出一个即可），使x>2时，ji

>yi.

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据题意将点（2,1）代入”=区+6可得2左+8=1,即女=1-,根据x>2时，》>丫2,可

得左<1,即可求得力的范围，即可求解.

【详解】解：•••直线》=》一1与”=履+6相交于点（2,1）,

.,.点（2,1）代入>2=丘+方，

得2/+4=1,

l-b

解得攵=一丁，

2

;直线yi=x-l,y随x的增大而增大，

又x>2时,y\>y2,

k<\,

1—b<2,

解得力>一1,

故答案为：2（答案不唯一）

【点睛】本题考查了两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键.

o

14.如图，A是双曲线y=—（x>0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作），轴的垂线，垂足为。，交

双曲线于点B,则4ABD的面积是.

【答案】4

【解析】

【分析】根据点C是。4的中点，根据三角形中线的可得$"8=528,5”8=54℃&进而可得叉至。=

8

SAOM,根据点B在双曲线y=-（x>0）上，BZUy轴，可得底。/«产4,进而即可求解.

X

【详解】•••点C是。A的中点，

S^ACD=SAOCD,S^ACB=S^OCB,

S^ACD+S^ACB=S^OCD+S&OCB,

••S^ABD=SAOBD,

8

・・•点8在双曲线丁=、（尤>0）上，8D，y轴，

SAoBD=yx8=4,

••SAABD=4,

答案为：4.

【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的A的几何意义，掌握反比例函数人的几何意义是解

题的关键.

15.如图，点A,C,D,B在。。上，AC=BC,NAC8=90°.若CD=a,tanNCBD=1,则AO的长

3

是.

【答案】20a

【解析】

【分析】如图，连接A8,设AZ>,8C交于点£,根据题意可得A8是O。的直径，ZADB^90°,设

AC^m,证明△CEDsaAEB,根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出根据

RtAABC,勾股定理求得〃2=君”，根据4）=AE+ED即可求解.

【详解】解：如图，连接AB，设ARBC交于点£,

,?NAC8=90°

/.AB是O。的直径，

:.ZADB=90。,

1

,,,tanZCBD=—,

3

-D-E=——1,

DB3

在RtZsDEB中，BE=\lDE2+DB2=VlODE，

•:CD=CD，

：.ZCBD=ZACD,

/.tanZCAD=-,

3

CE_1

,AC-3

设=m

则CE=-m,

3

•・・AC=BC,

e2

EB=­m,

3

,„_Vio„„_2>/io

..DnE------BE,=-------in，

1030

Rt^ACE中,AE=AC2+CE2-Jm?+（；加）=,

/.AD=AE+ED=2^^m+m-—^/10m>

3035

DB=DB，

：.ZECD=ZEAB,

又4CED=ZAEB,

:.△CEDC/r）公AEB,

]_

CDCE>1

"AB~AE~师找一VlO

3

,：CD-a，

AB=Ma,

vAC=BC=m，

AB=y/lm，

/.y/lm=\[\^a，

解得m=y[Sa，

/.AD--ylO/n---\/10x45a-20a,

故答案为：20a.

【点睛】本题考查了90。圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性

质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

三、解答题

16.已知”=2+6，b=2-亚,求代数式/人+出^的值.

【答案】-4

【解析】

【分析】先将代数式因式分解，再代入求值.

【详解】a2b+ab2=ab(a+b)

=(2+75)(2-6)(2+V5+2-V5)

=-lx4=-4.

故代数式的值为T.

【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算.

17.6月5日是世界环境日.某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了〃名学生的成绩进行分

析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如下图所示).

学生成绩分布统计表

成绩/分组中值频率

75.5WxV80.5780.05

80.54V85.583a

85-90.5880.375

90.5«95.5930.275

95.5<x<100.5980.05

请根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)填空：n=,a=；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)求这〃名学生成绩的平均分；

(4)从成绩在75.5<x<80.5和95.5<x<100.5的学生中任选两名学生.请用列表法或画树状图的方法,

求选取的学生成绩在75.5Wx<80.5和95.5100.5中各一名的概率.

【答案】(1)40,0.25

(2)见解析(3)88.125分

2

(4)图表见解析，!

【解析】

【分析】(1)根据“频率=频数+总数”和频率之和为1可得答案；

(2)用总人数减去其他组的人数即为80.5到85.5组人数，即可补全频数分布直方图；

(3)利用平均数的计算公式计算即可；

(4)列出树状图即可求出概率

【小问1详解】

40-2-15-11-210

解：由图表可知：“=2+0.05=40,a=-------------=—=0.25

4040

【小问2详解】

解:由(1)可知,80.5到85.5组人数为4()一2-15—11—2=10(人),

频数分布图为：

解：—(2x78+10x83+15x88+11x93+2x98)=88.125(分)

40

【小问4详解】

解：解：用4,4表示75.5<x<80.5中的两名学生，用&表示95.5Wx<100.5中的两名学生，画树

状图，得

由上图可知，所有结果可能性共12利J而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选

到有8种.

每一组各有一名学生被选到的概率为2=|.

【点睛】本题主要考查本题考查读频数分布直方图，求平均数，利用树状图求概率，掌握相关的概念以及

方法是解题的关键.

18.如图，在矩形A8CQ中，以AB的中点。为圆心，以OA为半径作半圆，连接交半圆于点E,在

BE上取点F,使BE=AF'连接BF,DF.

(1)求证：。尸与半圆相切；

(2)如果A8=10,BF=6,求矩形ABC。的面积.

【答案】(1)见解析

【解析】

【分析】(1)连接OF,证明^DAOSADFO(SAS),可得ZD\O=NDFO,根据矩形的性质可得

ND4O=90°,进而即可得证；

(2)连接■，根据题意证明AAODSAEBA,根据相似三角形的性质求得。。，进而勾股定理AO,

根据矩形的面积公式即可求解.

【小问1详解】

证明：连接。立

•>>AE=EF>

:.NDOA=NFOD.

-.AO=FO,DO=DO,

,•.△DAOSADFC>(SAS)

:.ZDAO^ZDFO.

••,四边形ABC。是矩形，

:.ZDAO^90

解：连接AF，

•.•AO=FO,ADOA=NDOF,

\。0人AF,

QAB为半圆的直径，

:.ZAFB=90^

：.BFLAF，

:.DO//BF.:.ZAOD=ZABF.

ZOAD=ZAFB=9G,

:.AAODS^FBA

AODO

"~BF~~AB'

,5DO

%—而

在Rt^AOD中，AD=y/DO2-AO2-52=y.

20200

矩形ABCD的面积为,xlO=—.

33

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解

题的关键.

19.某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A,B两地，两种货车载重量及

到A,8两地的运输成本如下表：

货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/辆）运往B地的成本（元/辆）

甲种161200900

乙种121000750

（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；

（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往8

地.设甲、乙两种货车到4,B两地的总运输成本为w元，前往月地的甲种货车为f辆.

①写出卬与，之间的函数解析式；

②当，为何值时，w最小？最小值是多少？

【答案】（1）甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆

（2）①w=50/+22500：②f=4时，W*小=22700元

【解析】

【分析】（1）设甲种货车用X辆，则乙种货车用（24—X）辆.根据题意列一元一次方程即可求解；

（2）①根据表格信息列出w与f之间的函数解析式；

②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得f的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可.

【小问1详解】

（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24—x）辆.根据题意，得

16x+12（24-x）=328.

解得x=10.

.•.24—x=24-10=14.

答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆.

【小问2详解】

①w=1200,+1000(12T)+900(10T)+750[14—(12T)]=50,+22500.

@vl6/+12(12-f)..16O

.1.t.4

V50>0,

随f的减小而减小.

.•.当t=4时，氏最小=50X4+22500=22700（元）.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方

程，不等式与一次函数关系式是解题的关键.

20.知识再现：如图1,在放ZVIBC中，ZC=90°,NA,NB,NC的对边分别为a,b,c.

（1）拓展探究:如图2,在锐角ABC中，NA,NB,/C的对边分别为a,b,c.请探究-----

sinA

b

之间的关系，并写出探究过程.

sinBsinC

（2）解决问题：如图3,为测量点A到河对岸点8的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得4C=

60机，ZA=75°,/C=60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离.

a_b_c

【答案】（1）,证明见解析

sinNAsinBsin/C

（2）30几米

【解析】

【分析】拓展研究：作COLAB于点。，AELBC于点E,根据正弦的定义得AE=csinB,

AE=bsmZ.BCA,CD=asinB9CD=bsinZBAC,从而得出结论；

AfiAC

解决问题：由拓展探究知，—代入计算即可.

sinCsinNCBA

【小问1详解】

（拓展探究）证明:作CDLA8于点。，4（7,8。于点区

ApAK

在Rt\ABE中，sinB-----------,

ABc

同理:5亩8=旦?

BCa

AE_AE

sinZBAC=—=—,sinNBCA--

ACb7cr

AE=csinB,AE=Z?sin/BCA,

CD=asinB,CD=hsinNBAC.

/.csinB=bsin^BCA,asinB=bsinNBAC.

b_ca_b

sinBsinBCA9sinBACsinB

a_b_c

sinZBACsinBsinBCA

【小问2详解】

（解答问题）解：在AA8C中，ZCBA=180-^A-^C=180-75°-60=45°.

Ag_AC

sinCsinZCBA?

••__A__B_______6_0__

■*'sin60-sin45°

解得：AB=305/6

答：点4到点8的距离为A5=30"m.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出

一^――=一竺=一是解题的关键.

sinABACsin3sinZBCA

21.已知抛物线G:y=-g(m2+i)f—(m+Dx—1与X轴有公共点.

(1)当y随X的增大而增大时，求自变量X的取值范围；

(2)将抛物线C|先向上平移4个单位长度，再向右平移〃个单位长度得到抛物线(如图所示)，抛物

线G与x轴交于点A,8(点4在点8右侧)，与y轴交于点C.当OC=OA时，求〃的值；

(3)。为抛物线的顶点，过点C作抛物线G的对称轴/的垂线，垂足为G,交抛物线G于点E,连

接BE交I于点F.求证：四边形CZ)所是正方形.

【答案】(1)x<-\

(2)n—2(3)见解析

【解析】

【分析】(1)根据抛物线与x轴由公共点，可得ANO,从而而求出加的值，进而求得抛物线对称轴，进

一步得到结果；

(2)根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据x=0和y=o分别得出点C和A的坐标，

根据OC=Q4列出方程，进而求的结果；

(3)从而得出点8、点C的坐标，由抛物线的解析式可得出点。的坐标和点E的坐标，进而求得BE的

解析式，从而得出点尸的坐标，进而得出CG=£G=£>G=FG=1,进一步得出结论.

【小问1详解】

解：・・,抛物线y=-g(>+1)--(加+1比-1与x轴有公共点，

(TYI+l)?—4X——+1)]X(-1)..0.

—(YYI—I)2..0.7ZZ—1=0.

m=1,

y——W_2x_1=—(x+1)人,

V-l<0,

・••当xv-1时，y随着x的增大而增大.

【小问2详解】

解：由题意，得y=—（x+1—〃）-+4=—x?—2（1——〃-+2〃+3,

当y=0时，一（x+1-〃）2+4=0.,

解得：％=-3+〃或％=1+〃.，

:点A在点B的右侧，

.•.点A的坐标为（1+n,0）,点B的坐标为（-3+〃，0）.

••,点C的坐标为（0,-n2+2/1+3）,

；."+1=一4+2〃+3.

解得：〃=2或〃=—1（舍去）.

故〃的值为2.

【小问3详解】

解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y=—（x-1）2+4.

...点A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（一1,0）

点C的坐标为（0,3）,点。的坐标为（1,4）,

抛物线C2的对称轴是直线X=1,

•.•点E与点C关于直线x=1对称,

...点E的坐标为（2,3）.

.,.点G的坐标为（1,3）.

设直线BE解析式为y—kx+b,

—k+b=Q,

"[2k+b=3.

k=1,

解得：＜

b=l.

；.y=x+l.

当x=l时，y=1+1=2.点尸的坐标为（1,2）.

FG=EG=DG=CG=1.

四边形COEF为矩形.

XVCE1DF,

四边形CDEF为正方形.

【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，

解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系.

22.如图，AAOB是等边三角形，过点4作y轴的垂线，垂足为C,点C的坐标为(0,出).P是直线

A8上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为O,交AO于点E,连接A。，作。交

x轴于点M,交A0于点凡连接BE,BF.

(1)填空：若△AOO是等腰三角形，则点。的坐标为；

(2)当点尸在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合)，设点M的横坐标为根.

①求m值最大时点D的坐标；

②是否存在这样的小值，使BE=BF?若存在，求出此时的，"值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(。。6)或(0,2)

(2)①点£＞坐标为(o,#)；②存在，w=1

【解析】

【分析】(1)根据题意易得NAOB=60。从而NAOC=30。和NCD4=60。，根据tan30。求得AC的长，再根据

sin60。求得AD的长，当OA=A£＞和0。=。4时分情况讨论，即可得到OD的长，从而得到D点坐标；

(2)①设点。的坐标为(0,a),则。。=〃，CD—yfj-a,易证,从而得出

型=4£，代入即可得到，〃与。的函数关系，化为顶点式即可得出答案；

OMDO

AFCDOHOF

②作/T/Ly轴于点H,得到4C〃PD〃/7/〃x轴，易得——=-—,——=—,易证ME4好