第11讲正态分布3种常考题型-【题型讲义】高二数学教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第11讲正态分布3种常考题型【考点分析】考点一：正态曲线①正态曲线：函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．②正态曲线φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R有以下性质：1.曲线位于x轴上方，与x轴不相交；2.曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；3.曲线在x＝μ处达到最大值eq\f(1,σ\r(2π))；4.曲线与x轴之间的面积为1；5.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；6.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②.考点二：正态分布的性质①正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)等于正态分布曲线与轴所围成的区域面积，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为。（此时，X不是离散型随机变量，是连续型随机变量。）②X～N(μ，σ2)中μ，σ的统计意义1.μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝；2.σ>0表示标准差，D(X)＝σ2当μ一定时，σ越小，正态曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散考点三：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.②由P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.③在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则.【题型目录】题型一：正态曲线题型二：利用正态分布求概率题型三：正态分布的实际应用【典型例题】题型一：正态曲线【例1】设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（????）．A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10【例2】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（????）（注：正态曲线的函数解析式为，）A．甲类水果的平均质量B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数【例3】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（????）A．， B．，C．， D．，【例4】若随机变量服从正态分布，记为，则关于的密度函数及其图象，下列说法中错误的是（????）A．当时，正态曲线关于轴对称B．正态曲线一定是单峰的C．曲线的峰值为D．当无限增大时，曲线无限接近轴【题型专练】1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（????）A． B．C． D．2．（多选题）已知随机变量X的概率密度函数为(，)，且的极大值点为，记，，则（????）A．B．C．D．3．（多选题）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（????）A．曲线关于直线对称B．曲线的峰值为C．越大，曲线越“矮胖”D．对任意，曲线与轴围成的面积总为14．设随机变量，X的正态密度函数为，则______.题型二：利用正态分布求概率【例1】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（????）A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等【例2】随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（????）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【例3】随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（????）A． B． C． D．【例4】已知随机变量X服从正态分布，且，则（????）A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1【例5】已知随机变量服从正态分布，若，则（????）A． B． C． D．【例6】（多选题）设X是随机变量，那么（????）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则【例7】（多选题）将二项分布X~B（100，0.5）近似看成一个正态分布，其中，.设，则Y~N（0，1），记，已知，，则（????）A．， B．C． D．【例8】（多选题）已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（????）A． B．C． D．【例9】已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则________.【题型专练】1．已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（????）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.12．已知随机变量X服从正态分布，且，则（????）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．下列说法正确的是（????）A．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件B．随机变量，若，，则C．随机变量服从正态分布，且，则D．随机变量服从正态分布，且满足，则随机变量服从正态分布4．随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（????）附：．A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.95455．已知随机变量X服从正态分布，若，则（????）A． B． C． D．6．（多选题）某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（????）A．越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大B．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5C．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等D．该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等7．（多选题）下列说法正确的有（????）．A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为B．若随机变量，则方差C．若随机变量，，则D．已如随机变量X的分布列为，则题型三：正态分布的实际应用【例1】某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（????）附：.A．26 B．52 C．456 D．13【例2】已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（????）附：随机变量服从正态分布，则A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%【例3】某班一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则估计该班这次数学考试的平均分为（????）A．85 B．90 C．95 D．105【例4】小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设做公交车用时，骑自行车用时，则（????）A． B．C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车【例5】（多选题）某校对高一学生进行了一次物理测试，得到学生的物理成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说法正确的是（????）参考数据：随机变量，则，，．A．该校高一学生物理成绩的方差为10B．该校高一学生物理成绩的期望为70C．该校高一学生物理成绩的及格率不到85%D．该校高一学生物理成绩的优秀率超过5%【例6】（多选题）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数)（????）参考数据：若，．A．年级平均成绩为82.5分B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C．成绩不超过77分的人数少于150D．超过98分的人数为1【例7】已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）.【例8】现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（????）A．32 B．64 C．128 D．256【例9】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望；(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：10.029.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.9510.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得，，，其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）.附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，.【例10】为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数242240284(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．附：若，则，，．【题型专练】1．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是(????)附：若随机变量X服从正态分布，则．A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.8413D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.34132．（多选题）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到公司要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（????）参考数据：若，则，，．A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到3．（多选题）杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4，假设坐公交车用时（单位：）和骑自行车用时（单位：）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（????）A． B．C． D．若某天只有可用，杨明应选择坐公交车4．（多选题）某物理量的测量结果服从正态分布，则（????）A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称B．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡C．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等5．（多选题）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（????）A．该地水稻的平均株高约为 B．该地水稻株高的方差约为100C．该地株高超过的水稻约占68.27％ D．该地株高低于的水稻约占99.87％6．（多选题）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（????）A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)7．正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则______．8．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计