高中数学第3章概率33几何概型教案苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案

3.3几何概型1整体设计教材剖析这部分是新增添的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的差别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型能够很简单举出概率为0的事件不是不行能事件的例子，概率为1的事件不是必定事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频次预计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教课需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳索模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教课中应当注意让学生实质着手操作，以使学生相信模拟结果的真切性，而后再经过计算机或计算器产生平均随机数进行模拟试验，获取模拟的结果.在这个过程中，要让学生领会结果的随机性与规律性，领会跟着试验次数的增添，结果的精度会愈来愈高.随机数的产生与随机模拟的教课中要充分使用信息技术，让学生亲身着手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲解几何概型的特色及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教课；第二课时主假如经过例题教课及用计算机随机模拟试验（运用Excel软件），以及讲堂练习增强学生对几何概型的稳固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的差别是试验的可能结果不是有限个.它的特色是在一个地区内平均散布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在地区的形状、地点没关，只与该地区的大小相关.假如随机事件所在地区是一个单点，因为单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不行能事件；假如一个随机事件所在地区是全部地区扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必定事件.教材中例1的教课能够分解为以下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个地区的豆子数只与这个地区的面积大小相关（近似成正比），而与地区的地点和形状没关，这切合几何概型的条件，能够当作几何概型.圆的面积（2）利用几何概型求概率的公式，获取P(豆子落入圆内)=.正方形的面积（3）启迪指引学生研究圆周率π的近似值，用多种方式来模拟.三维目标经过解决详细问题的实例去感觉几何概型的观点，掌握基本领件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特色，会用公式计算几何概率.3.经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯.4.学会依照详细问题的实质背景剖析问题、解决问题的能力.要点难点教课要点:1.领会随机模拟中的统计思想.用样本预计整体.理解几何概型的定义、特色、会用公式计算几何概率.教课难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的差别.2.把求未知量的问题转变为几何概型求概率的问题.课时安排课时教课过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）依据下述试验，回答以下问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳索随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳索都不短于1米的事件，试问事件T发生的概率.设计思路二：（情境导入）依据以下游戏，回答相应问题：游戏规则以下：由边长为1米的四方板组成靶子，并将此板分红四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A表示投中暗影部分为成功.试问投中暗影部分即事件A发生的概率.推动新课新知研究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.剖析：近似于古典概型，我们希望先找到基本领件组，即找到此中每一个基本领件.注意到每一个基本领件都与独一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本领件组中的基本领件就与线段AB上的点一一对应.若把离绳AB首尾两头1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本领件所对应的点在线段MN上.因为在古典概型中事件T的概率为T包括的基本领件个数/总的基本领件个数，但这两个数字（T包括的基本领件个数、总的基本领件个数）在引例1中是没法找到的，可是用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率仿佛也是合理的.线段AB长5，线段AM、BN长为1，则线段MN长为3解：P（T）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来考证是正确的.从上边的剖析能够看到，关于一个随机试验，假如我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地抽取一点，而该地区内每一点被取到的时机都相同；而一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述地区内的某个指定地区内的点.这样就能够把随机事件与几何地区联系在一同.这里的地区能够是线段、平面图形、立体图形等.用这类方法办理随机试验，称为几何概型（geometricprobabilitymodel）一般地，在几何地区D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个地区d内”为事件A，则事件A发生的概率d的测度.P(A)=D的测度这里要求D的测度不为0，此中“测度”的意义依D确立，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.近似于设计思路一的解说，完整能够把设计思路二中的实验所对应的基本领件组与大的正方形地区联系在一同，即事件组中的每一个基本领件与大正方形地区中的每一个点一一对应，则事件A所包括的基本领件就与暗影正方形中的点一一对应，这样我们用暗影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的.这一点我们完整能够用设计思路一的方法考证其正确性.解：P（A）=（1/2）2/12=1/4.在某些状况中，可把实验中基本领件组中的每一个基本实验与某一个几何地区D中的点一一对应起来，这个地区能够是一段曲线（一维地区），或一个平面地区（二维地区）.这样在实验中某一事件A，便可与几何地区D中的子地区d表示了，以以下图：试验：从D中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d；事件未发生：所取的点不属于d.这样事件A的概率怎样计算呢？在设计思路一中，P(A)=子地区d的长度/地区D的长度=3/5.在设计思路二中，P(A)=子地区d的面积/地区D的面积=1/4.从上边的剖析能够看到，关于一个随机试验，假如我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地抽取一点，而该地区内每一点被取到的时机都相同；而一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述地区内的某个指定地区内的点.这样就能够把随机事件与几何地区联系在一同.这里的地区能够是线段、平面图形、立体图形等.用这类方法办理随机试验，称为几何概型（geometricprobabilitymodel）一般地，在几何地区D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个地区d内”为事件A，则事件A发生的概率d的测度P(A)=.D的测度这里要求D的测度不为0，此中“测度”的意义依D确立，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.经过对以上两个设计思路的剖析，我们看到事件A的概率用子地区d的大小与几何地区D大小的比值来表示是合理的.当子地区d和几何地区D是一维地区时，它们的大小用它们的长度来表示；当子地区d和几何地区D是二维地区时，它们的大小用它们的面积来表示；当子地区d和几何地区D是三维地区时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义一致，若几何地区的大小我们称为这个地区的“测度”，则P(A)=子地区d的测度/地区D的测度.因为几何地区d是几何地区D的子集，于是我们有0≤d的测度≤D的测度，在不等式双侧同时除以D的测度（一般假定其为正数）则有0d的测度D的测度D的测度D的测度，D的测度即0≤P≤1，这个不等式表示几何概型的概率在0和1之间.注意到当p(A)＝0时，d的测度必定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(A)=1时，d的测度一定等于D的测度.几何概型的基本特色是：1）在每一次随机试验中，不一样的试验结果有无量多个，即基本领件有无穷个；2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本领件的发生是等可能的.从几何概型拥有的特色来看，几何概型与古典概型的差别在于，几何概型是无穷多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件不过有限个.应用示例思路1例1判断以下试验中事件A发生的概率是古典概型，仍是几何概型（1）扔掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

.（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B地区时，甲获胜，不然乙获胜，求甲获胜的概率.剖析：此题考察的是几何概型与古典概型的特色，古典概型拥有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无穷多个结果，且与事件的地区长度相关.解：（1）扔掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，所以属于古典概型；（2）游戏中指针指向B地区时有无穷多个结果，并且不难发现“指针落在暗影部分”，概率能够用暗影部分的面积与总面积的比来权衡，即与地区长度相关，所以属于几何概型.评论：差别某一个问题是属于古典概型仍是属于几何概型，要注意抓住它们的特色：几何概型是无穷多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件不过有限个.例2在一个量杯中装有1升的水，此中含有一个细菌，此刻用一个小杯子从中拿出0.1升的水，求这个小杯子所拿出的水中含有这个细菌的概率.剖析：细菌在量杯的水中的散布能够当作是随机的，所以切合几何概型的特色，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的散布当作是随机的，切合几何概型的特色，从这个量杯中拿出的0.1升水当作地区d，全部的1升水当作地区D，记事件A为“小杯子所拿出的水中含有这个细拿出的水的体积0.1=0.1.菌”，则P(A)=全部水的体积1答：这个小杯子所拿出的水中含有这个细菌的概率为0.1.评论：在此题中，“测度”是体积；基本领件（这个细菌能够生计在这1升水的任何区域）有无穷多个，同时因为是随机散布的，即基本领件是等可能的，所以切合几何概型的特点，所以，选择几何概型的计算方法计算概率.例3将正方形ABCD平分红九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成以下图的图案，向正方形ABCD内随机投点，分别求以下事件的概率.(1)点落在红色地区；点落在红色或蓝色地区；点落在黄色或蓝色地区.剖析：因为投点时是随机的，并且点落在正方形是随机散布的，所以，切合几何概型的特色，所以，用几何概型计算概率的方法来解.解：(1)记事件A为“点落在红色地区”，假定正方形ABCD的面积为9个单位，则红色地区面积4.P(A)=正方形ABCD的面积9(2)记事件B为“点落在红色或蓝色地区”，相同假定正方形ABCD的面积为9个单位，则红色地区与蓝色地区面积之和422.P(B)=正方形ABCD的面积93(3)记事件C为“点落在黄色或蓝色地区”，相同假定正方形ABCD的面积为9个单位，则黄色地区与蓝色地区面积之和325.P(C)=正方形ABCD的面积99评论：在此题中，计算概率时所波及的“测度”是正方形的面积，所以，正确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的要点.例4甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，但是两人都只好在那边逗留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？剖析：因为甲、乙两人是随机出此刻约会地址，并且在每一时刻出现是等可能的，所以用几何概型来解.解：为（9+x）小时，乙到的时间为（9＋y）小时，则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为极点（如图）.因为两人都只好逗留5分钟即1小时，所以在|x－y|≤1时，两人材能见面.因为|x－12y|≤1是两条平行直线x－y=1

12,y－x=1之间的带状地区，正方形在这两个带状地区是121212两个三角形，其面积之和为(1－1)×(1－1)=(11)2，进而带形地区在这个正方形内的12121211232323面积为1－(2，所以所求的概率为144)=1.12144144评论：此题将时间当作是“测度”，所以，成立适合的“测度”是解决此题的要点.思路2例1有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则切合要求的截法的概率是多大？剖析：因为要求每一段都不小于3米，也就是说只好在距两头都为3米的中间的4米中截，这是一道特别典型的与长度相关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A，则P(A)=10332.评论：此题中“测度”为长度.105例2飞镖随机地扔掷在以下图的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到地区A、B、C的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中地区A或B的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中地区C的概率是多少？(假定每一次扔掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的极点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）剖析：因为飞镖投中的地点是随机的，所以，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何地点的可能性相等，所以，此题切合几何概型的特色，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到地区A、B、C”为事件A、B、C，设正三角形的面积为S，则三个小三角形的面积（也就是地区A、B、C的面积）都是正三角形面积的1，即3S每个小三角形的面积都是S小正方形的面积31.3，所以，P(A)=P(B)=P(C)=S3正三角形的面积在靶子2中分别记“飞镖投到地区A、B、C”为事件A1、B1、C1，设圆的面积为S1，则地区A的面积为S1，地区B、C的面积为S11，P(B)=P(C11112424记事件D为“在靶子1中，分别投中地区A或B”，所以，P(D)=地区A与B的面积之和2.正三角形的面积3记事件E为“在靶子2中，飞镖没有投中地区C”，则有P(E)=地区A与B的面积之和3.圆的面积4评论：在此题的飞镖的扔掷中，因为是随机扔掷，且没有脱靶，所以，切合几何概型的特色，所以用几何概型来计算相关的概率.在此题中的“测度”是面积.例3如图，正方形ABCD内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率.剖析：因为点是随机投入半圆中，所以，切合几何概型的特色，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为R，正方形ABCD的边长为x，由平面几何知识可知：x2=(R－x)(R+x)，得x2=4R2.225正方形的面积x28记该点“落入正方形内”为事件≈0.51.A，则P(A)=半圆的面积R252评论：依据实质问题的背景，此题切合几何概型的特色，此题的“测度”是面积.例4某人欲从某车站搭车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求这人等车时间不多于10分钟的概率.剖析：假定他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无量多个时刻,不可以用古典概型公式计算随机事件发生的概率.能够经过几何概型的求概率公式获取事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度相关,而与该时间段的地点没关,这切合几何概型的条件.解：记事件A“等候的时间不多于10分钟”,我们所关怀的事件A恰巧是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,所以由几何概型的概率公式,得P(A)=60501，即此10分钟的概率为1.606人等车时间不多于6评论：在此题中，到站等车的时刻X是随机的，能够是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，所以切合几何概型的特色，所以用几何概型概率的计算方法来求解.知能训练1.在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机拿出2mL水样放到显微镜下察看，则发现草履虫的概率是（）不可以确立2.平面上画了一些相互相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币随意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.某商场为了吸引顾客，建立了一个能够自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购置100元的商品，就能获取一次转动转盘的时机.假如转盘停止时，指针正好瞄准红、黄或绿的地区，顾客就能够获取100元、50元、20元的购物券（转盘平分红20份）.甲顾客购物120元，他获取购物券的概率是多少？他获取100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与老婆相遇问题）一位丈夫和他的老婆要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当此中一个先到后必定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离开.试问这对夫妻能够相遇的概率为多大？假定他们抵达商定地址的时间是随机的且都在商定的一小时以内.解答：1.C（提示：因为取水样的随机性，所求事件A：“在拿出2mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与整体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确立硬币的地点，由硬币中心O向靠得近来的平行线引垂线OM，垂足为M，以下图，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是［o,a］，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=(r,a]的长度ar.[0,a]的长度a3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，能够获取一次转动转盘的时机，转盘一共平分了20份，此中1份红色、2份黄色、4份绿色，这切合几何概型的条件，所以关于顾客来说：P（获取购物券）=1247；2020P（获取100元购物券）=1；20P（获取50元购物券）=21；2010P（获取20元购物券）=41.2054.设x和y为下午4：00此后丈夫和老婆分别抵达商定地址的时间（以分钟计数），则他们全部可能的抵达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里0＜x＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何地区即为边长为60的正方形地区（以以下图），为使得两夫妻相遇，他们的抵达时间一定在相距15分钟的间隔以内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y｜＜15（比如当老婆比丈夫晚到14分钟时，他们是能够相遇的，这时，只要注意到x-y＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式知足），而基本领件组所对应的几何地区中｜x-y｜＜15的图形构成事件r发生的地区，事件r的暗影部分和R的地区以下图.所以602452452223600202515757P(r)=60236003600.16评论：依照实质问题，成立相应的数学模型，将问题转变为几何概型问题是要点所在.讲堂小结经过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、经过做试验的方法获取随机事件发生的频次，以此来近似预计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公