2022年内蒙古通辽市中考数学试题（含答案解析）

2022年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷数学

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答

题卡上将代表正确答案的字母用25铅笔涂黑）

1.一3的绝对值是（）

11C

A.—B.3C.-D.一3

33

2.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部

分，其中是轴对称图形的为（）

满B京&冬

3.节肢动物是最大的动物类群，目前己命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为

（）

A.0.12xl06B.1.2xl07C.1.2xl05D.1.2xl06

4,正多边形的每个内角为108。，则它的边数是（）

A.4B.6C.7D.5

5.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了

一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，匾三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：

“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为

x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）

‘8x+3=y8x—3=y[8x+3--y8x-3=y

c.〈

7x-4=y7x+4=y[7x+4=y7x-4=y

6.如图，一束光线A3先后经平面镜OM,ON反射后，反射光线与A3平行，当NABM=35。时,

ZDCN度数为（）

1

M

N

A.c55°B.70°C.60°D.35°

7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-17+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位

长度，所得函数的解析式为（）

A.y=（x-2）--1B.y-^x—iy+3

C.y=x2+1D.y=%2-1

8.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以A3为直径的圆经过点C,

D,贝iJcosNAZX的值为（）

\-2k1

9.若关于无分式方程：2----=——的解为正数，则左的取值范围为（）

x—22—x

A.k<2B.女<2且女

C.k>-\D.Z>—1且左HO

10.下列命题：①（机-/y=机3〃5；②数据1,3,3,5的方差为2；③因式分解

V—4x=x（x+2）（x—2）；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式万在实数范围内有意义，则

x>l.其中假命题的个数是（）

A.1B.3C.2D.4

11.如图，正方形ABC。及其内切圆。，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（）

2

AB

71,冗71

A.—B.1-----c.一D.1-----

4488

12.如图，点。是口。钻。内一点，AO与x轴平行，8D与丁轴平行，BD=6，NBDC=120°,

ob

S.BCD=^6,若反比例函数y=-（x<o）的图像经过C，q两点，则我的值是（）

2x

A.—6也B.-6C.-1273D.-12

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横

线上）

13.菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形的边长为.

14.如图，依据尺规作图的痕迹，求Na的度数

15.如图，在矩形A8CD中，£为AO上的点，AE=AB,BE=DE，MtanZBDE=

BC

3

16.在放△ABC中，NC=90°,有一个锐角为60。，AB=6,若点P在亶线AB上（不与点A,B重

合），且NPCB=30°,则AP的长为.

17.如图，OO是AABC的外接圆，AC为直径，若AB=26,BC=3,点P从B点出发，在AABC内

运动且始终保持NCBP=NB4P,当C,P两点距离最小时，动点P的运动路径长为.

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上

写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

计算：+41-\^sin60。-（耳）•

18.

,八c。+1>0

41a—2

19.先化简，再求值：。一一+—L，请从不等式组《4a-5的整数解中选择一个合适的数求

Ia）a~-----<1

''I3

值.

20.如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”

各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内.

（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率；

（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率.（用树状图或列表法表示）

21.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算A3的长度（结果保留小数点后一位，

石=1.7）,

4

22.某学校在本校开展了四项“课后服务”项目(项目A：足球；项目5：篮球；项目C：跳绳；项目

D：书法)，要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并

选修情况扇形统计图

(1)本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，8所对应的扇形的圆心角的度数是°；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数.

23.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用

品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付*元，去乙商店购买实付北元，其函数图象如

图所示.

5

(i)分别求海，y乙关于x的函数关系式；

(2)两图象交于点A,求点A坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

24.如图，在H/AAOB中，NAQB=90。，以。为圆心，。8的长为半径的圆交边AB于点。，点。在边

上且CD=AC,延长CO交08的延长线于点E.

(1)求证：CD是圆的切线；

(2)已知sinNOCO=AB=4#,求AC长度及阴影部分面积.

25.已知点£在正方形A8CD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形A8CD有公共点A.

2CE

(1)如图1,当点G在AO上,E在上,求正而值为多少;

6

(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转a(0°<c<90。)，如图2,求：——的值为多少；

DG

(3)AB=86，AG=与AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转。(0°<a<360°),当C,G,

E三点共线时，请直接写出DG的长度.

26.如图，抛物线y=—f+Ax+c与X轴交于A,B两点，与y轴交于。点，直线8c方程y=x-3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点p为抛物线上一点，若S.“c=gs“Bc，请直接写出点P的坐标;

(3)点。是抛物线上一点，若NACQ=45°,求点。的坐标

7

2022年内蒙古通辽市中考数学答案解析

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答

题卡上将代表正确答案的字母用25铅笔涂黑）

1.B

【详解】解：力―3|=3,

•••—3的绝对值是3,

2.A

【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

3.D

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为“xlO”,W为正整数，且比原数的整数位数

少1,据此可以解答.

【详解】解：120万=1200000=1.2X106.

4.D

【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72。，再用外角和360。除以72。，计算

即可得解.

【详解】解：•••正多边形的每个内角等于108°,

,每一个外角的度数为180。-108。=72°,

边数=360°+72°=5,

5.B

【分析】根据译文可知“人数x8-3=钱数和人数x7+4=钱数”即可列出方程组.

8jr-3=y

【详解】解：由题意可得，4

7x+4=y

6.A

【分析】根据题意得：ZABM^ZOBC,NBCO=NDCN,然后平行线的性质可得NBCD=70。，即可求解.

【详解】解：根据题意得：NABM=NOBC,ZBCO=ZDCN,

'：/ABM=35。，

：.ZOBC=35°,

ZABC=180°-ZABM-ZOBC=180°-35°-35°=l10°,

'：CD//AB,

：.ZABC+ZBCD=}S00,

：.ZBCD=180°-ZABC=10°,

,：ZBCO+ZBCD+ZDCN=180°,ZBCO=ZDCN,

8

ZDCN=1(180。-/BCD)=55°.

7.D

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：将二次函数y=(x-lp+l的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函

数的解析式为y=(x-l+iy+l-2=d-i

8.B

【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出NADC=NC84,

ZACB=90°，计算出cosNCBA即可得到cosZADC.

【详解】解：：A8为直径，CB=3,AC=2,

ZACB=90°，AB'=CB2+AC2，

AB=A，

ABV1313

AC=AC

：.ZADC=NCBA,

.3V13

・・cosZADC=------

13

9.B

【分析】先解方程，含有女的代数式表示X,在根据X的取值范围确定％的取值范围.

1-2k1

详解】解：・・・2-------=--,

x—22—x

2(x-2)-1+2k-—1,

解得：x=2-k,

•・,解为正数，

・,・2-2>0,

k<2,

•・,分母不能为0,

工1w2,

・・・2—女工2,解得左。()，

综上所述：ZV2且

10.C

【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项

判断即可求解.

9

【详解】解：①(加力2丫=加3〃6,故原命题是假命题；

②数据1,3,3,5的平均数为;(1+3+3+5)=3,所以方差为

；[(1一3『+(3-3『+(3-3『+(5-3)2]=2,是真命题；

③x3—4x=-4)=x(x+2)(x—2),是真命题；

④平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故原命题是假命题；

⑤使代数式GT在实数范围内有意义，则x-1*0,即xNl,是真命题；

.♦.假命题的个数是2.

11.B

【分析】设正方形的边长为。，则其内切圆的直径为“，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比

求出概率，即可.

【详解】解：设正方形的边长为。，则其内切圆的直径为。，

其内切圆的半径为区,正方形的面积为。2,

2

二阴影部分的面积为"—万x=[1—

"叽2

...随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是(4)、兀・

-------;-----=1---

12.C

【分析】过点。作CELy轴于点E,延长BO交CE于点F,可证明△COEgAABE(AAS),则

石；由S△初c=g・5D・"'=gjj可得CF=9,由/B00120。，可知NCQE=60。，所以。尸二3百，所以点。

的纵坐标为46；设C(m,G)，。(团+9,46),则仁也m=46(m+9),求出加的值即可求出女的

值.

【详解】解：过点。作CE_Ly轴于点E延长交CE于点R

10

•・•四边形048c为平行四边形，

：.AB//0CfAB=0Cf

：./COE二NABD,

•・・8。〃），轴，

・・・ZADB=90°f

：.^C0E^/\ABD（AAS）,

・•.OE=BD=43t

19r~

■:S&BDC=”D・CF=一<3,

22

；.CF=9,

'：ZBDC=120°,

：.ZCDF=6O0,

：.DF=3y/3-

...点。的纵坐标为46,

设C5,8），D（利+9,4后），

•.•反比例函数尸七（%<0）的图像经过C、。两点，

X

:.k=Gm=4y（3（〃?+9），

/.m=-\2,

:.k=-\2道.

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横

线上）

13.【答案】5

【详解】如图，

：.OA=-AC=^,0B=-BD=3,ACLBD,

22

•・A8=>/0A24-OB1=5

14.【答案】60

【分析】先根据矩形的性质得出A5〃C£>,故可得出NAB。的度数，由角平分线的定义求出N碎尸的度

11

数，再由EF是线段8。的垂直平分线得出NEFB、/8EF的度数，进而可得出结论.

【详解】解：如图，

:四边形ABC。为矩形，

/.AB//CD,

...ZABD=ZCDB=O)°,

由尺规作图可知，BE平分/ABD,

：.AEBF=-NABD=-x60°=30°,

22

由尺规作图可知EF垂直平分BD,

：.NEFB=9Q°,

：.ZBEF=900-ZEBF=60°,

：.Za=ZBEF=60°.

15.【答案】72-1##-1+>/2

【详解】解：设4?=1,

,•・在矩形ABCD中，E为AO上的点，AE=AB,BE=DE，

：.ED=BE=yjAE*2+*9AB2=41，

AD=AE+ED=l+垃，

tanZBDE=—=―==血-1,

AD1+6

9

16.【答案】2或9或3

2

【分析】分乙48c=60、NABC=30。两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【详解】解：当NA8C=60。时，则NBAC=30°,

BC=-AB=3,

2

AC=>IAB2-BC2=36,

当点P在线段A8上时，如图，

12

A

•:/PCB=30°,

；.NBPC=90°,即PC_LAB,

；•AP=ACcosZBAC=3y/3x—=-；

22

当点P在AB的延长线上时，

/PCB=30°,NPBC=NPCB+NCPB,

；.NCPB=30°,

NCPB=NPCB,

:.PB=BC=3,

；.AP=AB+PB=9；

当NABC=30°时，贝IJ/BAC=60°,如图，

AC=‘A8=3,

2

•••NPCB=30。，

AZAPC=60°,

AZACP=60a,

ZAPC=ZPAC=ZACP,

...△APC为等边三角形，

：.PA=AC=3.

9

综上所述，AP的长为—或9或3.

2

17.【答案】1万.

3

13

【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位

置，进而求出点P的运动路径长.

【详解】解：•.•AC为。。的直径，

ZABC=90°.

:.ZABP+ZPBC=90\

QNPAB=NPBC,

ZPAB+ZABP=9Q）.

二，ZAPB=90°.

.•.点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，

如图，记以A8为直径的圆的圆心为。一连接。（交。。于点尸'，连接QP,CP.

QCPRC-

••・当点q,P,c三点共线时，即点尸在点p'处时，CP有最小值，

AB=2G

Be3r~

在Rt\BCO中，tan/BO、C=——=—j==>/3.

｝O、ByJ3

ZBO、C=60°.

:福=60/6=县兀

1803

•••C,P两点距离最小时•，点P的运动路径长为B71.

3

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上

写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18.【答案】4

【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幕进行计算即可求解.

14

【详解】解：原式=26+4（百一1卜乎-2

=2V3+6-2A/3-2

=4

19.【答案】"+2a，3

【分析】根据分式加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出。的值并代入原式即可

求出答案.

/4、_7

【详解】解：a------a—

Ia）a-

22

--a------4-----a---

aa-2

_+2）（〃-2）a2

aa-2

—ci~+2。,

'〃+l>0①

‘义工1②’

I3

解不等式①得：a>-l

解不等式②得：a<2,

—1<aK2,

为整数，

取0,1,2,

：a。0,。一2H0,

a=1,

当4=1时,原式=12+2x1=3.

20.【答案】（1）,

【分析】（1）根据概率公式直接求解；

（2）根据列表法求概率即可求解.

小问1详解】

吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率

4

故答案为：—

4

15

[2]①②③④

①(D®①③①④

②②①②③②④

③③①③②③④

④④①④②④③

共有12种等可能结果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的共有8种可能，

Q3

吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率为二=一.

124

21.【答案】AB的长度约为9.8米

【分析】延长84交CE的垂线OG于点F，AC,。/交于点G,则四边形由石是矩形，根据图示，可得

四边形"归E是正方形，解RtACGRRtAAGE,即可求解.

【详解】解：如图，延长84交CE的垂线OG于点尸，AC,交于点G,则四边形O/诳是矩形,

NFDB=45。，

:.DF=FB，

四边形。/用是正方形，

;.BF=EB=14,

ZDCG=90°-60°=30°,AF//CD,

..ZFXG=ZDCG=30。，

RtZ\CDG中，DG=tanZ£)CG-C/)=—x20=^^.

33

GF=DF-DG=14-^^，

3

16

14一辿

RGAEG中，AF=———=FG=——=3—=1473-20,

tanZFAGtan30°J3

3

43=3/一4/=14-14石+20=34—14629.8米.

22.【答案】(1)200、108；

(2)见解析(3)900人

【分析】(1)由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以B活动人数所占比例即可得;

(2)用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；

(3)用样本估计总体可得结论.

[1]本次调查的学生共有30915%=200(人)，

扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360。X幽=108。，

200

故答案为：200、108；

[2]C活动人数为200-(30+60+20)=90(人),

补全图形如下：

⑶您。甘=9。。(人)

所以，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数为900人.

%(0<x<300)

23.【答案】(1)y巾=0.85x；y乙与x的函数关系式为":

0.7x+90(x>300)

(2)(600,510)

(3)当xV600时，选择甲商店更合算；当户600时，两家商店所需费用相同：当x>600时，选择乙商店更

合算.

【分析】(1)根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；

(2)根据Q)的结论列方程组解答即可；

(3)由点A的意义并结合图象解答即可.

[1]由题意可得,y甲=0.85x；

乙商店：当0<x<300时，y乙与x的函数关系式为y*x；

当x>300时，y『300+(x-300)x0.7=0.7x+90,

17

x(0<x<300)

由上可得，y乙与x的函数关系式为

0.7x+90(x>300)

y甲=0.85xx=600

[2]由<解得＜

y乙=0.7x+90丁乙=510

点A的坐标为(600,510)；

[3]由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，

结合图象可知，

当XV600时，选择甲商店更合算；

当x=600时，两家商店所需费用相同；

当x＞600时，选择乙商店更合算.

【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函

数的性质解答.

24.【答案】(1)证明见详解；

(2)AC=3,阴影部分面积为一-47.

3

【分析】(1)连接O。，证明NODE=90。即可；

(2)在R/Z\OCQ中，由勾股定理求出OC、。£＞、CD,在R/ZXOCE中，由勾股定理求出。£,用△OCE的

面积减扇形面积即可得出阴影部分面积.

[1]证明：连接。力

•/OD=OB

：.ZOBD=ZODB

,:AC=CD

：.ZA=ZADC

ZADC=ZBDE

：.NA=NEDB

•：NAOB=90°

18

，ZA+ZABO=90°

：.NODB+/BDE=90。

即ODJ_CE,

又。在3上

.••CD是圆的切线；

【2】解：由（1）可知，ZODC=90°

在对△0C。中，sinZOCD=-=—

50C

，设0£>=0B=4x,则0C=5x,

；•CD=y]0C2-0D2=J（5X『+（4X）2=3x

.\AC=3x

：.OA=OC+AC=Sx

在对△Q4B中：。32+。42=.2

即：（4X）2+（8X2）=（4>/5）2

解得x=l,（-1舍去）

，AC=3,OC=5,OB=OD=4

4OE

在在R『Z\OCE中，sinZOCD=-=——

5CE

.•.设OE=4y,则CE=5y,

,/OE1+OC-^CE2

（4y）2+52=（5y）2

解得y=g，（-?舍去）

33

OE-4y=

120一50,

S阴影=-OEOC-9°兀0*—x一X5-4%=-----4%

阴"’2360233

...阴影部分面积为工-47.

3

25.【答案】（1）2（2）夜

（3）4（瓜-6）

【分析】（1）根据题意可得GE〃OC，根据平行线分线段成比例即可求解;

AGAD1

⑵根据（1）的结论，可得而=益=后根据旋转的性质可得〃AG=NG4E,进而证明

19

△GW^AEAC,根据相似三角形的性质即可求解；

(3)勾股定理求得CG,EC,进而根据△G4D-AE4C,由相似三角形的性质即可求解.

【1】••,正方形"EG与正方形ABC。有公共点A,点G在AO上，尸在上，

:.GE//DC

AGAE

"~DG~~EC

.ECAE

"~DG~~^G

•.•四边形AFEG是正方形

AE—\[2AG

ICE42CE

V2DGDG呼SJ

[2]如图，连接AE,

••1正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转a(0°<«<90°),

:.ZDAG^ZCAE

_AG_AD_1

,益一三一至

.,.△GAZX^AJEAC

.也4m

DGAD

[3]如图，

20

•：AB=8亚，AG=^AD，

2

AD=AB=8y[2,AG=-x8V2=8,AC=0AB=16,

2

「G,£C三点共线,

RtAAGC中，GC=V^c2-AG2=7162-82=8G,

:.CE=GC—GE=X6-8,

由(2)可知△G4Z)SAE4C,

.CE_AC

••---------、J乙,

DGDA

.DGJACE8@(8痒8)=4回行).

AC16

26.【答案】⑴y=-N+4x-3

,。或(三-~~~,)^5^(",')")

(2)(

22222222

【分析】(1)先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入y=-/+法+c,求出氏c即可求解;

(2)过点A作4N1.BC于N,过点尸作PMLBC于M,过点P作PE〃BC,交y轴于E,交抛物线于

0,°2,过点E作EF_LBC于凡先求出AN=g,再根据两三角形面积关系，求得PM=^~,从而求得

CE=\,则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；

(3)过点Q作AO_LC。于。，过点。作。尺Lx轴于尸财富点C作CE_L。/于E,证△CZ)£^Z\D4£>

(AAS),得DE=A尸，CE=DF,再证四边形OCE尸是矩形，得OF=CE,EF=0C=3,然后设OE=4F=〃，则

CE=DF=OF=n+\,Z)F=3-",则〃+1=3-小解得：n=l,即可求出。(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为

y=^x-3,最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解.

【1】解：对于直线8C解析式y=x-3,

令x=0时，y=-3,

则C(0,-3),

令y=0时，x=3,

则8(3,0),

把8(3,0),C(0,-3),分另ij代入y=—/+"+c,得

-9+3b+