双曲抛物型方程

双曲抛物型方程1第一页，共二十页，2022年，8月28日4.1差分格式1.迎风格式(c>0)(c<0)精度：稳定条件：2.蛙跳（leapfrog）格式精度：稳定条件：仅对对流项2第二页，共二十页，2022年，8月28日3.时间前差，空间中心差分的显格式精度：稳定条件：4.Lax-Wendroff格式精度：稳定条件：3第三页，共二十页，2022年，8月28日5.Crank-Nicholson格式精度：稳定条件：恒稳6.全隐格式精度：稳定条件：恒稳可对对流项及扩散项分别采用不同的格式4第四页，共二十页，2022年，8月28日非线性Burgers方程为N-S方程的一个较好的模型方程对于特殊选定的初始值和边界条件，及特别的函数f，可得准确解设f=u2/2，定解域为0xL,t0,边界值u(0,t)=u0,u(L,t)=0定常问题的准确解：其中自行尝试各种格式5第五页，共二十页，2022年，8月28日时间微商的差分逼近上述差分方法中在对时间偏微分时，只分为1单步二层格式（前向差分）一阶精度2蛙跳格式（中心差分）：二阶精度3若维持有关欧拉格式的空间微商的差分形式不变（简记为Ld），则我们可引入龙格－库塔(Runge-Kutta)格式，其时间差分精度为4阶（只是内存占用量大）6第六页，共二十页，2022年，8月28日范例若对空间微商采用中心差分，即则龙格－库塔格式为稳定条件：7第七页，共二十页，2022年，8月28日守恒型与非守恒型作为源方程的方程组可以有不同的解析形式，如欧拉形式与拉格朗日形式，守恒形式与非守恒形式，积分形式与特征形式等。不同形式的源方程在解析分析中完全等效，但在数值计算方面则不尽然。对任一物理量U=U(x,t)，若能写成则称U为守恒型变量，F为其通量（密度），形如此方程者为守恒型方程8第八页，共二十页，2022年，8月28日质量守恒动量守恒能量守恒磁通守恒涡旋守恒9第九页，共二十页，2022年，8月28日差分格式从守恒型方程出发设计的格式具有总体守恒的特性，故称为守恒型格式，如该方程可写为半格点值由插值得到若体系与外界无交换，则10第十页，共二十页，2022年，8月28日差分格式子类半格点插值公式的选取若干子类1.欧拉显格式二阶四阶2.欧拉全隐格式精度：11第十一页，共二十页，2022年，8月28日3.Lax格式4.蛙跳－梯形格式蛙跳步梯形步相当于12第十二页，共二十页，2022年，8月28日5.Lax-Wendroff格式(等价于半步长Lax＋半步长蛙跳)格式4、5的时间精度均为二级。特别是碰到激波时，守恒格式能使激波关系较为精确地满足，因此在激波的计算中应首先考虑使用守恒型格式。13第十三页，共二十页，2022年，8月28日5.

说明对流方程的差分格式

耗散性和色散性对于对流方程的差分格式的稳定性具有重要的影响，而理想（磁）流体方程具有与对流方程相似的形式，同属于双曲型方程，故设计格式时须注意耗散性及色散性在稳定条件满足的情况下，迎风格式、Lax格式及全隐格式具有一阶耗散，属强耗散格式，L-W格式具有三阶耗散，龙格库塔格式具有五阶耗散，属弱耗散格式，色散效应起主导作用。蛙跳、跳点和C-N格式的耗散余项为0，属无耗散格式，在碰到激波等强间断时，弱（无）耗散格式的色散性会导致波头振荡和计算失稳，须引入人为耗散。14第十四页，共二十页，2022年，8月28日隐式与显式隐格式稳定性好（步长仅受非线性效应及计算精度的约束），而显格式则在步长上有强约束条件，有时会使步长太短而无法实现。但对波动过程及瞬变现象，物理量变化时间尺度较小，故显格式的步长限制有时并不十分严重，且显格式具有编程简单及适宜并行处理的优点，也经常被采用。对扩散项，当耗散系数较大或空间步长较小时，应优先考虑隐格式。将前面介绍的单一方程的差分格式对整个方程组进行统一的处理是构造偏微分方程组差分格式的最简单途径。15第十五页，共二十页，2022年，8月28日6.

守恒型方程组的单步显格式考虑方程组其中U为未知函数，F为通量项，S为非齐次项（可以是U的函数），三者均m维矢量上式可写为非守恒形式其中为矩阵上式中F可分解为与速度有关的对流项FT和诸应力项＋耗散项FD

常见的单步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎风格式16第十六页，共二十页，2022年，8月28日Lax格式精度：稳定条件：式中为矩阵A的最大本征值该格式可推广到二、三维，相应的稳定条件为对流体，为声速17第十七页，共二十页，2022年，8月28日Lax-Wendroff格式精度：稳定条件：一般A是U的线性函数，故其色散正比于k4，故适合研究长波作业：这儿应该是F还是U?18第十八页，共二十页，2022年，8月28日迎风格式精度：稳定条件：推广到高维问题时效果很差，故一般只用于一维问题Lax方法及迎风格式虽精度低，但却具有强耗散和弱色散，故实际使用时稳定性及可靠性较好。迎风格式能保持物理量（如密度、温度、压