图论图的矩阵表示

图论图的矩阵表示第一页，共二十二页，2022年，8月28日7.3图的矩阵表示图的矩阵表示图的数学抽象是三元组，其形象直观的表示即图的图形表示。为便于计算，特别为便于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表示方法—图的矩阵表示。利用矩阵的运算还可以了解到它的一些有关性质。内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。重点：1、有向图，无向图的关联矩阵，2、有向图的邻接矩阵。了解：有向图的可达矩阵。第二页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1图的矩阵表示邻接矩阵

存储原则:

存储结点集和边集的信息.（1）存储结点集；（2）存储边集：存储每两个结点是否有关系。第三页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵1.无向图的邻接矩阵定义1.6.2设的顶点集为，用表示中顶点与之间的边数。称矩阵为的邻接矩阵。从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：是一个对称矩阵；若为无环图。则中第行(列)的元素之和等于顶点的度数；(3)两个图与同构的充要条件是存在一个置换矩阵，使得。对应的邻接矩阵例2下图所示的邻接矩阵为：A(G)A(G)A(G)A(G)A(G)A(G)相当于将单位矩阵中相应的行与行，或者列与列互换的矩阵第四页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵同构图判别定理：图G1，G2同构的充要条件是：存在置换矩阵P，使得：A1＝PA2P。其中A1，A2分别是G1，G2的邻接矩阵。如何判断两图同构是图论中一个困难问题v1v2v3v4图G1vavbvcvd图G20111101111011110A1＝12340111101111011110A2＝abcdv1<->vav2<->vbv3<->vcv4<->vd第五页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵在邻接矩阵A的幂A2，A3，…矩阵中，每个元素有特定的含义。定理:设G是具有n个结点集｛v1，v2，…，vn｝的图，其邻接矩阵为A，则Al（l＝1，2，…）的（i，j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长度等于l的路的总数。

证明:归纳法

当l＝1时，A1＝A，由A的定义，定理显然成立。

若l＝k时定理成立，

则当l＝k＋1时，Ak+1＝A·Ak

，所以aij(1)等于G中联结vi与vj的长度为1的路径条数。n

aij

(l+1)=aik

×akj

(l)

k=1vkvivj长度=1长度=l共akj(l)条第六页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵结论：

(1)如果对l＝1，2，…，n-1，Al的（i，j）项元素（i≠j）都为零，那么vi和vj之间无任何路相连接，即vi和vj不连通。因此，vi和vj必属于G的不同的连通分支。

(2)结点vi

到vj

（i≠j）间的距离d（vi，vj）是使Al（l＝1，2，…，n-1）的（i，j）项元素不为零的最小整数l。

(3)Al的（i，i）项元素a(l)ii表示开始并结束于vi长度为l的回路的数目。第七页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵例1图G＝（V，E）的图形如图，求邻接矩阵A和A2，A3，A4，并分析其元素的图论意义。解第八页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵

(1)由A中a(1)12＝1知，v1和v2是邻接的；由A3中a(3)12＝2知，v1到v2长度为3的路有两条，从图中可看出是v1

v2

v1

v2和v1

v2

v3

v2

。

(2)由A2的主对角线上元素知，每个结点都有长度为２的回路，其中结点v2有两条：v2

v1

v2和v2

v3

v2

，其余结点只有一条。

(3)由于A3的主对角线上元素全为零，所以G中没有长度为３的回路。(4)由于a（１）34＝a（２）34＝a（３）34＝a（４）34＝０，所以结点v3和v4间无路，它们属于不同的连通分支。

(5)d（v1，v3）＝２。

对其他元素读者自己可以找出它的意义。

第九页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵设图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞如下图所示讨论（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，∴又称为布尔矩阵；（2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和行、列和列的交换，则得到相同矩阵。∴若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。（3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵；（4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0；（5）在图的邻接矩阵中，①行中1的个数就是行中相应结点的引出次数②列中1的个数就是列中相应结点的引入次数第十页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵矩阵的计算：主对角线上的数表示结点i（或j）的引出次数。主对角线上的数表示结点i（或j）的引入次数。第十一页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵表示i和j之间具有长度为2的通路数，表示i和j之间具有长度为3的通路数，表示i和j之间具有长度为4的通路数，第十二页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2，3，4的不同通路总数。此时，bij0，表示从vi到vj是可达的。第十三页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1邻接矩阵2.有向图的邻接矩阵1、设有向图，，的邻接矩阵，，其中指邻接到的边的条数(非负整数)。第十四页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.1图的矩阵表示有向图的邻接矩阵第十五页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.2邻接矩阵例1

有向图(下图所示)，求。解：第十六页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.2关联矩阵关联矩阵多用于简单无向图无向图的关联矩阵一个图由它的顶点与边的关联关系唯一确定；定义1.6.1设的顶点集和边集分别为，。用表示顶点与边关联的次数(0，1或2)，称矩阵为的关联矩阵。第十七页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.2关联矩阵例1下图所示的关联矩阵为：对应的关联矩阵从图的关联矩阵的定义容易得出以下性质：的每一列元素之和均为2；的每一行元素之和等于对应顶点的度数。若某行元素全为0，则对应的顶点为孤立点。重边所对应的列完全相同。=第十八页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.2关联矩阵有向图的关联矩阵1、设有向图，，，的关联矩阵，其中第十九页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.2关联矩阵例2有向图(下图所示)，求。解：A(D)A(D)第二十页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.3有向图的可达性矩阵有向图的可达性矩阵。(了解)设为有向图，，令，可达性矩阵其中元素可由求得：第二十一页，共二十二页，2022年，8月28日7.3.3有向图的可达性矩