2022年江苏省苏州市吴江区初中教师专业素养测试数学试卷

初中数学素养试卷

（请把姓名写在试卷的左上角）

一、选择

1、互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC=2a+l,BC=a+4,AB=3a,这三点

的位置关系是（）

A.点A在8、C两点之间B.点B在A、C两点之间

C.点C在4、8两点之间D.无法确定r

2、某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、

丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛：

人数的比值）V与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两

所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校

在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）汁

A,甲B.乙C.丙D.T

3、已知点A（a,6）,8（4,c）在直线丁=履+3（人为常数，攵。0）上，若曲的最大值为9,

则c的值为（）

53

A.-B.2C.-D.1

22

4、已知二次函数y=2+1（人为常数），在自变量x的值满足的情况下，与

其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为（）

A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3

5、如图，正方形4BCO内接于00,线段MN在对角线8。上运动，若0。

的面积为2兀，MN=1,则AAMN周长的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

6、在Rt/XABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,点尸是AABC所在平面内一

点，则出2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点尸是AABC三边垂直平分线的交点B.点P是AABC三条内角平分线的交点

C.点P是△ABC三条高的交点D.点P是△4BC三条中线的交点

二、填空

1、在A4BC中，NC=90°，以。、c分别为NA、/B、NC的对边，若从=ac，则sinA

的值为__________

2、正偶数2,4,6,8,10,按如下规律排列,

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是_____.

3、已知二次函数丁=（工一加乂工一加一2）（加为常数）.点A（l,y）,8（2,%），C（3,%）在

二次函数的图像上，当y•%.%»（）时，机的取值范围是.

4如图，在廓形AOB中，点C,。在A8上，将CO沿弦C。折叠后恰好与。4，。8相切

于点E,F.已知44。3=120。，Q4=6,则折痕C。的长为—

5、如图，AB=10,点C在射线BQ上的动点，连接AC,作CD_LAC,CD=AC,

动点E在AB延长线上，tanNQ8E=3,连接CE,DE，当CE=DE,CELOE时，BE

的长是

6、已知△ABC,/8AC=4£,—8,要使满足条件的

△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围为

三、解答题

1、如图是4x4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

图1图2

（1）在图1中作NABC的角平分线；

（2）在图2中过点。作一条直线/,使点A,8到直线/的距离相等.

2、若函数G在〃（加<〃）上的最大值记为，最小值记为Znin，且满足

>nw<->min=l，则称函数G是在加WXW〃上的“最值差函数”.

（1）函数①y=,；②y=x+l；③y=f.其中函数是在14xW2上的“最值差

X

函数”；（填序号）

（2）已知函数G:y=以2-4ai+3a（a>0）.

①当a=l时，函数G是在，WxWr+1上的“最值差函数"，求，的值；

②函数G是在m+2WxW2m+l（朋为整数）上的“最值差函数”，且存在整数匕使得

%=%纥，求a的取值范围.

3/min

3、如图，在。。中，A3为直径，P为AB上一点,%=1,尸5=〃？（机为常数，且〃7>0）.过

点尸的弦COL45,Q为BC上一动点、（与点8不重合），AHLQD,垂足为〃.连接A。、

BQ.

（1）若772=3.

①求证：NOA£）=60°；

②求——的值；

DH

（2）用含，〃的代数式表示丝，请直接

写出结果：

（3）存在一个大小确定的。。，对于点。的任意位置，都有的值是一个定

值，求此时/Q的度数.

4、问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三

角板庄户（/尸=90°,//=60。）的一个顶点放在正方形中心。处,并绕点。逆时针旋转，

探究直角三角板PEF与正方形ABC£）重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图3

（1）操作发现：如图1，若将三角板顶点P放在点。处，在旋转过程中，当O尸与0B重

合时，重叠部分的面积为；当可与垂直时，重叠部分的面积为；

一般地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部分的面积面与S的关系为；

（2）类比探究：若将三角板的顶点厂放在点。处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形

的边相交于点M,N.

①如图2,当=时.，试判断重叠部分AOMN的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=QV时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；

（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为NGO”（设

NGOH=a）,将NGOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形

的边所围成的图形的面积为邑，请直接写出邑的最小值与最大值（分别用含a的式

子表示），

（参考数据：sinl5°=，——，cosl5o=W+3,tanl5°=2-G）

44

5、如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,动点E从点A出发，沿边AD，。。向点

。运动，A,。关于直线BE的对称点分别为M,N,连结M/V.

E_D

备用图

(1)如图，当E在边AO上且。£=2时，求NA£M的度数.

(2)当N在BC延长线上时，求OE的长，并判断直线MN与直线的位置关系，说明

理由.

(3)当直线MN恰好经过点。时，求DE的长.

6、阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的

关系，可表述为“当判别式△'()时，关于x的一元二次方程依区+c=o(a/0)的两个

bc

根X］、々有如下关系：玉+%=---,%工2=—”,此关

系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数

y=ax1+ZZY+C(Q>0).

（1）若a=l,b=3,且该二次函数的图象过点（1,1）,求。的值;

（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点

A（x，0）、B（%2,0），其中％＜0＜马、㈤＞同，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE

的边防上，其对称轴与x轴、3E分别交于点M、N,跳与y轴相交于点P,且满足

3

tanZABE=-.

4

①求关于x的一元二次方程泼+fex+c=0的根的判别式的值；

②若NP=2BP,令7=工+屿。，求T的最小值.

a'5

参考答案

一选择

1.A2.C3.B4.B5.B6.D

二、填空

—1+yj5

1、22、7443、6＜一1或0＜加＜2或相23

图1图2

2、（1）②

（2）①解：当。=1时，二次函数G:y=ar?-4依+3〃（〃>0）

为y=f-4工+3,对称轴为直线x=2.

当x=P时，y=产-4，+3,

当x=t+l时，%="+l）2—4（f+l）+3=r_2f,

当x=2时，％=-1.

若1>2,则%一y1=1，解得，=2（舍去）；

3

若在42,则%-%=1，解得1=0（舍去），f=2；

3

若1</<一，则%一出=1，解得「=1，1=3（舍去）；

若则％-%=1，解得1=1（舍去）.

综上所述，t=\t=2.

②;二次函数y=cue2-Aax+3a[a>0）的对称轴为直线x=2,

又m+2,/.m>l,

2<m+2<x<2m+l,

・•・当x=2m+1时取得最大值，x=〃z+2时取得最小值，

.一%”，（2〃?+1）2一4。（2〃2+1）+3。4机彳4

••K————今,

Win+2）~—4。（m+2）+3〃m+1M+1

，小，%为整数，且相>1,・的值为3,又丁Nmax一为由=1，，.

3、（1）①如图，连接0。则。4=0。

VAB=B4+PB=1+3=4

:.OA=—AB=2

2

OP=AP=\

即点尸是线段OA的中点

•：CD1,AB

••.CO垂直平分线段OA

OD=AD：.OA=OD=AD即△OAQ是等边三角形

：.ZOAD=60°

②连接AQ

TAB是直径

：.AQ±BQ

根据圆周角定理得：ZABQ=ZADH,

cosZABQ-cosZADH

9：AH.LDQ

在Rt/XABQ和Rt/\ADH中

cosZABQ=挺=cosZADH=-

ABAD

.BQAB

"15H~^D

'：AD=OA^2,AB=4

.%JB=4=2

''DH~AD~2~

(2)连接AQ、BD

与(1)中的②相同，有丝=丝

DHAD

TAB是直径

：.AD±BD

：.ZDAB+ZADP=ZDAB+ZABD=90°

：.ZADP=ZABD

:.Rt丛APDsRt丛ADB

.PAAD

•,茄一耘

'：AB=PA+PB=\+m

AD=>/PA»AB=yj\+m

BQAB1+mr------

-1=y]+/%

~DH~~AD

(3)由(2)知，——=Jl+田

DH

：.BQ=6Tm.DH

即BQ2=（1+m）DH2

：.BQ2-2£）"+「82=（1+加）。〃2—2。”2+疗=（加一］）。“2+小

当m=l时，8。2-2£>/+282是一个定值，且这个定值为1,此时%=P8=1,即点尸与圆心

。重合

,JCDVAB,OA=OD=\.♦.△A。。是等腰直角三角形：.ZOAD=45°

•.•/。4。与/。对着同一条弧.•.NGNOAO=45°

故存在半径为1的圆，对于点。的任意位置，都有BQ?-2O/+P82的值是一个定值1,此

时/。的度数为45.

4、如图1中，设OF交A3于点J,0E交BC于点、K,过点。作0AMA8于点M,ONLBC

于点N.

•/0是正方形ABCD的中心,

：.OM=ON,

•：ZOMB=ZONB=NB=90。,

四边形OMBN是矩形，

'：OM=ON,

四边形OMBN是正方形，

NMON=/EOF=90。,

：.ZMOJ=ZNOK,图1

•：NOMJ=NONK=9G°,：.XOMJmMONK(AAS),

:・S4PM产SAONK，S四边彩OKR/=S正方彩0，”B2-S正方形ABCD,.,•Si=­S.

44

故答案为：1,1,Si=-S.

4

【小问2详解】

①如图2中，结论：△OMN是等边三角形.

理由：过点0作OTLBC,

；0是正方形ABCQ的中心，

，BT=CT,

,；BM=CN,：.MT=TN,

VOTA.MN,：.OM=ON,

；/MON=60。，.♦.△MON是等边三角形；图2

②如图3中，连接。C,过点。作OJLBC于点J.

•:CM=CN,NOCM=NOCN,OC=OC,

:.AOCM2△OCN(SAS),

/COM=/CON=30。，

ZOMJ=ZCOM+Z0CM=15°,

'COJLCB,

NJOM=90°-75°=15°,

•：BJ=JC=OJ=\,

图3

JM=QAtan15°=2-6，CM=CJ-MJ=1-(2-石)=石-1,

••S四色彩OMCN=2X—xCMxOJ=^3~1•

【小问3详解】

如图，将NHOG沿O"翻折得到N"OG'，则

△MONGAMON,此时则当M,N在BC上时，邑比四边

形NQW'C的面积小，

设M'C=a,CN=b,则当'的“最大时，$2最小，

■:S.MNM，,即MC=NC时'S-MNAT最

22J

大，

此时OC垂直平分M2V,即ON=W,则OM=ON

如图4-1中，过点。作。Q_L2C于点Q,

：OM=ON,OQ1MN

■■■BM=CN

・,.当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小.

.aa

在Rt/A\MOQ中，MQ=OQ・tan—=tan—,

・・・MN=2MQ=2tan—,

2

ia

S2=S^OMN=-xMNxOQ=tan—.

如图4-2中，同理可得，当CM=CN时，S2最大.

•・•OC=OC,ZOCN=ZOCM.CN=CM

则△COM之△COM

G

图・1-2

a

：.ZCOM=—,

2

・・•ZCOQ=45°f

a

，ZMOQ=45°-—,

aa

QM=OQ・tan(45°--)=tan(45°--),

'-22

,a

：.MC=CQ-MQ=\-tan(45°--),

2

a

S2=2SACWO=2XxCM^OQ=\-tan(450-1).

5、解：V£>£=2,：.AE=AB=6,'・•四边形48CD是矩形，AZA=90°,

・•・ZAEB=ZABE=45°f由对称性知/BEM=45。,

・・・/AEM=NAEB+NBEM=90。；

(2)如图1,

•・・AB=6,AO=8,

・•・由勾股定理得8Q=10,

•・•当N落在BC延长线上时，BN=BD=10,

：.CN=2,

由对称性得，/ENC=/BDC,

26

，cosNENC=----=—,

EN10

1010

・・・EN=—,DE=EN=—；

33

直线MN与直线BD的位置关系是MN//BD.

由对称性知BM=A8=CO,MN=AD=BC,

又,：BN=BD,：./\BMN沿/XDCB(SSS),:・/DBC=/BNM,

所以MN〃BD・,

(3)①情况1：如图2,当E在边AO上时，直线MN过点C,

・・・NBMC=90。，

JMC=』BC?-BM?=2g.

VBM=AB=CDf/DEC=/BCE,ZBMC=ZEDC=90°

:・ABCM边/XCED(AAS),

：.DE=MC=277;

BC

图2

②情况2：如图3,点E在边。上时，

,:BM=6,BC=8,

:・MC=2币,CN=8-23,

・.・/BMC=/CNE=ZBCD=90°,

:・/BCM+/ECN