4绝对值的三角不等式

1.4绝对值三角不等式营口市经济技术开发区熊岳高中王春丽一、教学目标：知识与技能：理解绝对值三角不等式的性质定理，及绝对值三角不等式的应用。过程与方法：联系学生已有的绝对值知识，从数、形等多角度证明该定理，并以向量为背景进行解释。情感态度价值观：培养学生分类讨论、数形结合的思想，同时提高处理数学问题的能力。二、教学重点、难点：重点：绝对值三角不等式的含义，会应用该定理求最值和做简单的证明。难点：绝对值三角不等式的发现，推导和取等条件。三、教学方法和手段：本节课利用多媒体辅助教学，采用学生多参与，多讲解的方式。四、教学过程:（一）课前预习：带着两个问题预习:

问1:本节课的主要内容绝对值三角不等式因何得名？问2：绝对值三角不等式有什么用处？可以解决什么问题？（b中0）（b中0）ab-ab那么绝对值的和差运算是否有类似的结论呢?a+b-a+b是否成立?（三）新课讲授：1、同学们分组讨论，通过大量赋值验证，容易得到结论：a+b<a+b下面来思考一下如何证明该定理。请同学们思考一下!解析：首先我们来回顾一下绝对值的相关知识，由绝对值的定义知道，要想去掉绝对值符号，我们应讨论绝对值符号内的数与零的大小关系，所以需要分类讨论。已知a,b是实数，试证明：a+b产a+b（当且仅当ab》0时，等号成立.）证：由绝对值的定义可得：①当ab>0时，la+bl=lal+lbl;②当ab=0时，la+bl=lal+lbl;③当ab<0时，la+bl<lal+lbl。综上，产+，产a+b（当且仅当硒2。时，等号成立.）2.由数的角度，得到了该不等式的证明，那么从形的角度又该如何解释呢？解析：绝对值的几何意义应该是代表了数轴上的点到原点的距离，所以我们通过数轴来验证该不等式。①a♦b>0时，如下图，容易得：la+bl lal+1blO~1 bs+ija+bb ，""O②a•b<0时,如图，容易得：la+bl lal+1bl£a工白O~2 3_Oa+bi?③a•b=0时，显然有：la+bllal+1bl综上,得定理1:如果a,b£R,那么la+bl lal+1bl.当且仅当时，等号成立。 一3.定理1：a+b\<a+网（当且仅当0b20时，等号成立.）请同学们观察一下该不等式的结构，还有什么样的证明方法？解析：观察该不等式左右两边分别都含有绝对值号，并且两边都是非负数，联系旧知可以想到处理绝对值不等式我们的一个有效手段就是平方。证明：利用不等式的基本性质5、6,进行恒等变形|q+b|<|a|+|b|=a+b|2<(|a+b)2=(a+b)2<|a|2+2ab|+|b|2=a2+2ab+b2<a2+2|a|b|+b2=ab<|a||b|=ab<a^b综上，y+b|W网+b(当且仅当0bN0时，等号成立.)4.如果把定理1中的实数ab分别换为向量a,b,能得出什么结果？当a,b不共线时，由向量加法三角形法则：向量a,b7a+b构成三角形，因此有仃,a+14hib )f它的几何意义就是：产上三角形两边之和大于第三边。若a,b共线，结果如何？两向量分同向共线和反向共线两种情况，易知，定理1成立。由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式注意：分类讨论的思想，数形结合的应用以及向量的工具性。从多角度证明了绝对值三角不等式，使我们对于这个问题的认识更加的深刻。5.练一练1:若a，b£R，且IaW3,IbIW2,则Ia+bl的最大值是，最小值是.解析:IIaI—IbIlWla+bWla解lbI,故1a+bI的最大值是5,最小值是0.答案：50练一练2：若Ia+bI=IaI+IbI成立，则有ab__0:练一练3：已知实数0<a<1,则关于x的不等式X+logX<X+logX的解集为练一练4：用不等号填空:(l)Ia+bI+Ia-bI__2IaI⑵Ia+bI+Ib-aI__2IbI解析：由绝对值三角不等式中实数a,b的任意性，可以用任意代数式去整体代换a,b,此处只需要用a+b和a-b来代替a,b即可，此处体现了整体代换的思想，也为下面定理2的证明奠定了基础。定理2设a,b,c为实数，则|a—q习a—b|+|b—q,等号成立o(a-b)(b-c)>0,即b落在a,c之间。解析：用a-b,b-c分别替换定理中的a,bo(四)定理的应用活学活用，巩固提高题型一利用绝对值三角不等式来证明例1:求证：|2x+3y-2a-3b|4证明：|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|<2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2x4+3x§=£变式：(2016年江苏卷)设a〉0,任-1|<；,|y-2|<；,求证：I2x+y-4l<a.证明：因为|x-1|<a,|y-21Va,aa所以I2x+y-4I=I2(x-1)+(y-2)I<2lx-1l+ly-2l<2x+=a< 3 3题型二绝对值不等式的应用例1(2014福建高考题节选)已知定义在R上的函数f(x)=lx+1l+lx-2l的最小值为a,求a.解：因为lx+1l+lx-2l>Ix+1-(x-2)I=3当且仅当-1<x<2时，等号成立。所以f(x)的最小值是3,即a=3变式：(陕西高考)若存在实数x使X-4+|x-1|<3成立，则实数a的取值范围是.解：x-a+x-1na-1卜则只需要a-1<3,解得-2<a<4.答案：一2<a<4.变式：(江西高考)若x,ygR，x+y+x-1+y-1<2,贝卜+y的取值范围为 解：冏+|x-1|>|x-(x—1)尸1,|y|+|y-1|>|y-(y—1)尸1,所以X+|y|+x—1+y—1>2,当且仅当xeb,11y£h1时，x|+|y|+|x