2022年暑期新七年级数学专题讲义汇编

目录

第一讲：有理数和数轴

模块一：有理数的基本概念

模块二：数轴

模块三：相反数、倒数

第二讲：绝对值

模块一：绝对值的定义

模块二：绝对值代数意义的应用

第三讲:有理数的四则运算

模块一：有理数的加减法

模块二：有理数的乘除法

第四讲:乘方、科学计数法、有理数的混合运算

模块一：有理数的乘方

模块二：有理数的计算

模块三：科学计数法、有效数字

第五讲：整式的概念和整式的加减

模块一：单项式相关的概念

模块二：多项式相关的概念

模块三：整式的加减法

第六讲:整式的乘除法

模块一：累的运算

模块;二：整式的乘法

模块三：整式的除法

第七讲:有理数计算

模块一:有理数的计算（一）

模块二:有理数的计算（二）

模块三:有理数的计算（三）

第八讲:小升初分班考试卷

小升初分班考试卷（一）

小升初分班考试卷（二）

小升初分班考试卷（三）

小升初分班考试卷（四）

小升初分班考试卷（五）

小升初分班考试卷（六）

模块一有理教基本祗念

定义示例剖析

正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数.在小学学正数：1,2.5,,...

过的数，除0外都是正数.正数都大于0.3

17

负数：像-1、-3.12、-一、-2008等在正数前加上负数：一1,5,—,...

52

“-”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.一个数字前面的“+

0既不是正数，也不是负数.号叫做它的符号.

正数前面的“+”可以省略，注

意3与+3表示是同一个正数.

用正、负数表示相反京义的革：

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意譬如：用正数表示向南，那么向

义，反之亦然.北3km可以用负数表示为-3km.

“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意

义；二是相反意义的基础上要有量.

有理数：整数与分数统称有理名

,正整

卜自然数

整数零正整数：1,2,10,……

［负鎏J

有理数（按定义分类卜檄

负整数:-3,-6,-15,……

分数［鬟・数

［负分•数

2

.正整数正分数：一，1.5,0.3,...

正有理数,3

正分数

有理数（按符号分类）＜零

负分数：-3.25,-1.62,...

负整数5

负有理数,

负分数

注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；

⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.

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夯实基础-暮n

--—~r

【例1】（1）下列各组量中，具有相反意义的量是（）

A.节约汽油10升和浪费粮食10kgB.向东走8公里和向北走8公里

C.收入300元和支出100元D.身高180cm和身高90cm

⑵规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（）

A.前进-18米的意义是后退18B.-4万元的意义是亏损4万元

C.收入的相反意义是支出D.后退-4米的意义是前进4米

⑶如果零上5℃记作+5℃,那么零下5℃记作（）

A.-5B.-10C.-5℃D.-10℃

⑷如果水位升高4m时水位变化记作+4m,那么水位下降3m记作m,水位不

升不降时水位变化记作m.

⑸甲，乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）.

A.200米B.50米C.300米

D.350米

（6）饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600±30（ml）”字样，请问

"600±30ml"是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml,611ml,

589ml,573ml,627ml，问抽查产品的容量是否合格？

⑺在下表适当的空格里打上号.

整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数

0

-1.5

]_

4

+0.62

-3

0.31

71

9

~8

【例2】⑴一种零件的长度在图纸上是（20喘，米，表示这种零件加工要求最大

不超过米，最小不小于米.

（北京师范大学附属实睑中学）

⑵1是（）

A.最小的整数B.最小的正整数C.最小的自然数D.最小的有理数

（3）-4.5,6,0,2.4,兀，--,-0.313,3.14,-11,以上各数中

2

第二页共八十一页

属于负数，属于非正数，属于非负有理数.

322

⑷在15,—,0.15,-30,-12.8,—中，负分数的个数是（）

85

A.1B.2C.3D.4

:冷模块二数轴

定义示例剖析

数轴：规定了厚卓、氐方回和单住馋摩的直线..1____1________

101

⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，画数轴的常见错误：

二者缺一不可.11

⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前23

没有原点

者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的

名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线

段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一

t1

数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.012

⑶数轴的画法没有正方向

①画一条水平的直线；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为原।।

点：234

没有原点

③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

单位长度不统一

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，

并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度

।

要一致.0

没有单位长度

有理数与数轴的关系：

一切有理数都可以用数轴上的点表不出来.T01234

注意：数轴上的点不都代表有理数，如兀.

利用数轴比较有理数的大小：.।.।

a

数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所b01

对应的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，b<Q<\<a

正数大于负数.

夯实基出

【例3】⑴画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用连接.

+5,—3.5,—,—1—,4,0,2.5

22

第三页共八十一页

44

（2）—和-0.9的大小关系是：—____—0.9

55----

⑶数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是.

（4）数轴上点4对应的数为-3,那么与/相距1个单位长度的点8所对应的数是

⑸数轴上的点1、B分别表示数-3和1,点C是的中点，则点C所表示的数是

（6）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的

整数为.

-1.3^-^2.6

⑺在数轴上任取一条长度为1999,的线段，

9

则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为.

【例4】⑴在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长

度后到达终点，此时这个点表示的数是（）

A.5B.1C.-1

D.-5

⑵一个点从数轴上表示-2的点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位

长度，则终点表示的数是.

⑶数轴上的点/对应的数是-1,一只蚂蚁从N点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长

度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了8点处的蜜糖，又沿原路以原速度返

回力点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？8点与/点的距离是多

少个单位长度？8点对应的数是多少？

【例5】⑴已知数轴上有力、B两点,它们之间的距离为1,点力与原点的距离为3,那么点8

所对应的数为.

⑵在数轴上，N点和。点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点

表示的数是.

（3）己知下图中数轴上线段（。是原点）的七等分点4、B、C、D、E、尸中，只有两

第四页共八十一页

点对应的数是整数，点M对应的数〃那么加可以取的不同值有

个，加的最小值为.

III■I■IIII

MABCDEFO~

【拓展】如图，已知数轴上4、8、C、。四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个

单位，如果4对应的实数为a,8对应的实数为b,且6-2“=9,那么数轴上的原点

应该是4、B、C、。中的哪一点？

----------------.——・——.——.——•—•—•——•——・------------>

ABCD

I冷模块三相反数、倒数

定义示例剖析

例如：+5和-5互为相反数，或者说+5是

相反数:区有得苫不同的两个数互称为相反数.特-5的相反数，-5是+5的相反数；

别地，0的相反数是0.例如：+3与-3互为相反数，而+3与-2虽

相反数必须成对出现，不能单独存在.然符号不同，但它们不是相反数.

求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添例如：3的相反数为-3

上“-”号即可.

一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意-3的相反数为-(-3)

一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个

代数式.注意-a不一定是负数.0的相反数为0

当。>0时，-a<0；当。=0时，-a=0；当a<0

时，-«>0.-(-3)>0

互为相反数的两个数的和为零，即若。与6互为

相反数，则a+6=0：例如：3与-3互为相反数,则3+(-3)=0

反之，若a+6=0,则。与6互为相反数.---------1-------1-------1---------

-404

一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且

到原点的距离相等.

第五页共八十一页

多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个

“+”号，都可以全部去掉；例如：+[+(+6)]=6

一个正数前面有偶数个号，也可以把

“-”号全部去掉；-{-[-(-6)])=6

一个正数前面有奇数个号，则化简后只保

留一个“一”号，即“奇负偶正”(其中“奇偶”是

—[―(-5)]=-5

指正数前面的号的个数的奇偶数，“负正”是

指化简的最后结果的符号)

倒数：乘积为1的两个数互为倒数.a,6互为例如：3x1=1,3与[互为倒数.

倒数，则。小=1；反之亦然.33

负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数.若。，若-3x1=-1，则-3与！互为负倒数.

33

6互为负倒数，则=反之亦然.

倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；

互为倒数的两个数的乘积一定是1:0没有倒数；

求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.

【例6】(1)7的相反数()

A.-B.7C.--

77

D.-7

⑵下列正确的是()

A.一个数的相反数一定是负数B.兀和-3.14互为相反数

C.所有的有理数都有相反数D.13和31互为相反数

⑶如果化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数

①-(+a);②③-[+(-必；④-[-(-a)]；⑤-{+[-(-0)]}

(4)-3的倒数是()

A.—B.—C.—3D.3

33

【例7]⑴3与_____互为相反数；是_________的相反数.

72

(2)-(-2)的相反数是；b+4是的相反数.

⑶十[+(-4)]}=-----------

(4)-卜[+(-5)]}与___________互为相反数，-(-a-6)与_________________互为相反

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数，+［_(_7+b-c)］与____________互为相反数.

(4)已知有理数a、b在数轴上表示如图，现比较八b、-a.-b的大小，正确的是()

----1i------1------

a---0b

A.-a<-b<a<bB.a<-b<b<-a

C.-b<a<-a<bD.a<b<-b<-a

⑷.已知。力为有理数，且Q>0,b<0,a+b<0,将四个数氏瓦-。，-6按由小到大的

顺序排列是

［例8］电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从K。向左跳1个单位到第二步由"向右

跳2个单位到长2，第三步由长2向左跳3个单位到K3,第四步由《向右跳4个单位

到女4……,按以上规律跳了10。步时，电子跳蚤落在数轴上的点50c所表示的数恰是

19.94,试求电子跳蚤的初始位置K。点所表示的数.

【例9】动点/从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动,

3秒后，两点相距15个单位长度.已知动点Z,8的速度比是1:4,(速度单位：单位

长度/秒)

-12-9-6-3036912x

①求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出1,8两点从原点出发运动3秒时

的位置.

②若力,8两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两

个动点的正中间？

③若8两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C也同时从8点

位置出发向4点运动，当遇到1点后，立即返回向8点运动，遇到8点后又立

即返回向/点运动，如此往返，直到8追上/时，点C立即停止运动.若点C一

直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的

路程是多少个单位长度？

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知识模块一有理数基本概念课后演练

【演练1】⑴一天早上的气温是-7℃,中午上升了ire,半夜又下降了9℃,那么半夜的气

温

是（）

A.-5℃B.5℃C.-13℃

D.13℃

⑵如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作.

⑶下列说法正确的是（）

A.有最小的负整数，没有最小的正整数B.有最小的负数，没有最大的正数

C.有最大的负数，没有最小的正数D.有最大的负整数，没有最大的正整数

（4）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：

-2.4,3,2.008,--,1-,-0.i5,0,-（-2）,3.14.

34'/

正有理数数集合：{}

非负整数集合：{}

负分数集合：{}

【演练2】检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数.这5个排球

的记数分别为：1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，-0.6；4号球，-3.5；5号球，

+2.5.从轻重的角度看，最轻的球是号球，最接近标准的球是号球.

知识模块二数轴课后演练

【演练3】数轴上，点4,8分别表示-3和5,则线段48的中点所表示的数是

【演练4】有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示：则（）

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A.a+b<0B.a+b>0C.a—b=0D.a-b>0

知识模块三相反数，倒数课后演练

【演练5】(1)-6的相反数是—，-23的倒数是_____,-4的倒数的相反数是_____

7

(2)f的相反数为2,贝lj〃=；—Q+b的相反数

【演练6】如图所示，若点4是有理数。在数轴上对应的点，则。、-a、1的大小关系是.

-----••—•---->

A-----01

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定义示例剖析

1.绝对值的几何意义：在数轴上，一个数a所对应

的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作时.

|3|=3，］-《=；，|。|=0

2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“||"，求一

个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果

总是正数或0.

③任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝

对值，如：-5符号是负号，绝对值是5.

3.绝对值的性质：

⑴绝对值的非负性，可以用下式表示：同20,这是

绝对值非常重要的性质；非负数性质：

[a(a>0)如果若干个非负数之和为0,那么其

(2)同=<0(a=0)；中的每一个非负数都为0

-a(a<0)

/c、[1(a>0)例如：若同+同=0,则a=0,b=0

a[-1(a<0)

⑷若同=a,则a20；若同=-a,则aWO；

⑸同=卜4；若同=网，则a=b或〃=一6

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4.利用2色对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

总结：有孑里数大小的比较

两数同号]同正：绝对值大的数大

同负：绝对值大的反而小

比较大小・两数异号（一正一负）：正数大于负数

・正数与0:正数大于0

其中有0时

’负数与0:负数小于0

【例10]（1）①-|-1.5|=；②绝对值不大于3的整数有.

⑵绝对值大于2而小于5的负整数是.

⑶下列说法正确的是（）

A.符号相反的数互为相反数

B.任何有理数都有倒数

C.最小的自然数是1

D.一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远

（4）-3.5的绝对值为，-3.5的相反数为,

-3.5的倒数为,-3.5的负倒数为.

（5）若a+b=0,c和d互为倒数，的绝对值为2,求代数式的值.

a+b-c

【例11]（1）已知a、6为有理数，且。<0,b>0,|/>|<|tz|,则a、b、-a>-b的大小关

系是（）

A.-b<a<h<—aB.-b<h<—a<a

C.a<-b<b<-aD.-a<b<-b<a

（2）|x-2|+|^-3|=0>贝ij肛=；|x|=-|y-7|,则个=.

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⑶若|a-2|与妆+3|互为相反数，则26-a的值为().

A.8B.-8C.±8D.7

⑷方程上—2008|=2008—x的解的个数是().

A.1B.2C.3D.无穷多

(5)求出所有满足条件,-可+帅=1的非负整数对(〃").

(6)设。、6同时满足①(a-2b)2+D+l|=6+l；②|a+6-3|=0.那么曲=.

-----A---*-----*-----*-----*--->>

a~b0b-a

【例12](1)已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简同+川+|°+4-卜-4的结果

是—

abc

'0''—>

(2)如图，根据数轴上给出的a、6、c的条件，试说明卜-可+|6-4-卜-4的值与。无

关.

biiai।c

0

【角军析】(1)3b-c；&2a-2b.

【例13](1)已知|。一1|+|"-2|=0,试求

111

-----1------------------1------------------++(a+2012)(6+2012)的佰

ab(a+1)(6+1)(a+2)(b+2)

⑵已知|a+6|与|。_耳互为相反数，求任皿+从“+K2003_/『

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【例14】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两

侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

K模块二维对值代数意义的应用

【例15]若》=2就丁则|x|+|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4j+|x-5b.

【例16】化简：⑴|x-l|；(2)|x+5|；(3)|x+5|+|2x-3|

【拓展】|xT|+|x+2|+|x-4|

第十三页共八十一页

【例17]已知a",c•是非零有理数，且a+6+c=0,求4+刍+1+吗的值.

101回14\abc\

【拓展】已知x=@+8+回+笆且a",c都不等于0,求x的所有可能值.

abcahc

探索创新-4日

【例18】如果a,b,c,d为互不相等的有理数，且c|=0—d=|d—q=1,那么卜―4等于

()

A.1B.2C.3D.4

【例J19】将1,2,3...100,这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a,另一个

数记为儿代入代数式;(。+6—卜一耳)中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这

第十四页共八十一页

50个值的和的最小值.

知识模块一绝对值的定义课后演练

【演练7】⑴。是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值

等于2的数，贝lJa+(—b)+c+d=.

(2)若国=3,则N-x三

A.+1；-7B.-1；+7C.7

D.±1

(4)已知|a|=8,|=5,S.\a+b\=a+h,贝lja-b=

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【演练8】若上一4|+卜+5|=0,则工=；y=

知识模块二绝对值代数意义的应用课后演练

【演练9](1)化简：|3-x|(2)化简代数式,+2|+卜一4|

【演练10J若x=—0.239，求|x—1|+|x—3|4-•—I-|x—19971—[v|—|x—21—,—[x—19961的值.

【演练11]设a,b,c为非零实数，S.\a\+a=0f\ah\=ahy|c|-c=0.

化简同一,-卜-+k一.

【演练12】有理数a,h,c,d满足四L_l,求@+也+且+回的值.

abedabed

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:冷模块一有理数的加减法

定义示例剖析

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的筷号，并把绝对3+5=8

值阴加.

-5+3=-（5-3）=-2

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值

较大的加数符号，并用较大的绝对值减本较小的

绝对值.-3+0=-3

③一个数同0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算步骤：

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

①确定和的符号；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.

有理数加法的运算技巧：

①分数与小数均有时，应先化为统一形式.

②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥符号相同的数可以先结合在一起.

有理数加法的运算律：

①两个数相加，交换加数的位置，和不变.a+b=b+a（加法交换律）

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后

两个数相加，和不变.（a+b）+C=Q+（6+。）（力口法结合律）

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的知原数.a-6=。+（-6）（减法法则）

有理数减法的运算步骤：

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①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）3—0.15—9+5-11=(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行它的含义是正3,负0.15,负9,正5,负11的和.

运算.

有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则

转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加

号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.

【例20】计算:

753

⑴(+7.5)+⑶-+

6

【例21】计算:

3

—20+(―15)—(―28)—17

【例22】计算:

-7.34+(-12.74)+12.34+7.34

第十八页共八十一页

⑶(-3)4-(-4)+1-151+[-(-7)]}(4)+

32

(5)6—+24+4——16-6.8-3.2

55

【例23】计算:

44

(1)|-18-1+1+53-1+(一53.6)+卜吗卜(TOO)⑵*+(—；)]+[(—]+6口

555

⑶11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999

(4)己-213匚4上-5。6山7二82-9上

2612203042567290

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3模块二有理数乘除法

定义示例剖析

有理数乘法法则：可数相乘，网号得.，异号3x4=12

-3X4=-(3X4)=-12

辔"，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

-3x(-4)=12

有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.

ab=ba(乘法交换律)

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把

abc=(乘法结合律)

后两个数相乘，积相等.

a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分

别同这两个数相乘，再把积相加.

有理数乘法法则的推广：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；

负因数的个数是奇数时，积为负数.（奇负偶正）

②几个数相乘，如果有一个因数为0,则积为0.

③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小

数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝

rur13

对值，有括号的先算括号里的数.3+5=3x—=—

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等55

于乘这个数的倒数；a+b=a弓(bwO)

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值

相除；