新教材苏教版必修第一册第7章7.3.2第1课时正弦函数余弦函数的图象自主性作业

7．3.2三角函数的图象与性质第1课时正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线(1)正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．(2)正弦函数图象的画法①几何法：(ⅰ)利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图象；(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).②“五点法”：(ⅰ)画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).2．余弦曲线(1)余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．(2)余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可．②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．1．函数y＝1－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π))的大致图象是()【解析】选B.当x＝0时，y＝1；当x＝eq\f(π,2)时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝eq\f(3π,2)时，y＝2；当x＝2π时，y＝1.结合正弦函数的图象可知B正确．2．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【解析】选C.由解析式可知y＝cosx的图象过点(a，b)，则y＝－cosx的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象()A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同【解析】选B.根据正弦曲线的作法可知函数y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．4．y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝eq\f(3,2)交点的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】选C.用“五点法”作出函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象，作出直线y＝eq\f(3,2)的图象如图所示，由图可知，这两个函数的图象有2个交点．5．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＜0，,\f(π,2)≤x≤5))的解集是________．【解析】当eq\f(π,2)≤x≤π时，0≤sinx≤1，当π＜x≤5时sinx＜0，所以原不等式的解集为(π，5].答案：(π，5]6．函数y＝cosx＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝cosx＋4，,y＝4))得cosx＝0，当x∈[0，2π]时，x＝eq\f(π,2)或eq\f(3π,2)，所以交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4))7．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1＋2sinx，x∈[0，2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0，2π].【解析】(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐标系中描出五点(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0，2π]的图象．(2)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图，一、选择题1．函数y＝sinx，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选B.观察图象(略)易知：有两个交点．2．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象()A．与g(x)的图象相同B．与g(x)的图象关于y轴对称C．向左平移eq\f(π,2)个单位，得g(x)的图象D．向右平移eq\f(π,2)个单位，得g(x)的图象【解析】选D.f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝cos(x－eq\f(π,2))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，f(x)的图象向右平移eq\f(π,2)个单位得到g(x)的图象．3．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根 B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根【解析】选C.求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象如图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．4．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))B．(π，1)C．(0，1)D．(2π，1)【解析】选B.用“五点法”作出函数y＝－cosx，x>0的图象如图所示，可知B正确．5．将余弦函数y＝cosx的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sinx的图象，则m＝()A．eq\f(π,2)B．πC．eq\f(3π,2)D．eq\f(3π,4)【解析】选C.根据诱导公式得，y＝－sinx＝cos(eq\f(3π,2)－x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))，故欲得到y＝－sinx的图象，需将y＝cosx的图象向右至少平移eq\f(3π,2)个单位长度．6．(多选)用“五点法”画y＝3sinx，x∈[0，2π]的图象时，下列哪些点是关键点()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))C．(π，0) D．(2π，0)【解析】选BCD.五个关键点的横坐标依次是0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π.代入横坐标，计算得B，C，D正确．7．(多选)已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosx（－π≤x<0），,sinx（0≤x≤π）.))若y＝eq\f(1,2)，则x的可能取值为()A．－eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,6)【解析】选ABD.作出函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosx（－π≤x<0），,sinx（0≤x≤π）))的图象，再作直线y＝eq\f(1,2)，如图所示，则当－π≤x<0时，由图象知x＝－eq\f(π,3)，当0≤x≤π时，x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6).【光速解题】根据题意，画出函数f(x)的图象及直线y＝eq\f(1,2)的图象，分别求出交点坐标即可．二、填空题8．利用余弦曲线，写出满足cosx>0，x∈[0，2π]的x的区间是__________．【解析】画出y＝cosx，x∈[0，2π]上的图象如图所示．cosx>0的区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))9．(2021·淮安高一检测)函数y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))＋eq\r(\r(3)－2sinx)的定义域为________．【解析】要使原函数解析式有意义，必须满足eq\f(1,2)＜sinx≤eq\f(\r(3),2).首先作出y＝sinx在[0，2π]上的图象，如图所示，作直线y＝eq\f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]的交点横坐标为eq\f(π,6)和eq\f(5π,6)；作直线y＝eq\f(\r(3),2)，该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]的交点横坐标为eq\f(π,3)和eq\f(2π,3).观察图象可知，在[0，2π]上，当eq\f(π,6)＜x≤eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)≤x＜eq\f(5π,6)时，不等式eq\f(1,2)＜sinx≤eq\f(\r(3),2)成立，所以eq\f(1,2)＜sinx≤eq\f(\r(3),2)的解集为{x|eq\f(π,6)＋2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ≤x＜eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z}．答案：{x|eq\f(π,6)＋2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ≤x＜eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z}三、解答题10．用“五点法”画出y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的简图．【解析】列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－2cosx＋313531描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象．11．在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈R的图象．描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．一、选择题1．点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－m))在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2【解析】选C.由题意得－m＝sineq\f(π,2)，所以－m＝1，所以m＝－1.2．(多选)函数y＝sinx－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个公共点，则a的值可以为()A．－1B．0C．1D．－2【解析】选BD.画出y＝sinx－1的图象．如图．依题意a＝0或a＝－2.3．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是()A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而题图中显然小于零，因此排除选项B.4．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A．4B．8C．2πD．4π【解析】选D.作出函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又因为OA＝2，OC＝2π，所以S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.【误区警示】解此题，往往忽视对称，我们需要将不规则图形转化为规则图形．二、填空题5．关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sinx＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序号是________．【解析】对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．答案：②④6．函数y＝eq\r(2sin2x＋sinx－1)的定义域是________．【解析】由2sin2x＋sinx－1≥0得sinx≥eq\f(1,2)或sinx＝－1，所以2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)或x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z.答案：{x|2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)或x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z}7．已知函数f(x)＝2cosx＋1，若f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，m))，则m＝______；若f(x)<0，则x的取值集合为______．【解析】当x＝eq\f(π,2)时，f(x)＝2coseq\f(π,2)＋1＝1，所以m＝1.f(x)<0即cosx<－eq\f(1,2)，作出y＝cosx在x∈[0，2π]上的图象，如图所示．由图知x的取值集合为{x|eq\f(2π,3)＋2kπ<x<eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z}．答案：1eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2π,3)＋2kπ<x<\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z))8．当x∈[－π，π]时，y＝eq\f(1,2)x与y＝sinx的图象交点的个数为________，这些交点的横坐标之和为________．【解析】如图．根据图象知，两个函数有3个交点，3个交点横坐标之和为0.答案：30三、解答题9．若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(sinθ≥\f(1,2)))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(cosθ≤\f(1,2)))))，θ∈[0，2π]，求M∩N.【解析】首先作出正弦函数，余弦函数在[0，2π]上的图象以及直线y＝eq\f(1,2)，如图所示．由图象可知，在[0，2π]内，sinθ≥eq\f(1,2)时，得eq\f(π,6)≤θ≤eq\f(5π,6)，cosθ≤eq\f(1,2)时，得eq\f(π,3)≤θ≤eq\f(5π,3).所以在[0，2π]内，同时满足sinθ≥eq\f(1,2)与cosθ≤eq\f(1,2)时，eq\f(π,3)≤θ≤eq\f(5π,6).所以M∩N