甘肃兰州中考数学试题

2021年甘肃省兰州市中考数学试题一、选择题〔此题15小题，每题4分，共60分〕1、〔2021•兰州〕以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕 A、QUOTE B、ax2+bx+c=0 C、〔x﹣1〕〔x+2〕=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0考点：一元二次方程的定义。专题：方程思想。分析：一元二次方程必须满足四个条件：〔1〕未知数的最高次数是2；〔2〕二次项系数不为0；〔3〕是整式方程；〔4〕含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：A、由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．应选C．点评：此题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2、〔2021•兰州〕如图，某反比例函数的图象过点M〔﹣2，1〕，那么此反比例函数表达式为〔〕 A、y=QUOTE B、y=﹣QUOTE C、y=QUOTE D、y=﹣QUOTE考点：待定系数法求反比例函数解析式。专题：待定系数法。分析：利用待定系数法，设QUOTE，然后将点M〔﹣2，1〕代入求出待定系数即可．解答：解：设反比例函数的解析式为QUOTE〔k≠0〕，由图象可知，函数经过点P〔﹣2，1〕，∴1=QUOTE，得k=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣QUOTE．应选B．点评：此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．3、〔2021•兰州〕如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，假设∠A=25°，那么∠D等于〔〕 A、20° B、30° C、40° D、50°考点：切线的性质；圆周角定理。专题：计算题。分析：先连接BC，由于AB是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=25°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°，再利用三角形外角性质可求∠D．解答：解：如右图所示，连接BC，∵AB是直径，∴∠BCA=90°，又∵∠A=25°，∴∠CBA=90°﹣25°=65°，∵DC是切线，∴∠BCD=∠A=25°，∴∠D=CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．应选C．点评：此题考查了直径所对的圆周角等于90°、弦切角定理、三角形外角性质．解题的关键是连接BC，构造直角三角形ABC．4、〔2021•兰州〕如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，假设将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，那么tanB′的值为〔〕 A、QUOTE B、QUOTE C、QUOTE D、QUOTE考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质。分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=QUOTE=QUOTE，∴tanB′=tanB=QUOTE．应选B．点评：此题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．5、〔2021•兰州〕抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是〔〕 A、〔1，0〕 B、〔﹣1，0〕 C、〔﹣2，1〕 D、〔2，﹣1〕考点：二次函数的性质。专题：函数思想。分析：将原抛物线方程y=x2﹣2x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标．解答：解：由原方程，得y=〔x﹣1〕2，∴该抛物线的顶点坐标是：〔1，0〕．应选A．点评：此题考查了二次函数的性质．解题时，将原方程的一般形式利用完全平方差公式转化为顶点式方程后，再来求其顶点坐标．6、〔2021•兰州〕如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是〔〕 A、 B、C、 D、考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。专题：作图题。分析：找到从正面看所得到的图形即可．解答：解：从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，右边1个正方形．应选D．点评：此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．7、〔2021•兰州〕一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是〔〕 A、m=3，n=5 B、m=n=4 C、m+n=4 D、m+n=8考点：概率公式。专题：计算题。分析：由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．解答：解：根据概率公式，摸出白球的概率，QUOTE，摸出不是白球的概率，QUOTE，由于二者相同，故有QUOTE=QUOTE，整理得，m+n=8，应选D．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=QUOTE．8、〔2021•兰州〕点M〔﹣sin60°，cos60°〕关于x轴对称的点的坐标是〔〕 A、〔QUOTE〕 B、〔﹣QUOTE〕 C、〔﹣QUOTE〕 D、〔﹣QUOTE〕考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标。分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．解答：解：∵sin60°=QUOTE，cos60°=QUOTE，∴点M〔﹣QUOTE〕．∵点P〔m，n〕关于x轴对称点的坐标P′〔m，﹣n〕，∴M关于x轴的对称点的坐标是〔﹣QUOTE〕．应选B．点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．9、〔2021•兰州〕如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：〔1〕b2﹣4ac＞0；〔2〕c＞1；〔3〕2a﹣b＜0；〔4〕a+b+c＜0．你认为其中错误的有〔〕 A、2个 B、3个 C、4个 D、1个考点：二次函数图象与系数的关系。专题：函数思想。分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：〔1〕根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；〔2〕由图象知，该函数图象与y轴的交点在〔0，1〕，∴c＜1；故本选项错误；〔3〕由图示，知对称轴x=﹣QUOTE＞﹣1；又函数图象的开口方向向下，∴a＜0，∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本选项正确；〔4〕根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，∴a+b+c＜0；故本选项正确；综上所述，我认为其中错误的选项是〔2〕，共有1个；应选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10、〔2021•兰州〕用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为〔〕 A、〔x+1〕2=6 B、〔x+2〕2=9 C、〔x﹣1〕2=6 D、〔x﹣2〕2=9考点：解一元二次方程-配方法。专题：方程思想。分析：配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴〔x﹣1〕2=6．应选C．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．11、〔2021•兰州〕某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为〔〕 A、x〔x﹣1〕=2070 B、x〔x+1〕=2070 C、2x〔x+1〕=2070 D、QUOTE考点：由实际问题抽象出一元二次方程。分析：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．解答：解：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，∴全班共送：〔x﹣1〕x=2070，应选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，此题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．12、〔2021•兰州〕如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．那么⊙O的半径为〔〕 A、6 B、13 C、QUOTE D、QUOTE考点：垂径定理；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形。专题：计算题。分析：延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，推出AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．解答：解：延长AO交BC于D，连接OB，∵AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，由勾股定理得：OB=QUOTE=QUOTE．应选C．点评：此题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键．13、〔2021•兰州〕现给出以下四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是〔〕 A、1 B、2 C、3 D、4考点：命题与定理；菱形的性质；矩形的判定；圆与圆的位置关系；位似变换。专题：应用题。分析：根据真命题的定义逐个进行判断即可得出结果．解答：解：①无公共点的两圆有可能外离，也有可能内含，故本选项错误，②位似三角形是相似三角形，正确，③菱形的面积等于两条对角线的积的一半，故本选项错误，④对角线相等的四边形是矩形，等腰梯形也可以，故本选项错误，∴真命题的个数是1．应选A．点评：此题主要考查了外离圆定义、相似三角形性质、菱形面积公式、矩形的性质，比拟综合，难度适中．14、〔2021•兰州〕如图，：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，那么s关于x的函数图象大致是〔〕 A、 B、 C、 D、考点：二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，那么AH=1﹣x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+〔1﹣x〕2，进而可求出函数解析式，求出答案．解答：解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，那么AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+〔1﹣x〕2即s=x2+〔1﹣x〕2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是x=QUOTE．∴自变量的取值范围是大于0小于1．应选B．点评：此题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．15、〔2021•兰州〕如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数QUOTE的图象上．假设点A的坐标为〔﹣2，﹣2〕，那么k的值为〔〕 A、1 B、﹣3 C、4 D、1或﹣3考点：待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质。专题：函数思想。分析：设C〔x，y〕．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B〔﹣2，y〕、D〔x，﹣2〕；根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点〞及直线AB的几何意义求得xy=4①，又点C在反比例函数QUOTE的图象上，所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1②；联立①②解关于k的一元二次方程即可．解答：解：设C〔x，y〕．∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为〔﹣2，﹣2〕，∴B〔﹣2，y〕、D〔x，﹣2〕；∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，∴QUOTE=QUOTE，即xy=4；①又∵点C在反比例函数QUOTE的图象上，∴xy=k2+2k+1，②由①②，得k2+2k﹣3=0，即〔k﹣1〕〔k+3〕=0，∴k=1或k=﹣3；∵k＞0，∴k=1，应选A．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质．解答此题的难点是根据C〔x，y〕求得B、C两点的坐标，然后根据B、C两点所在直线的斜率列出方程QUOTE=QUOTE，即xy=4．二、填空题〔此题5小题，每题4分，共20分〕16、〔2021•兰州〕如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，那么∠OBD=63度．考点：圆周角定理。分析：根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB，再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD，进而得到∠OBD=〔180°﹣∠DOB〕÷2，即可得到答案．解答：解：∵∠DCB=27°，∴∠DOB=2∠DCB=27°×2=54°，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠OBD=〔180°﹣∠DOB〕÷2=〔180°﹣54°〕÷2=63°．故答案为：63°．点评：此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质，关键是找准角之间的关系．17、〔2021•兰州〕某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：QUOTE，坝外斜坡的坡度i=1：1，那么两个坡角的和为75°．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：从实际情况和坡度值可以得到两个坡度角都为锐角，并都是特殊角从而很容易解得．解答：解：坝内斜坡的坡度i=1：QUOTE，说明tga=QUOTE，那么a=30°外斜坡的坡度i=1：1，说明tgv=1，v=45度，两角和为75°．故答案为：75°．点评：此题考查了解直角三角形及其坡度计算，从坡度值以及实际情况可以得到两个坡度角都是锐角而解得．18、〔2021•兰州〕一个半圆形工件，未搬动前如下图，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧局部不受损伤，先将半圆作如下图的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，那么圆心O所经过的路线长是〔2π+50〕米．考点：弧长的计算。分析：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．解答：解：由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即QUOTE圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转QUOTE圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由得圆的半径为2，那么半圆形的弧长l=QUOTE=2π，∴圆心O所经过的路线长=〔2π+50〕米．点评：此题主要考查了弧长公式l=nπr180，同时考查了平移的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．19、〔2021•兰州〕关于x的方程a〔x+m〕2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，〔a，m，b均为常数，a≠0〕，那么方程a〔x+m+2〕2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1．考点：一元二次方程的解。专题：计算题。分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．解答：解：∵关于x的方程a〔x+m〕2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，〔a，m，b均为常数，a≠0〕，∴那么方程a〔x+m+2〕2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．20、〔2021•兰州〕如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．第一个矩形的面积为1，那么第n个矩形的面积为〔QUOTE〕2n﹣2．考点：矩形的性质；菱形的性质。专题：规律型。分析：易得第二个矩形的面积为〔QUOTE〕2，第三个矩形的面积为〔QUOTE〕4，依次类推，第n个矩形的面积为〔QUOTE〕2n﹣2．解答：解：第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的〔QUOTE〕2×2﹣2=QUOTE；第三个矩形的面积是〔QUOTE〕2×3﹣2=QUOTE；…故第n个矩形的面积为：〔QUOTE〕2n﹣2．点评：此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题〔此题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.〕21、〔2021•兰州〕a是锐角，且sin〔a+15°〕=QUOTE，计算QUOTE﹣4cosα﹣〔π﹣3.14〕0+tanα+QUOTE的值．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂。专题：计算题。分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法那么即可计算出结果．解答：解：∵sin60°=QUOTE，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2QUOTE﹣4×QUOTE﹣1+1+3=3．点评：此题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法那么，难度适中．22、〔2021•兰州〕如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后〔当指针指在边界线上时视为无效，重转〕，假设将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P〔x，y〕．记s=x+y．〔1〕请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；〔2〕李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否那么乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？考点：游戏公平性；列表法与树状图法。分析：〔1〕依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；〔2〕游戏是否公平，求出游戏双方获胜的的概率，比拟是否相等即可．解答：解：〔1〕列表：Yx12342〔1，2〕〔2，2〕〔3，2〕〔4，2〕4〔1，4〕〔2，4〕〔3，4〕〔4，4〕6〔1，6〕〔2，6〕〔3，6〕〔4，6〕〔2〕∵P〔甲获胜〕=QUOTE=QUOTE，P〔乙获胜〕=QUOTE=QUOTE，∴这个游戏不公平，对乙有利．点评：此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否那么游戏不公平．23、〔2021•兰州〕今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因〞，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图．根据图示，解答以下问题：〔1〕假设在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时〞的学生的概率是多少？〔2〕“没时间〞锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；〔3〕2021年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2021年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？〔4〕请根据以上结论谈谈你的看法．考点：频数〔率〕分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式。分析：〔1〕根据扇形统计图得出，超过1小时的占90°，利用圆心角的度数比得出概率；〔2〕利用“每天锻炼超过1小时〞的学生的概率是QUOTE，得出未超过1小时的为QUOTE=QUOTE，即可得出总人数，再利用条形图求出；〔3〕利用样本估计总体即可得出答案；〔4〕根据锻炼身体的情况可以提出一些建议．解答：解：〔1〕QUOTE=QUOTE，∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时〞的学生的概率是QUOTE；〔2〕∵720×QUOTE=540〔人〕，540﹣120﹣20=400人，∴“没时间〞锻炼的人数是400；×〔1﹣QUOTE〕=1.8〔万人〕，∴2021年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人．〔4〕根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现，同学们需要加强锻炼．说明：内容健康，能符合题意即可．点评：此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用，根据扇形图与条形图综合应用得出每天锻炼未超过1小时的概率是解决问题的关键．24、〔2021•兰州〕：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数QUOTE〔x＞0〕的图象交于点P．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，QUOTE．〔1〕求点D的坐标；〔2〕求一次函数与反比例函数的解析式；〔3〕根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题；数形结合。分析：〔1〕此题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．〔2〕此题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，QUOTE，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．〔3〕根据图形从而得出x的取值范围即可．解答：解：〔1〕∵一次函数y=kx+3与y轴相交∴根据题意，得：D〔0，3〕〔2〕在Rt△COD和Rt△CAP中，QUOTE，OD=3∴AP=6，OB=6∴DB=9Rt△DBP中，∴QUOTE，∴BP=6，P〔6，﹣6〕一次函数的解析式为：QUOTE反比例函数解析式为：QUOTE〔3〕根据图象可得：当x＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．点评：此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．25、〔2021•兰州〕如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．〔1〕请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置〔不用写作法，保存作图痕迹〕，并连接AD、CD．〔2〕请在〔1〕的根底上，完成以下问题：①写出点的坐标：C〔6，2〕、D〔2，0〕；②⊙D的半径=2QUOTE〔结果保存根号〕；③假设扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，那么该圆锥的地面面积为π〔结果保存π〕；④假设E〔7，0〕，试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．考点：垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图—复杂作图。分析：〔1〕根据表达，利用正方形的网格即可作出坐标轴；〔2〕①利用〔1〕中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；②在直角△OAD中，利用勾股定理即可求得半径长；③可以证得∠ADC=90°，利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积；④利用切线的判定定理，证得∠DCE=90°即可．解答：〔此题总分值9分〕解：〔1〕①建立平面直角坐标系〔1分〕②找出圆心〔3分〕〔2〕①C〔6，2〕；D〔2，0〕〔5分〕②2QUOTE〔6分〕③π〔7分〕④直线EC与⊙D相切〔8分〕证CD2+CE2=DE2=25〔或通过相似证明〕得∠DCE=90°〔9分〕∴直线EC与⊙D相切．故答案为：①C〔6，2〕；D〔2，0〕②2QUOTE③π点评：此题主要考查了垂径定理，圆锥的计算，正确证明△DCE是直角三角形是难点．26、〔2021•兰州〕通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对〔sad〕，如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=QUOTE．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解以下问题：〔1〕sad60°=1．〔2〕对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．〔3〕如图②，sinA=QUOTE，其中∠A为锐角，试求sadA的值．考点：解直角三角形。专题：新定义。分析：〔1〕根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；〔2〕求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；〔3〕作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．解答：解：〔1〕根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，那么三角形为等边三角形，那么sad60°=QUOTE=1．故答案为：1．〔2〕当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．〔3〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=QUOTE．在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，那么AD=AC=QUOTE=4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=QUOTE．∴DH=ADsin∠A=QUOTEk，AH=QUOTE=QUOTEk．那么在△CDH中，CH=AC﹣AH=QUOTEk，CD=QUOTE=QUOTEk．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=QUOTEk．由正对的定义可得：sadA=QUOTE=QUOTE，即sadα=QUOTE．点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．27、〔2021•兰州〕：如下图的一张矩形纸片ABCD〔AD＞AB〕，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．〔1〕求证：四边形AFCE是菱形；〔2〕假设AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；〔3〕在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？假设存在，请说明点P的位置，并予以证明；假设不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换〔折叠问题〕。专题：几何综合题。分析：〔1〕通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；〔2〕由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；〔3〕过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；解答：〔1〕证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；〔2〕∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，∴a2+b2=100，ab=48，∴〔a+b〕2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14〔不合题意，舍去〕，∴△ABF的周长为14+10=24cm；〔3〕存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴QUOTE=QUOTE，∴AE2=AO•AP，∵四边形AECF是菱形，∴AO=QUOTEAC，∴AE2=QUOTEAC•AP，∴2AE2=AC•AP．点评：此题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．28、〔2021•兰州〕如下图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和DQUOTE．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2〔cm2〕①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取QUOTE时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．〔3〕在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上