新教材人教b版必修第二册4.4幂函数学案

幂函数学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．提醒幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图像如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数公共点(1,1)1．y＝－eq\f(1,x)是幂函数．(×)2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(√)3．y＝与y＝定义域相同．(×)4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(√)一、幂函数的概念例1(1)(多选)下列函数为幂函数的是()A．y＝x3 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝4x2 D．y＝x答案AD解析B项为指数函数，C中的函数的系数不为1，AD为幂函数．(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，则m＝______，n＝________.答案－3或1eq\f(3,2)解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1(1)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．0答案A解析因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.(2)若函数f(x)是幂函数，且满足

eq\f(f4,f2)＝3，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．－3B．－eq\f(1,3)C．3D.eq\f(1,3)答案D解析设f(x)＝xα(α为常数)，因为

eq\f(f4,f2)＝3，所以eq\f(4α,2α)＝2α＝3，即α＝log23，所以f(x)＝，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝＝eq\f(1,3).二、幂函数的图像例2(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B解析根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝eq\f(1,2)，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－eq\f(1,2)，曲线c4的n＝－2.(2)函数y＝的图像大致是图中的()答案B解析∵函数y＝是奇函数，且α＝eq\f(5,3)>1，反思感悟解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．跟踪训练2(1)下图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是()A．①y＝，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x－1，④y＝D．①y＝，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1答案B解析②的图像关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图像知，在第一象限内，图像下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.(2)函数f(x)＝的大致图像是()答案A解析因为－eq\f(1,2)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小例3比较下列各组数中两个数的大小：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)与.解(1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是单调递增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)∵函数y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x为R上的减函数，又eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>.又∵函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>，∴>.反思感悟比较幂值大小的方法跟踪训练3比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，2.解(1)∵y＝为R上的偶函数，∴＝.又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且，∴<，即<.(2)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，且，∴<.又∵y＝x为增函数，且eq\f(1,2)<2，∴2，∴<2.幂函数性质的应用典例已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图像关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．解因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N＋，所以m＝1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.则原不等式可化为.因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).[素养提升](1)幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝(x＋1)3答案B解析函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限答案A解析由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3答案A解析可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.4．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案A解析∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\r(2)，即α＝－eq\f(1,2)，∴k＋α＝eq\f(1,2).5．已知f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()A．f(a)<f(b)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)答案C解析因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<1<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故f(a)<f(b)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,4)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．2答案B解析幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f(x)＝x2，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝eq\f(1,4).2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝答案A解析所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a答案A解析∵y＝(x>0)为增函数，又eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，∴a>c.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，又eq\f(2,5)<eq\f(3,5)，∴c>b.∴a>c>b.4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的图像可能是()答案C解析选项A中，幂函数的指数a<0，则y＝ax－eq\f(1,a)应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则y＝ax－eq\f(1,a)应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－eq\f(1,a)>0，直线y＝ax－eq\f(1,a)在y轴上的截距为正，D错误．5．(多选)已知函数f(x)＝xα的图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有()A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若x>1，则f(x)>1D．若0＜x1＜x2，则

eq\f(fx1＋fx2,2)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))答案ACD解析将点(4,2)代入函数f(x)＝xα，得2＝4α，则α＝eq\f(1,2).所以f(x)＝，显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A项正确；f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B项不正确；当x>1时，eq\r(x)>1，即f(x)>1，所以C项正确；当0＜x1＜x2时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx1＋fx2,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x1)＋\r(x2),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(x1＋x2,2))))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝eq\f(－\r(x1)－\r(x2)2,4)＜0.即

eq\f(fx1＋fx2,2)＜f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D项正确．6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)则f(x)的单调递增区间是________．答案[0，＋∞)解析因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，即α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图像经过点(8,4)，则不等式f(6x＋3)≤9的解集为________．答案[－5,4]解析由题意知8α＝4，故α＝log84＝eq\f(2,3)，由于f(x)＝＝eq\r(3,x2)为R上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f(6x＋3)≤9即为f(6x＋3)≤f(27)，所以|6x＋3|≤27，解得－5≤x≤4.8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c从小到大的顺序是________．答案b<a<c解析由a＝，b＝，可利用幂函数的性质，得a>b，可由指数函数的单调性得c>a，∴b<a<c.9．已知幂函数f(x)＝xα的图像过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解因为f(x)＝xα的图像过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增．(1)求f(x)的解析式；(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范围．解(1)由幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m>0，解得m<3，m∈N＋，可得m＝1,2，若m＝1，则f(x)＝x6的图像不关于原点对称，舍去；若m＝2，则f(x)＝x3的图像关于原点对称，且在R上单调递增，成立．则f(x)＝x3.(2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增，由f(a＋1)＋f(3a－4)<0，可得f(a＋1)<－f(3a－4)＝f(4－3a)，即为a＋1<4－3a，解得a<eq\f(3,4).11．若函数f(x)＝(m＋2)xa是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g(x)＝loga(x＋m)的单调递增区间为()A．(－2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)答案B解析由题意得m＋2＝1，解得m＝－1，则f(x)＝xa，将(2,4)代入函数的解析式得，2a＝4，解得a＝2，故g(x)＝loga(x＋m)＝log2(x－1)，令x－1>0，解得x>1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是()答案B解析y＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝－1的图像可看作由y＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图像关于x轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案9解析由题意可知加密密钥y＝xα(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝eq\f(1,2)，则y＝.由＝3，得x＝9，即明文是9.14．已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．答案(3,5)解析∵f(x)＝＝eq\f(1,\r(x))(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)<f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a<5，,a>3.))∴3<a<5.15.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线