新教材人教b版必修第一册2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件2

第二章等式一元二次方程的解集及其根与系数的关系学习目标XUEXIMUBIAO1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是

，一次项是

，

是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.ax2bxc知识点一一元二次方程的有关概念Δ＝b2－4ac根的情况b2－4ac>0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有

的实数根，即x1＝_____________，x2＝_______________b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有

，即x1＝x2＝b2－4ac<0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_________两个不相等两个相等的实数根无实数根知识点二Δ＝b2－4ac的取值与根的个数间的关系直接开平方法形3如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边

，转化为两个一元一次方程配方法把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过

化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用

求解公式法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝_____________求解开平方配方直接开平方法知识点三一元二次方程的解法因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个

的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝

，x2＝___一次因式－m－n一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝

.知识点四一元二次方程根与系数的关系1.方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程.(

)2.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0.(

)3.一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根.(

)4.方程x2－2x－1＝0的解集为{－1,1}.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√2题型探究PARTTWO例1用配方法求下列一元二次方程的解集：(1)x2＋4x－1＝0；一、配方法求方程的解集解

∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，(2)4x2＋8x＋1＝0.解

移项，得4x2＋8x＝－1.反思感悟用配方法解一元二次方程的步骤(1)移项：把常数项移到方程的右边.(2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数.(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式.(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程.(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.跟踪训练1用配方法解方程2x2－5＋

x＝0.解

Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k).因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，例2

已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围.(1)方程有两个不相等的实数根；二、一元二次方程判别式的应用解因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，(2)方程有两个相等的实数根.反思感悟一元二次方程的解的情况分为“无实数根”、“有两个相等的实数根”、“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系.跟踪训练2

试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.证明

∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.解由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3.例3已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值：三、一元二次方程根与系数的关系＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26.解因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×(－3)＝16.(2)|x1－x2|(x1＋x2).所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8.反思感悟在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值.解根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.跟踪训练3已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：3随堂演练PARTTHREE1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是A.x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100B.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝2512345√解析

x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.2.方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集为12345√解析

2(x－3)＝3x(x－3)，移项得2(x－3)－3x(x－3)＝0，整理得(x－3)(2－3x)＝0，x－3＝0或2－3x＝0，3.已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是A.3 B.1 C.－1 D.－312345解析∵α，β是方程x2＋x－2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故选B.√123454.关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为__.解析

∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，解得m＝2.2123455.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根为负，则实数m解析设方程的两个实数根为x1，x2，则x1＜0，x2＜0，的取值范围是______.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)配方法求方程的解集.(2)一元二次方程判别式的应用.(3)一元二次方程根与系数的关系.2.方法归纳：配方法、公式法.3.常见误区：忽视对二次项系数的讨论.4课时对点练PARTFOUR1.(多选)用配方法解下列方程，配方不正确的是y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4基础巩固12345678910111213141516√√√解析A项，2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B项，x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C项，x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D项，x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确.2.已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为A.5 B.－1 C.2 D.－512345678910111213141516√解析

设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.3.(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是A.当m＝0时，方程只有一个实数根B.当m＝1时，方程有两个相等的实数根C.当m＝－1时，方程没有实数根D.当m＝2时，方程有两个不相等的实数根12345678910111213141516√√解析当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝

，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以此时方程无实数根，D错误.123456789101112131415164.已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为A.±

B.±C.－2或3 或－312345678910111213141516解析

∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一个元素，∴Δ＝k2－24＝0，√5.已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为A.4 B.－4 C.3 D.－3√12345678910111213141516解析由题意知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.123456789101112131415166.将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m＝__，n＝__.解析x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4，即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.14123456789101112131415167.若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为____.－1解析

∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.8.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且－

＝10，则a＝___.12345678910111213141516解析由题意知x1＋x2＝5，x1x2＝a.所以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，解

令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2，123456789101112131415169.求下列方程的解集.(1)x4－3x2＋2＝0；得y2＋2y－1＝0，12345678910111213141516解

令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2，即x2－x＋1＝0，

①或x2－x－2＝0，

②对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1,2}.12345678910111213141516(3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.1234567891011121314151610.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；解

根据题意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，∴m的最小整数值为－2.12345678910111213141516(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值.解

根据题意得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2，∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，整理得m2＋4m－12＝0，即m2＋4m＋4＝16，∴(m＋2)2＝16，解得m1＝2，m2＝－6，11.若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则

的值是综合运用12345678910111213141516√解析∵α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，1234567891011121314151612.已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是A.{1,3} B.{－1,3}C.{2,3} D.{3}√解析

∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}.1234567891011121314151613.对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝__.解析∵(x◆2)－5＝x2＋2x＋4－5＝x2＋2x－1，∴m，n为方程x2＋2x－1＝0的两个根，∴m＋n＝－2，mn＝－1，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝6.614.已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2＝__.12345678910111213141516解析

令t＝x2＋y2≥0，则原方程可化为(t＋1)(t－3)＝5，即t2－2t－8＝0.∴t＝4或t＝－2(舍去)，故x2＋y2＝4.415.已知x1，x2是关于x的方程x2－m2x＋n＝0的两个实数根，y1，y2是关于y的方程y2－3my＋6＝0的两个实数根，其中m，n是常数，且x