高中数学第二章平面向量222向量减法运算其几何意义学案新人教A版必修4

2．2.2向量减法运算及其几何意义预习课本P85～86，思虑并达成以下问题a的相反向量是什么？向量的减法运算及其几何意义是什么？[新知初探]1．相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.规定：零向量的相反向量还是还是零向量；－(－a)＝a；a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[点睛]相反向量与相等向量同样，从“长度”和“方向”双方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．几何意义：以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，如下图，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[点睛]在用三角形法例作向量减法时，只需记着“连结向量终点，箭头指向被减向量”即可．[小试身手]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差还是一个向量．( )(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( )1(4)相反向量是共线向量．( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．非零向量m与n是相反向量，以下不正确的选项是( )A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反答案：A3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于( )A．QPB．OQC．SPD．SQ答案：B4．在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为______．答案：BA，CD向量的减法运算[典例]化简：(1)(AB－CD)－(AC－BD)；(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．[解](1)(AB－CD)－(AC－BD)(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0.向量减法运算的常用方法向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点同样且为差．2做题时要注意察看能否有这两种形式，同时要注意逆向应用．[活学活用]化简以下各式：AB－AC－DB；AB＋BC－AD；AB－CD－DB.解：(1)AB－AC－DB＝CB＋BD＝CD.AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC.AB－CD－DB＝AB＋DC＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC.向量的减法及其几何意义[典例]如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点，作OA＝，AB＝，则OB＝＋，再作OababCB＝c，连结OC，则OC＝a＋b－c.求作两个向量的差向量的两种思路能够转变为向量的加法来进行，如a－b，能够先作－b，而后作a＋(－b)即可．也能够直接用向量减法的三角形法例，即把两向量的起点重合，则差向量为连结两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[活学活用]3在本例的条件下作出向量：a－b＋c；②a－b－c.解：如下图．利用已知向量表示未知向量[典例]如下图，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.[解]由于四边形ACDE是平行四边形，因此CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE与CE.解：BE＝AE－AB＝c－a，CE＝AE－AC＝c－b.2．[变条件]本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其余条件不变，其结论又怎样呢？解：由于四边形ACDE是平行四边形，因此CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，BD＝BC＋CD＝b－a＋c.用几个基本向量表示其余向量的一般步骤察看待表示的向量地点；找寻相应的平行四边形或三角形；运用法例找关系，化简得结果．4层级一学业水平达标1．在三角形ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝()A．－bB．－abaC．a＋bD．－a－b分析：选DAB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b.2．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|BC－AC|的值为()A．0B．1C.3D．2分析：选B|BC－AC|＝|BC＋CA|＝|BA|＝1.3．若O，E，F是不共线的随意三点，则以下各式中建立的是( )A．EF＝OF＋OEB．EF＝OF－OEC．EF＝－OF＋OED．EF＝－OF－OE分析：选BEF＝EO＋OF＝OF－OE.应选B.4?3个极点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD等于( )．已知一点O到ABCD的A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c分析：选B如图，点O到平行四边形的三个极点A，B，C的向量分别是a，b，c，联合图形有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a－b＋c.5．以下各式能化简为AD的个数是( )(AB－DC)－CBAD－(CD＋DC)③－(CD＋MC)－(DA＋DM)④－BM－DA＋MBA．1B．2C．3D．4分析：选C①中，(AB－DC)－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD；5②中，AD－(CD＋DC)＝AD－0＝AD；③中，－(CD＋MC)－(DA＋DM)＝－MD－DA－DM＝DM＋AD－DM＝AD；④中，－BM－DA＋MB＝MB＋AD＋MB＝AD＋2MB.6．以下四个等式：a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③AB＋BC＋CA＝0；④a＋(－a)＝0，此中正确的选项是______(填序号)．分析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③切合向量的加法法例，也是正确的．答案：①②③④7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.分析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：028．在△ABC中，D是BC的中点，设AB＝c，AC＝b，BD＝a，AD＝d，则d－a______，d＋a＝______.分析：依据题意画出图形，如下图，则d－a＝AD－BD＝AD＋DB＝AB＝c；d＋a＝AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝b.答案：cb9．化简：MN－MP＋NQ－PQ；BD＋DC＋AB－AC.解：(1)MN－MP＋NQ－PQ(MN＋NQ)－(MP＋PQ)MQ－MQ＝0.(2)BD＋DC＋AB－AC＝(BD＋DC)＋(AB－AC)6BC＋CB＝0.10．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个极点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个极点为H.试用a，b，c表示DC，OH，BH.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，OD＝OA＋OB＝a＋b，DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.层级二应试能力达标1．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝0分析：选B如图，a－b＝OA－OB＝BA，c－d＝OC－OD＝DC，又四边形ABCD为平行四边形，则BA＝CD，即BA－CD＝0，因此BA＋DC＝0，即a－b＋c－d＝0.应选B.ABCmAB＋BCn＝AB－BC，若mn的长度恰巧相2．平面上有三点，，，设＝，，等，则有( )A．A，B，C三点必在同向来线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形分析：选C∵|m|＝|n|，AB＋BC＝AB－CB，AB－BC＝AB＋CB，|AB－CB|＝|AB＋CB|，如图．即?ABCD的对角线相等，?ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝2，则|BC＋DC|＝( )A.3B．23C.2D．227分析：选B如图，设菱形对角线交点为O，BC＋DC＝AD＋DC＝AC，DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，OB＝1.在Rt△AOB中，|AO|＝22|AB―→|－|OB―→|＝3，|AC|＝2|AO|＝23.4．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，给出以下结论：(1)|AB－AC|＝|AB＋AC|；(2)|BC－BA|＝|CB－CA|；(3)|AB－CB|＝|AC－BC|；(4)|AB－AC|2＝|BC－AC|2＋|CB－AB|2.此中正确的个数为( )A．1B．2C．3D．4分析：选D如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则它是正方形，依据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，此中OB＝b，OC＝c，则EF等于________．分析：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.答案：b－c6．关于向量a，b，当且仅当____________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.分析：当，b不一样向时，依据向量减法的几何意义，知必定有|－|＞||a|－|||，aabb因此只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.答案：a与b同向如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OFf，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋ED.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.8DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0